第四章-边界层理论(1)

1第四章边界层理论(boundarylayer)21904年，普兰特(Prandtl)提出边界层理论。4.1.边界层的概念当流体在固体表面流过时，在固体壁面附近存在有一薄层流体，其流速很小；但是其中的速度梯度(或温度、浓度梯度)确非常大，其中的传递阻力占整体传递阻力的绝大部分，此层流体称为边界层。在边界层中，由于流体速度较小，所以动量改变率较小，惯性力较小；但由于速度梯度很大，所以粘滞力作用不能忽略，在边界层之内既需考虑惯性力作用，更需要考虑粘滞力作用。对于湍流流动，在边界层之外，由于速度梯度较小，只需考虑惯性力的作用。3边界层的形成可以用下图说明：(介绍层流边界层和湍流边界层)边界层的形成与发展过程u8u8u8u80.99u8xxcb4对于流体平行流过平板，层流边界层转变为湍流边界层的地点可用下列临界雷诺数表示：对于光滑平板，2×105Rexc3×106。对于园管，边界层的发展过程如下：0Reuxcxcu8u8u8xLebRexc=xcu0/Rexc=Dub/5边界层厚度的定义：一般约定速度等于流体主体速度0.99处为速度边界层的外缘，即传热边界层及传热边界层厚度t：类似于速度边界层，在传热过程中也存在传热边界层，其形成过程与速度边界层相似。同理，传热边界层厚度的定义为99.0ttttss99.0uu6传质边界层:类似于速度边界层，在传质过程中也存在传质边界层，其形成过程与速度边界层相似。同理，传质边界层厚度c的定义为边界层理论的应用普兰特首创边界层理论以来，经过他的学生以及其他学者的共同努力，从二维定态层流流动的研究开始，发展成完整的粘性流体力学。该理论的主要内容包括二维、三维层流边界层，自由剪切湍流（射流），壁面剪切湍流，可压缩流体边界层，分离流等。99.0CCCCss7边界层理论应用的突出成就，是阐明了流动阻力的机理，为计算流动阻力以及设法减小流动阻力提供了理论依据。进一步与传热、传质和化学反应的研究结合起来，在流动边界层概念的基础上，还提出了温度边界层、浓度边界层和反应边界层等理论。应用边界层理论可以计算粘性流体运动时的速度分布，这为阐明传热和传质机理，计算温度分布、浓度分布、传热分系数、传质分系数及反应速率奠定了基础；同时也为传热、传质等过程的强化指明了方向。84.2.边界层分离在某些情况下，边界层内的流体会产生倒流，并引起边界层与固体壁面之间的分离现象，同时产生旋涡，造成能量损失。这种现象称为边界层分离。9（a）流线形物体；（b）非流线形物体曲面边界层分离现象示意图10流体横流过圆柱体是的压强变化情况(1)从D到E流动加速，为顺压梯度区；流体静压能向动能转变，不发生边界层分离(2)从E到F流动减速,为逆压梯度区；E到F段动能只存在损耗，速度减小很快(3)在S点处出现粘滞，由于压力的升高产生回流导致边界层分离，并形成尾涡1103060901201501800.20.40.60.81.01.21.41.61.8Re=1E4180900流体横流过圆柱体时的传热系数变化情况124.3.边界层方程描述边界层的基本方程，可以从奈维－斯托克斯方程导出(称为普兰特边界层方程)，也可以根据动量交换观点导出(称为卡门边界层方程)。在此我们逐一进行介绍。（1）普兰特边界层方程将不可压缩流体的奈维－斯托克斯方程应用于边界层流动时，需提出下述两点基本假设：13a)当流体主体的Re数很大时，在边界层内粘滞力的作用仍不能忽略，因为这里的惯性力与粘滞力具有相同的数量级；b)普兰特发现，当流体的Re数较大时，边界层厚度较定性长度L小得多。下面推导流体在平壁上稳定流动时的二维边界层方程。取x轴与平壁平行，y轴垂直平壁，此时不可压缩流体作稳定层流时的基本方程组为：140yuxuyx)(12222yuxuxpyuuxuuxxdxyxx)(12222yuxuypyuuxuuyydyyyx现在对上述方程中的每一项进行数量级估算。15估算数量级必须有一个基准，数量级是相当某个标准而言的，标准改变后，物理量的数量级会发生变化。在此规定:x为距离的标准数量级，记为x=O(1)；边界层外的主体流速u为流速的标准数量级，亦记为O(1)；边界层厚度与x相比很小，即x，规定它的数量级为，记为O()。有了上述说明以后，现对连续性方程的各项进行数量级分析：ux：在边界层内x方向的流速由零变化到u，所以它的数量级为O(1)。16ux/x:ux/xux/x=O(1)/O(1)=O(1)，即ux/x的数量级也为O(1)。uy/y：要使方程ux/x＋uy/y＝0成立，各项应具相同的数量级，即uy/y的数量级应为O(1)。y：由于边界层的厚度由零变化到，所以y在边界层中的数量级为O()。uy：由于uy/y的数量级应为O(1)，所以uy的数量级必为O()。