1989-2016年考研数学历年真题_数学二

Borntowin1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.)(1)0limcot2xxx→=＿＿＿＿＿＿.(2)0sinttdtπ=∫＿＿＿＿＿＿.(3)曲线0(1)(2)xyttdt=−−∫在点(0,0)处的切线方程是＿＿＿＿＿＿.(4)设()(1)(2)()fxxxxxn=++⋅⋅+,则(0)f′=＿＿＿＿＿＿.(5)设()fx是连续函数,且10()2()fxxftdt=+∫,则()fx=＿＿＿＿＿＿.(6)设2,0()sin,0abxxfxbxxx+≤=在0x=处连续,则常数a与b应满足的关系是＿＿＿＿＿.(7)设tanyxy=+,则dy=＿＿＿＿＿＿.二、计算题(每小题4分,满分20分.)(1)已知arcsinxye−=,求y′.(2)求2lndxxx∫.(3)求10lim(2sincos)xxxx→+.(4)已知2ln(1),arctan,xtyt=+=求dydx及22dydx.(5)已知1(2),(2)02ff′==及20()1fxdx=∫,求120(2)xfxdx′′∫.三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设0x时,曲线1sinyxx=()(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,也有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,也无铅直渐近线(2)若2350ab−,则方程532340xaxbxc+++=()Borntowin(A)无实根(B)有唯一实根(C)有三个不同实根(D)有五个不同实根(3)曲线cos()22yxxππ=−≤≤与x轴所围成的图形,绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为()(A)2π(B)π(C)22π(D)2π(4)设两函数()fx及()gx都在xa=处取得极大值,则函数()()()Fxfxgx=在xa=处()(A)必取极大值(B)必取极小值(C)不可能取极值(D)是否取极值不能确定(5)微分方程1xyye′′−=+的一个特解应具有形式(式中,ab为常数)()(A)xaeb+(B)xaxeb+(C)xaebx+(D)xaxebx+(6)设()fx在xa=的某个领域内有定义,则()fx在xa=处可导的一个充分条件是()(A)1lim[()()]hhfafah→+∞+−存在(B)0(2)()limhfahfahh→+−+存在(C)0()()lim2hfahfahh→+−−存在(D)0()()limhfafahh→−−存在四、(本题满分6分)求微分方程2(1)xxyxye′+−=(0)x+∞满足(1)0y=的解.五、(本题满分7分)设0()sin()()xfxxxtftdt=−−∫,其中f为连续函数,求()fx.六、(本题满分7分)证明方程0ln1cos2xxxdxeπ=−−∫在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根.七、(本大题满分11分)对函数21xyx+=,填写下表：Borntowin单调减少区间单调增加区间极值点极值凹()区间凸()区间拐点渐近线八、(本题满分10分)设抛物线2yaxbxc=++过原点,当01x≤≤时,0y≥,又已知该抛物线与x轴及直线1x=所围图形的面积为13,试确定,,abc使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.Borntowin1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)曲线33cossinxtyt==上对应于点6tπ=点处的法线方程是＿＿＿＿＿＿.(2)设1tan1sinxyex=⋅,则y′=＿＿＿＿＿＿.(3)101xxdx−=∫＿＿＿＿＿＿.(4)下列两个积分的大小关系是：312xedx−−−∫＿＿＿＿＿＿312xedx−−∫.(5)设函数1,||1()0,||1xfxx≤=,则函数[()]ffx=＿＿＿＿＿＿.二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)已知2lim01xxaxbx→∞−−=+,其中,ab是常数,则()(A)1,1ab==(B)1,1ab=−=(C)1,1ab==−(D)1,1ab=−=−(2)设函数()fx在(,)−∞+∞上连续,则()dfxdx∫等于()(A)()fx(B)()fxdx(C)()fxC+(D)()fxdx′(3)已知函数()fx具有任意阶导数,且2()[()]fxfx′=,则当n为大于2的正整数时,()fx的n阶导数()()nfx是()(A)1![()]nnfx+(B)1[()]nnfx+(C)2[()]nfx(D)2![()]nnfx(4)设()fx是连续函数,且()()xexFxftdt−=∫,则()Fx′等于()Borntowin(A)()()xxefefx−−−−(B)()()xxefefx−−−+(C)()()xxefefx−−−(D)()()xxefefx−−+(5)设(),0()(0),0fxxFxxfx≠==,其中()fx在0x=处可导,(0)0,(0)0ff′≠=,则0x=是()Fx的()(A)连续点(B)第一类间断点(C)第二类间断点(D)连续点或间断点不能由此确定三、(每小题5分,满分25分.)(1)已知lim()9xxxaxa→∞+=−,求常数a.(2)求由方程2()ln()yxxyxy−=−−所确定的函数()yyx=的微分dy.(3)求曲线21(0)1yxx=+的拐点.(4)计算2ln(1)xdxx−∫.(5)求微分方程ln(ln)0xxdyyxdx+−=满足条件1xey==的特解.四、(本题满分9分)在椭圆22221xyab+=的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小(其中0,0ab).