高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第一部分-25个必考问题--《必考问题2-函数与方程及函数应用》含

必考问题2函数与方程及函数应用【真题体验】1．(2012·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝ax＋1，－1≤x＜0，bx＋2x＋1，0≤x≤1，其中a，b∈R.若f12＝f32，则a＋3b的值为________．解析因为函数f(x)是周期为2的函数，所以f(－1)＝f(1)⇒－a＋1＝b＋22，又f12＝f32＝f－12⇒12b＋232＝－12a＋1，联立列成方程组解得a＝2，b＝－4，所以a＋3b＝2－12＝－10.答案－102．(2011·江苏)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x＜1－x－2a，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．解析因为函数f(x)在(－∞，1)，[1，＋∞)都是单调函数，所以由f(1－a)＝f(1＋a)得1－a,1＋a分别在(－∞，1)，[1，＋∞)上，所以1－a＜11＋a≥121－a＋a＝－1＋a－2a①或1－a≥1，1＋a＜1，21＋a＋a＝－1－a－2a，②①无解，②解得a＝－34.答案－343．(2012·天津改编)函数f(x)＝2|x－4|x≠4，ax＝4，若函数y＝f(x)－2有3个零点，则实数a的值为________．解析函数y＝f(x)－2有3个零点，即为函数y＝f(x)与y＝2的图象有3个不同的交点，在同一坐标系中作出函数y＝f(x)与y＝2的图象如图，由图象可知a＝2.答案24．(2012·苏州期中调研)已知方程x3＝3－x的解在区间n2，n＋12内，n∈Z，则n的值是________．解析令h(x)＝x3－(3－x)＝x3＋x－3，∵h′(x)＝3x2＋1＞0，∴h(x)在定义域内为增函数，若其有零点则必唯一．∵h(1)＜0，h32＞0，∴h(x)＝0的解在区间1，32内，此时n＝2.答案25．(2012·天一、淮阴、海门中学调研)将一个长宽分别是a，b(0＜b＜a)的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab的取值范围是________．解析设切去正方形的边长为x，x∈0，b2，则该长方体外接球的半径为r＝12a－2x2＋b－2x2＋x2，可得r2＝14[(a－2x)2＋(b－2x)2＋x2]＝14[]9x2－4a＋bx＋a2＋b2，在x∈0，b2存在最小值时，必有0＜2a＋b9＜b2，解得ab＜54，又0＜b＜a⇒ab＞1，故ab的取值范围是1，54.答案1，54【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)函数与方程是A级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点；(2)函数模型及其应用是考查热点，要求是B级；试题类型可能是填空题，也可能在解答题中与函数性质、导数、不等式综合考查．【应对策略】方程根的个数的判断、利用二分法确定函数的零点所在的区间都可能成为考点，尤其是利用数形结合确定方程根的个数更是重要考点，在填空题、解答题中都可以进行考查，对基本函数的图象熟练掌握即可解决此类问题．函数模型的建立、利用不等式或导数求函数最值都可能成为考点，尤其是利用导数求函数最值更是重要考点，一般在解答题中进行考查，难度多以中档题出现．解决此类问题应注意掌握几种常见的函数模型．若涉及分段函数问题，解题时，应注意根据图象信息恰当分类．再者解答应用题要认真审题，理清数量关系，将文字或图形或表格语言转化为数学语言，建立相应的目标函数即可解决此类问题.必备知识1．对于函数y＝f(x)，我们把满足f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，实质上函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，它是实数而不是点，所以方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数零点的重要性质：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且满足f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．3．二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．4．常见的函数模型：(1)一次函数模型；(2)二次函数模型；(3)正比例和反比例函数模型；(4)指数函数模型；(5)对数函数模型．5．应用函数模型解决实际问题的一般步骤：(1)阅读题目，理解题意；(2)设置变量，建立函数关系；(3)应用函数知识或数学方法解决问题；(4)检验，作答．必备方法1．函数的零点：函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以零点是一个实数，一个使函数值为0的实数．函数的零点分变号零点和不变号零点两种．变号零点可以用二分法求解，不变号零点一般通过函数图象判断，如函数y＝|x－1|有一个零点1，它是不变号零点，所以f(a)·f(b)＜0是函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点的充分非必要条件．2．方程根的分布：求方程的根或根的近似值，就是求函数的零点值或其近似值．将方程根的问题转化为函数的零点问题，不仅直观展现了方程根的几何意义，重要的是能够简化运算程序，提高解决问题的效率．3．函数与方程的综合应用：数形结合是这种转化的重要依据，把数量关系和几何图形结合起来是函数综合应用借以考查数学综合能力的重要题型．4．函数应用题的解法：解答数学应用题是在阅读文字材料、理解题意的基础上对实际问题进行抽象概括，再转化为数学符号语言，最后进行数学化处理的过程.