17即，数量级为O(1)；ux/y:ux/yux/y=O(1)/O()=O(1/),即ux/y的数量级为O(1/)。即，数量级为O(1/2)，这是一个很大的数量级；)1()1()1()1()(222OOOOxuxuxxuxxx)/1()()1()(22222OOOyuyuyyuxxx18即，数量级为O(1/)；即，数量级为O()。)/1()()()()(222OOOOyuyuyyuyyy)()1()1()()(222OOOOxuxuxxuyyy19根据上面的分析，可得(1)(1)()(1/)(1)(1/2)上式右侧括号内第一项与第二项相比可以忽略不计。因第二项的数量级为O(1/2)，要使等式成立，的数量级必为O(2)才能保证整项的数量级为O(1)。这表明，欲获得边界层流动，流体的粘性要非常低。)(12222yuxuxpyuuxuuxxdxyxx20同理，的数量级也应为O(1)，即说明在边界层内,x方向压强变化较大。同样，y方向的奈维－斯托克斯方程中各项的数量级为(1)()()(1)(2)[()(1/)]xpd1)(12222yuxuypyuuxuuyydyyyx21可见，除动压梯度项外，其余各项的数量级均等于或小于O()，所以的数量级也应为O()。由于1/有一定数值，所以在边界层内由壁面到边界层外缘在垂直方向上，压强几乎没有什么变化。可以认为沿y方向上，边界层内的压强近似等于边界层外主体的压强，即pd/y=0。ypd122通过上述分析，可以看出，y方向的奈维－斯托克斯方程与x方向相比，整个方程可以略去。同时由于pd/y=0，最后可以将奈维－斯托克斯方程组简化为一个方程，称为普兰特边界层方程：这样，求解平壁边界层的二维稳定层流问题，只需联立求解普兰特边界层方程和连续性方程即可。)(122yuxpyuuxuuxdxyxx23在流体流经平壁时，上述普兰特边界层方程还可简化。因pd/y=0，可以认为边界层中的任一点的压强与同x位置上主体流体中的压强相同。由柏努利方程，对于水平流动，对于理想流体（只适用于主体流动――不适用于边界层）：故p为常数，所以在边界层外，dp/dx=0。因为在边界层内，pd/y=0，即压力可以穿过边界层保持不变，因此在边界层内仍存在：.22constup24pd/x=0故流经平壁的普兰特方程可以简化为连续性方程仍为)(22yuyuuxuuxxyxx)(122yuxpyuuxuuxdxyxx0yuxuyx25用类似的方法可以获得能量(温度)边界层方程和浓度边界层方程：)(22ytytuxtuyx)(22ycDycuxcuAABAyAx26(2)卡门边界层方程卡门根据边界层概念，直接对边界层进行动量，热量及质量衡算，导出了边界层动量，热量及质量方程。此种方法要比由N-S方程求解简单的多。27边界层动量方程的推导：设流体呈一维流动，即流动仅沿x方向进行，边界层外主体流速为u,边界层厚度为，微元体边长：X方向为dxY方向为l(l)Z方向为1个长度单位微元体的上表面高于边界层厚度yzxludx28通过微元面积1×dy的动量速率为1dyuuxx；通过A1平面总的动量速率为dyulx02；A2平面：dxdyudxddyulxlx)(0202A4为壁面，无流体流入。dyA3A2A4A10lu2xdy0luuxdyddx()dx80lu2xdy+0lu2xdyddx()dx29由于在z方向无流体的流入与流出，所以通过A2和A1面质量速率之差，必等于通过平面A3的质量速率，即平面A3在边界层外，其流速为u，则通过A3进入的动量速率为dxdyudxdlx)(0dxdyuudxdlx)(030则微元体的动量变化率为:输出动量变化率－输入动量变化率＝dxdyuudxdlxx)(0－dxdyuudxdlx)(0＝－dxdyuuudxdlxx))((0作力的衡算：粘滞力：A4面上有粘滞力10dxdyduyxA3面上无粘滞力。(z方向有无粘滞力?)31压力：A1平面为P×(l×1)；A2平面为－)1()(ldxdxdPP；二者之差为－dxdxdPl(负号表示与X方向相反)代入牛顿第二运动定律(即动量定律)－lxxdyuuudxd0)(=0yxdydu－dxdPl32因在yl内，ux=u，则－0)(dyuuudxdxx=0yxdydu－dxdPl对于流体流经平壁，0dxdP，且.const，则00)(yxxxdydudyuuudxd或00)(yxxxdydudyuuudxd上述两式即为卡门边界层动量方程。33上述卡门边界层方程对层流边界层和湍流边界层都适用，只要知道了速度分布，就可以计算出边界层厚度及摩擦力。例题：已知流体在园管进口段边界层内的速度分布为试推导边界层厚度与x的关系，并确定进口段长度xc。3)(21)(23yyux