五、(本题满分9分)证明：当0x,有不等式1arctan2xxπ+.六、(本题满分9分)设1ln()1xtfxdtt=+∫,其中0x,求1()()fxfx+.七、(本题满分9分)过点(1,0)P作抛物线2yx=−的切线,该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形,求此平面图形绕x轴旋转一周所围成旋转体的体积.八、(本题满分9分)Borntowin求微分方程44axyyye′′′++=之通解,其中a为实数.Borntowin1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设ln(13)xy−=+,则dy=＿＿＿＿＿＿.(2)曲线2xye−=的上凸区间是＿＿＿＿＿＿.(3)21lnxdxx+∞=∫＿＿＿＿＿＿.(4)质点以速度2sin()tt米每秒作直线运动,则从时刻12tπ=秒到2tπ=秒内质点所经过的路程等于＿＿＿＿＿＿米.(5)1101limxxxexe+→−=+＿＿＿＿＿＿.二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)若曲线2yxaxb=++和321yxy=−+在点(1,1)−处相切,其中,ab是常数,则()(A)0,2ab==−(B)1,3ab==−(C)3,1ab=−=(D)1,1ab=−=−(2)设函数2,01,()2,12,xxfxxx≤≤=−≤记0()(),02xFxftdtx=≤≤∫,则()(A)32,013()12,1233xxFxxxx≤≤=+−≤(B)32,013()72,1262xxFxxxx≤≤=−+−≤(C)322,013()2,1232xxFxxxxx≤≤=+−≤(D)32,013()2,122xxFxxxx≤≤=−≤(3)设函数()fx在(,)−∞+∞内有定义,00x≠是函数()fx的极大点,则()(A)0x必是()fx的驻点(B)0x−必是()fx−−的极小点Borntowin(C)0x−必是()fx−的极小点(D)对一切x都有0()()fxfx≤(4)曲线2211xxeye−−+=−()(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(5)如图,x轴上有一线密度为常数µ,长度为l的细杆,有一质量为m的质点到杆右端的距离为a,已知引力系数为k,则质点和细杆之间引力的大小为()(A)02()lkmdxaxµ−−∫(B)20()lkmdxaxµ−∫(C)0222()lkmdxaxµ−+∫(D)2202()lkmdxaxµ+∫三、(每小题5分,满分25分.)(1)设cossinxttytt==,求22dydx.(2)计算41(1)dxxx+∫.(3)求20sinlim(1)xxxxxe→−−.(4)求2sinxxdx∫.(5)求微分方程xxyyxe′+=满足(1)1y=的特解.四、(本题满分9分)利用导数证明：当1x时,有不等式ln(1)ln1xxxx++成立.五、(本题满分9分)求微分方程cosyyxx′′+=+的通解.六、(本题满分9分)OlamxBorntowin曲线(1)(2)yxx=−−和x轴围成一平面图形,求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积.七、(本题满分9分)如图,A和D分别是曲线xye=和2xye−=上的点,AB和DC均垂直x轴,且:2:1ABDC=,1AB,求点B和C的横坐标,使梯形ABCD的面积最大.八、(本题满分9分)设函数()fx在(,)−∞+∞内满足()()sinfxfxxπ=−+,且(),[0,)fxxxπ=∈,计算3()fxdxππ∫.xyBOC1xye=2xye−=DABorntowin1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设3(),(1),txftyfeπ=−=−其中f可导,且(0)0f′≠,则0tdydx==＿＿＿＿＿＿.(2)函数2cosyxx=+在[0,]2π上的最大值为＿＿＿＿＿＿.(3)2011limcosxxxex→−−=−＿＿＿＿＿＿.(4)21(1)dxxx+∞=+∫＿＿＿＿＿＿.(5)由曲线xyxe=与直线yex=所围成的图形的面积S=＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当0x→时,sinxx−是2x的()(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)等价无穷小(D)同阶但非等价的无穷小(2)设22,0(),0xxfxxxx≤=+,则()(A)22,0()(),0xxfxxxx−≤−=−+(B)22(),0(),0xxxfxxx−+−=−≥(C)22,0(),0xxfxxxx≤−=−(D)22,0(),0xxxfxxx−−=≥(3)当1x→时,函数12111xxex−−−的极限()(A)等于2(B)等于0(C)为∞(D)不存在但不为∞(4)设()fx连续,220()()xFxftdt=∫,则()Fx′等于()(A)4()fx(B)24()xfx(C)42()xfx(D)22()xfxBorntowin(5)若()fx的导函数是sinx,则()fx有一个原函数为()(A)1sinx+(B)1sinx−(C)1cosx+(D)1cosx−三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1)求123lim()6xxxx−→∞++.(2)设函数()yyx=由方程1yyxe−=所确定,求220xdydx=的值.(3)求321xdxx+∫.(4)求01sinxdxπ−∫.(5)求微分方程3()20yxdxxdy−−=的通解.四、(本题满分9分)设21,0(),0xxxfxex−+=≥,求31(2)fxdx−∫.五、(本题满分9分)求