2014年全国高中数学联赛辽宁赛区初赛试题

2014年全国高中数学联赛辽宁赛区初赛试题（7月6日8:30至11:00）一．选择题（本题满分30分，每小题5分）1．已知,,,,,ABCabcdef，,,,ABabcd，cABC，则符合上述条件的,,ABC共有（）组A．100B．140C．180D．2002．已知集合22122(,)log(1)1log()Sxyxyxy≤，并且集合2221122(,)log(2)2log()Sxyxyxy≥，则2S与1S的面积比为（）A．2:1B．4:1C．6:1D．8:13．已知ABC△的三边a，b，c成等比数列，a，b，c的对角依次为A，B，C，则sincosBB的取值范围是（）A．13[,1]22B．(1,2]C．3(1,1]2D．1[,2]24．ABC△的三个内角为A，B，C，若sin3cos7πtan12cos3sinAAAA，则sin22cosBC的最大值为（）A．12B．1C．32D．25．正项数列na满足*12121111()nnnnnnnaaaaaaN，136aa，1a，2a，3a单调递增且成等比数列，nS为na的前n项和，则2014S的值是（其中表示不超过实数的最大整数）（）A．5368B．5367C．5363D．53626．设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面、截球O的两个截面圆的半径分别为1和3，二面角l的平面角为5π6，则球O的半径为（）A．7B．27C．10D．210二．填空题（本题满分30分，每小题5分）7．若非零复数x满足11xx，则201420141xx．8．不等式22429(112)xxx的解集为．9．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望()E为．10．如图所示，在ABC△中，25cos5C，0AHBC，()0ABCACB，则过点C，以A，H为两焦点的双曲线的离心率为．11．设是由任意100个互不相同的正整数组成的集合，令{,aBabAb且}ab，()fA表示集合B中元素的个数，则()fA的最大值与最小值之和为．12．抛物线21yaxbx的参数a，b满足2384aabb，则当a，b变动时，抛物线的顶点(,)st的轨迹方程为．三．解答题（本题共4道小题，满分90分）13．（本小题满分20分）函数()fx的定义域为R，已知0x时，()0fx，并且对任意,mnR，都有()()()fmnfmfn．（1）讨论函数()fx的奇偶性以及单调性；（2）设集合22(,)(3)(4)24Axyfxfy≤，(,)()()(3)0Bxyfxfayf，21(,)()()()2Cxyfxfyfa，且(1)2f，若AB且AC，试求实数a的取值范围．14．（本小题满分20分）如图，锐角ABC△外心为O，直线BO和CO分别与边AC，AB交于点'B，'C．直线''BC交ABC△外接圆于点P，Q．若APAQ，证明：ABC△是等腰三角形锐角三角形．15．（本小题满分25分）已知数列na中，12a，对于任意的*,pqN，有pqpqaaa．（1）求数列na的通项公式；（2）数列nb满足13124234(1)2121212121nnnnbbbbba*()nN，求数列nb的通项公式；（3）设*3()nnnCbnN，是否存在实数，当*nN时，1nnCC恒成立，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．16．（本小题满分25分）已知抛物线2:2(0)Cypxp，直线l与抛物线C相交于A，B两点，连结A及抛物线顶点O的直线交准线于'B，连结B及O的直线交准线于'A，并且'AA与'BB都平行于x轴．（1）证明：直线l过定点；（2）求四边形''ABBA的面积的最小值．2013年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题和填空题只设5分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。2．如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。一．选择题（本题满分30分，每小题5分）1．已知集合2{|2100},{|121}AxxxBxmxm．当AB时，实数m的取值范围是（）．(A).24m(B).2m或4m(C).142m(D)．12m或4m1.(B).2．过原点的直线l交双曲线22xy于P、Q两点，其中点P在第二象限，将下半平面沿x轴折起使之与上半平面成直二面角，线段PQ的最短长度是（）．(A).22(B).32(C).42(D)．42.(D)．3．设,,abc均为非零复数，令1322wi，若abcbca，则abcabc的值为（）．(A).1(B).w(C).21,,ww(D)．21,,ww3.(C).4．设()fx是(0,)上的单调函数，且对任意(0,)x，都有2[()log]6ffxx．若0x是方程'()()4fxfx的一个解，且*0(1,)()xaaaN，则a的值为（）．