第四章-边界层理论(2)

14.4平壁及圆管边界层求解1，普兰特边界层方程的精确解对于平壁上的层流边界层上述为二阶非线性方程组，其边界条件为：a)在壁面上，y=0,ux=0,uy=0b)在边界层边缘，y=，ux=u，c)亦可，y=，ux=u)(22yuyuuxuuxxyxx0yuxuyx2借助流函数的定义：将流函数引入方程组，布拉修斯求解结果为(过程略)其中，定义为f~关系已经表格化(参：大工p65、天大p82)yuxxuyyx),()(fxuxuy...104972.2105943.416603.0)(86542f3边界层内速度分布与边界层厚度：所以，在一定位置(x,y)处，可求出ux，uy。边界层厚度定义为ux/u＝0.99时壁面的法向距离，由f~关系表可知，当ux/u＝0.991150.99时，=5.0所以，或表达为无因次形式'fuyuxuxuxy0.5521Re0.5x)'(21ffxuxuy42卡门边界层方程的求解卡门边界层方程对于层流和湍流都适用。1）平壁稳态层流的近似解要求解上述边界层积分动量方程，必须知道速度分布(实际上要求的就是速度分布！！)。a)速度分布：实验结果表明，在稳态层流边界层内，ux与y的关系可表示为00)(yxxxdydudyuuudxdniiixyau15根据边界条件，所得的速度分布为(过程略)：线性多项式形式：ux/u=y/二次多项式形式：ux/u=2(y/)-(y/)2三次多项式形式：ux/u=(3/2)(y/)-(1/2)(y/)3四次多项式形式：ux/u=2(y/)-2(y/)3+(y/)4b)边界层厚度以最常用的三次式为例将ux/u=(3/2)(y/)-(1/2)(y/)3带入00)(yxxxdydudyuuudxd6积分求解得左式：右式：即移项并积分得或(与普兰特精确解比较！)dxdudyuuudxdxx28039)(20xdxud0013140230udyduyx23280392udxdu2121Re64.464.4xxxux21Re64.4/xx72）平壁稳态湍流的近似解类似平壁层流和圆管内指数形式的速度分布，平壁湍流边界层的速度分布可以采用1/n次方定律，此速度分布式带入卡门边界层方程时左侧可得出积分结果，但右侧出现，方程无法求解。nxyuu100)(yxxxdydudyuuudxd0yxdydu8为此，寻求其它确定壁面剪应力s的方法。平壁湍流实验结果表明，对于常见的Re=106～2×107范围，A=0.045，m=1/4，n=7，即卡门边界层方程左侧的积分结果为220uuAdydumyxs71)(yuuxdxdudyuuuudxdudyuuudxdxxxx2020727)1()(9壁面剪应力为将上述结果带入卡门边界层方程得或2045.0224/120uuuuAdydumyxs5151Re376.0)(376.0xxux51Re376.0x104.5圆管中的稳态湍流速度分布(1)光滑管中的速度分布通用速度分布方程管内流体处于湍流流动时，根据边界层理论，紧靠壁面的层流内层中，粘滞应力为主，雷诺应力可忽略不计；在湍流主体中，脉动速度很大，雷诺应力占主导地位，而粘滞应力可忽略不计。在层流内层和湍流主体之间为过渡层，其中脉动速度加大，粘滞应力和雷诺应力都不可忽略。a)层流内层：可应用牛顿粘性定律，由于层流内层较薄，可假设.conststyx11所以分离变量并积分得带入摩擦速度u*=√s/，得改写为无因次的形式为令u+称为无因此速度比，y+称为以摩擦速度表示的雷诺数*/uuuxdyudxtyxs//**yuuuxyyussx/2*yuux/*yuy12则层流内层的速度分布式为b)过渡层及湍流中心在普兰特混合长理论中曾得到将其整理成无因次形式yuCyukuxln1*21**1*ln1ln1ln1ln1CykCukyukCykuux13尼古拉则等大量实验结果：为什么看起来不像是直线关系？14实验证实层流内层具有线性速度分布，过渡层和湍流中心的对数速度分布也是正确的。通过数据拟合，得到三个区域的速度分布式：层流内层：y+5过渡层：5y+30湍流中心：y+30上述三式称为光滑管通用速度分布方程，属于半理论半经验公式。yu05.3ln0.5yu5.5ln5.2yu15(2)粗糙管中的速度分布实际管子由于绝对粗糙度e的不同，对管内流体的流动速度分布有很大影响。引入绝对粗糙度e，可得粗糙管内的速度分布式为其中，k和C3由实验确定。尼古拉则的大量精细实验得到：k=0.4，C3如图所示。3*ln1Ceykuux16水利光滑区：粗糙度雷诺数eu*/5，C3=5.5+2.5ln(eu*/)17带入通用方程得可见，速度分布不受粗糙度影响，与光滑管完全一样。完全粗糙区：eu*/70，即ln(eu*/)1.845,C3=8.5粗糙区：5eu*/70无通用公式5.5ln5.2ln5.25.5ln5.2***yueueyuux5.8ln5.2*eyuux