命题角度一函数与方程[命题要点]①二次函数与二次方程；②确定方程解的个数，或者函数零点的个数；③已知方程解的个数或者函数零点的个数，确定参数的取值范围．【例1】►(2012·天一、淮阴、海门中学调研)若方程lgkx＝2lg(x＋1)仅有一个实根，那么k的取值范围是________．[审题视点][听课记录][审题视点]根据函数图象将方程只有一个实根转化为函数图象只有一个交点．解析方程lgkx＝2lg(x＋1)仅有一个实根等价于函数y＝kx，y＝(x＋1)2，x＞－1的图象只有一个交点，在同一坐标系中作出函数图象如图，当直线y＝kx与y＝(x＋1)2，x＞－1相切时，方程x2＋(2－k)x＋1＝0有两个相等的正根，所以Δ＝2－k2－4＝0k－2＞0，解得k＝4，当k＜0时，y＝kx、y＝(x＋1)2，x＞－1只有一个交点．故k的取值范围是k＜0或k＝4.答案{k|k＜0或k＝4}已知方程解的个数，求参数的取值范围，一般方法是优先考虑定义域，再对方程变形，转化为直线和曲线的交点个数，即已知两个函数图象在某个范围上的交点个数．求参数的范围，借助图象直观解题，注意图象一定要正确．【突破训练1】二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数均为整数，若α，β∈(1,2)且α，β是方程f(x)＝0两个不等的实数根，则最小正整数a的值为________．解析根据条件进行等价转化，再利用二次函数图象直观求解．因为α，β∈(1,2)，且α，β是方程f(x)＝0两个不等的实数根，所以f(1)＞0，f(2)＞0，又二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数均为整数，且a＞0，所以f(1)≥1，f(2)≥1，当a最小时，必有f(1)＝1，f(2)＝1，即a＋b＋c＝1，4a＋2b＋c＝1，得b＝－3a，c＝1＋2a，代入Δ＝b2－4ac＞0中解得a＞4.又当a＝5时，b＝－15，c＝11，满足题意，故最小正整数a的值为5.答案5命题角度二函数模型的应用[命题要点]①函数模型的建立；②函数模型中的最值问题．【例2】►(2012·徐州高考考前信息卷)某公司经销某产品，第x天(1≤x≤30，x∈N*)的销售价格为p＝a＋|x－20|(a为常数)(元/件)，第x天的销售量为q＝50－|x－16|(件)，且公司在第18天该产品的销售收入为2016元．(1)求该公司在第20天该产品的销售收入是多少？(2)这30天中该公司在哪一天该产品的销售收入最大？最大收入为多少？[审题视点][听课记录][审题视点]根据数量关系建立目标函数，将问题转化为分段函数的最值问题．解(1)设该公司第x天的销售收入为f(x)，由已知，第18天的销售价格p＝a＋2，销售量q＝48.所以第18天的销售收入f(18)＝(a＋2)×48＝2016，所以a＝40.第20天的销售收入f(20)＝40×46＝1840(元)．(2)由条件得f(x)＝34＋x60－x，1≤x≤16，x∈N*，60－x66－x，17≤x≤19，x∈N*，66－x20＋x，20≤x≤30，x∈N*.当1≤x≤16时，f(x)＝(34＋x)(60－x)≤34＋x＋60－x22＝2209.(当且仅当x＝13时取等号)．所以，当x＝13时取最大值f(13)＝2209.当17≤x≤19时，f(x)＝(60－x)(66－x)＝x2－126x＋60×66＝(x－63)2－9，所以，当x＝17时，f(x)取最大值为f(17)＝43×49＝2107.当20≤x≤30时，f(x)＝(66－x)(20＋x)≤66－x＋20＋x22＝1849.(当且仅当x＝23时取等号)．所以当x＝23时，f(x)取最大值f(23)＝1849.由于f(13)＞f(17)＞f(23)，所以第13天该农户的销售收入最大，且最大为2209元．所以第20天的销售收入为1840元；第13天该公司的销售收入最大，最大值为2209元．函数模型的应用问题，解法程序化、模式化，一般是根据题意将实际问题转化为数学问题，再利用相应的数学知识解决问题，需要注意实际问题中的定义域要使函数有意义，而且要符合实际情况．【突破训练2】(2012·无一、淮阴、海门中学调研)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝xx2＋1－a＋2a＋23，x∈[0,24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈0，12，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)．(1)令t＝xx2＋1，x∈[0,24]，求t的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？解(1)当x＝0时，t＝0；当0＜x≤24时，x＋1x≥2(当x＝1时取等号)，∴t＝xx2＋1＝1x＋1x∈0，12，即t的取值范围是0，12.(2)当a∈0，12时，记g(t)＝|t－a|＋2a＋23，则g(t)＝－t＋3a＋23，0≤t≤a，t＋a＋23，a＜t≤12，∵g(t)在[0，a]上单调递减，在a，12上单调递增，且g(0)＝3a＋23，g12＝a＋76，g(0)－g12＝2a－14.故M(a)＝g12，0≤a≤14，g0，14＜a≤12，＝a＋76，0≤a≤14，3a＋23，14＜a≤12，∴当且仅当a≤49时，M(a)≤2.故当0≤a≤49时不超标，当49＜a≤12时超标．2．“新元”范围要考虑，不合题意要舍去一、对方程换元时要考虑“新元”的取值范围【例1】►若关于x的方程4x＋a·2x＋a＋1＝0有解，则实数a的取值范围是________．解析令2x＝t＞0，则问题转化为方程t2＋at＋a＋1＝0在t∈(0，＋∞)上有解，利用分离参数得a＝－t2＋1t＋1，所以实数a的取值范围是函数y＝－t2＋1t＋1在t∈(0，＋∞)上的值域，令t＋1＝m＞1，则y＝－m－12＋1m＝2－m＋2m≤2－