(A).1(B).2(C).3(D)．44.(B)．5．内直径为4323，高为20的圆柱形容器中最多可以放入直径为2的小球的个数是（）．(A).30(B).33(C).36(D)．395.(C)．6．已知实数,xy满足2217()30160xyxy．则22164161269xyxyxy的最大值是（）．(A).7(B).29(C).19(D)．36.(A).二．填空题（本题满分30分，每小题5分）7．若222,2222abababcabc，则2c的最大值是．7.43.8．长方体1111ABCDABCD中，14,3ABAAAD，则异面直线1AD与11BD的距离为．8.63417.9．椭圆22221(0)xyabab的离心率为32，斜率为1且过点(,0)Mb的直线与椭圆交于A、B两点．设O为坐标原点，若32cot5OAOBAOB，则该椭圆的方程是．9.141622yx.10．将11个完全一样的小球放入6个不相同的盒子中，使得至多有3个空盒子的放法有种．10.4212.11．已知函数21,0,()(1)1,0,xxfxfxx设方程()fxx在区间(0,]n内所有实根的和为nS，则数列{1nS}的前n项和=．11.12nn.12．数列{na}中，11221(2)nnnaaannn，则此数列的通项公式na=．12.1(1)(21)nnan.三．解答题13．设关于x的方程210xmx有两个实根,()，函数22()1xmfxx.（1）求()()ff的值；（2）判断()fx在区间(,)的单调性，并加以证明；（3）若,均为正实数，证明：|()()|||ff.13.解:(Ⅰ)∵,是方程210xmx的两个根，∴,1m，∴2222()1()1()mf，∴()1f，同理可得()1f∴()()2ff，………………（5分）（Ⅱ）∵222222(1)2()()()(1)(1)xmxxxfxxx，当(,)x时，()0fx，∴()fx在(,)上单调递增．………………………（10分）（Ⅲ）∵()0，()0，∴∴由（Ⅱ）可知，()()()fff，同理()()()fff，∴|()()||()()|ffff，……………………………（15分）由（Ⅰ）可知，1()f，1()f，1，∴11|()()|||||||ff，∴|()()|||ff．……………………（20分）14.已知数列{na}满足2113,(,nnnaaananN为实数）．（1）若2nan恒成立，求的取值范围；（2）若=-2，求证：121112222naaa．14.解:(Ⅰ)当2n时，由2622a得2，即2nan时，2.…………………………（5分）下面证明当2时，2nan.当2n时，222a成立；设当(2)nkk时，2kak成立；则当1nk时，221()2221(1)21kkkkkaakaaakkkkk，故对所有2n，2nan成立.当1n时，1231a成立，故对所有*Nn，2nan成立.综上，的取值范围是2.……………………………（10分）（Ⅱ）当2时，02244221nnnnnananaaa（2n），1111212121212121nnnnaaa（3n），…………………（15分）12111222naaa211111222n11222n.……………（20分）15．如图，锐角△ABC中，ABAC,且点D和E在边BC上，满足BD=CE.若在△ABC内存在点P满足PD||AE且∠PAB=∠EAC，证明:∠PBA=∠PCA.15.证明:如图,作平行四边形ABFC和平行四边形ABGP，则ACFB，ACEFBD，又BDCE，故AECFDB，………………………（5分）BDFAEC，所以//FDAE，又//PDAE，则P、D、F三点共线.……（10分）因此，BFPBFDEACBAPBGP,故B、G、F、P四点共圆，FBGFPGBAPEAPCAP又由于,APBGACBF,故APCBGF，……（20分）故ABPBPGBFGACP.…（25分）DOAMQPCBTyxPEDCBAGF16.设点P为圆2212Cxy：上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q.点满足2MQPQ.（1）求点M的轨迹的方程；（2）过直线2x上的点T作圆C2的两条切线，设切点分别为A、B，若直线AB与（1）中的曲线C2交于两点C、D，求||||CDAB的取值范围.16.解：(Ⅰ)设点()Mxy,，由2MQPQ，得(2)Pxy,，由于点P在2212Cxy：上，所以2222xy，即M的轨迹方程为2212xy.………………（5分）（Ⅱ）设点(2)Tt,，1122(,)()AxyBxy，,，则AT，BT的方程为112xxyy，222xxyy，又点(2,)Tt在AT、BT上，则有：1122xty①，2222xty②，……………………（10分）由①、②知AB的方程为：22xty，设点1122()()CxyDxy,，,，则圆心O到AB的距离224dt，则222224||224tABrdt；……………………（15分）又由222212xtyxy，得22(8)440tyty，于是12248tyyt，12248yyt，∴22212224