一次函数、一元一次不等式与一次函数的关系

1一次函数、一元一次不等式与一次函数的关系基础知识回顾一、正比例函数1、正比例函数及性质定义：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式：y=kx①k≠0②x的指数为1例题1.下列说法中不成立的是（）A．在y=3x-1中y+1与x成正比例；B．在y=-2x中y与x成正比例C．在y=2（x+1）中y与x+1成正比例；D．在y=x+3中y与x成正比例思考1：如何判断两个量是不是成正比例？练习：已知y-5与3x-4成正比例，且当x=1时，y=2，求当y=11时，x的值.知识点：(1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0）必过点：（0，0）、（1，k）例题2：当a=________时，函数y=(a－3)x＋a2－9是正比例函数.思考2：给出一个解析式是正比例函数，应当列出哪几个式子？(2)走向：k0时，图像经过一、三象限；k0时，图像经过二、四象限(3)增减性：k0，y随x的增大而增大；k0，y随x增大而减小例题3.已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y=-3x上的两点，且x1x2，则y1与y2的大小关系是（）A．y1y2B．y1y2C．y1=y2D．以上都有可能练习：已知正比例函数y=(2m-1)x的图象上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，当x1x2时，有y1y2,那么m的取值范围是()A.m12B.m12C.m2D.m0思考3：表示正比例函数增减性的数学表述语言有哪些？？(4)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴思考4：这句话有什么作用？？例题4.已知y-5与3x-4成正比例，且当x=1时，y=2，求当y=11时，x的值.2例题5.已知正比例函数xy4的图象上有一点P（x，y）和一点A（6，0），O为坐标原点，且△PAO的面积等于12，你能求出P点坐标吗？思考5：如何解答一次函数与面积的结合问题？二、一次函数及性质一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式y=kx+b①k≠0②x指数为1③b取任意实数一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b0时，向上平移；当b0时，向下平移）一次函数y=kx＋b的图象的画法——两点法：根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），0,kb.即横坐标或纵坐标为0的点.（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)，必过点：（0，b）和（-kb，0）例题6：已知函数y＝2x-1与y＝3x+2的图象交于点P，则点P在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限练习：已知一次函数y=ax+4与y=bx-2的图象在x轴上相交于同一点,则ab的值是()A.4B.-2C.12D.-12思考6：碰到与坐标轴的交点问题，马上想到什么？求函数解析式的例题一、定义法1、已知函数823mxmy是一次函数，求其解析式。2、已知函数y=112mxm当m取什么值时，y是x的一次函数？当m取什么值是，y是x的正比例函数。思考：解答此类问题需要注意的问题是什么？3二、待定系数法3、已知一次函数y=kx-3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。4、已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。思考：用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：二、数形结合法5、已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。思考：已知图象求解析式的方法是什么？三、与面积问题结合6.已知四条直线y＝kx-3，y＝-1，y=3和x=1所围成的四边形的面积是12，则k的值为()A．1或－2B．2或－1C．3D．4总结：要注意数形结合！！！练习1：直线y＝3x＋b与坐标轴围成的三角形面积为6，求与y轴的交点坐标()A.（0，2）B.（0，－2）（0，2）C.（0，6）D.（0，6）、（0，－6）思考：与面积结合的题型，我们怎么去表示面积？练习2：在直角坐标系中，直线4kxy与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知△OAB的面积为10，求这条直线的解析式。练习3：已知直线y＝kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。4四、平移问题7、将直线y=3x向下平移2个单位,得到直线__________;将直线y=-x-5向上平移5个单位,得到直线___________练习：把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。思考：直线平移规律是什么？五、直线位置关系思考：直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）两直线平行：（2）两直线相交：（3）两直线重合：8、若直线bkxy平行于直线35xy，且过点（2，-1），则k=，b=练习：已知直线y=kx+b与直线y=－2x平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。（2）走向与增减性：例题7：已知直线y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb0,则在坐标系内它的大致图象是()b0b0b=0k0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小5练习：下图中表示一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx(m，n是常数，且mn0)图像的是()思考7：解答此类题目的思路与方法是什么？例题8：函数4)2(mxmy中y随x的增大而减小，且图象交y轴于正半轴，则m的取值范围是练习：若m是整数，且一次函数2)4(mxmy的图象不过第二象限，则m=。（3）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.注：作用与正比例函数相同综合题——拓展提高：如图，直线L:221xy与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C(0,4),动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。（1）求A、B两点的坐标；（2）求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当t为何值时，△COM与△AOB全等，求此时M点坐标。6、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.例题9：已知一次函数bkxy的图象如图所示，一元一次方程0bkx的根是；方程2bkx的根是思考8：解答此类问题的关键是找准什么？67、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b0或ax+b0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.（或者说：不等式仅表示了一次函数图像上的一部分）强化训练：1．直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是（）A．x1B．x≥1C．x1D．x≤12．已知直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0），则关于x的不等式2x+k0的解集是（）A．x-2B．x≥-2C．x-2D．x≤-2思考：有哪几种方法？并比较哪种方法简单。3．已知关于x的不等式ax+10（a≠0）的解集是x1，则直线y=ax+1与x轴的交点是（）A．（0，1）B．（-1，0）C．（0，-1）D．（1，0）思考：该题与1、2题的区别是什么？？4.已知函数y=8x－11，要使y＞0，那么x应取()A.x＞811B.x＜811C.x＞0D.x＜0综合以上4道题，思考：解答此类问题关键是找准什么？拓展延伸：非坐标轴上的点，怎么办？5.已知函数y=(2m－1)x的图象上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，当x1＜x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是()A.m＜21B.m＞21C.m＜2D.m＞0思考：该题考查的知识点是什么？？6.若一次函数y=(m－1)x－m+4的图象与y轴的交点在x轴的上方，则m的取值范围是________.思考：该题需要注意的问题是什么？7．当自变量x的值满足____________时，直线y=-x+2上的点在x轴下方．8．已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点（2，0），则不等式x-2≥-x+2的解集是________．思考：有哪几种方法？并比较简易程度。9．直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是________，则不等式-3x+912的解集是________．10．已知关于x的不等式kx-20（k≠0）的解集是x-3，则直线y=-kx+2与x轴的交点是__________．11．已知不等式-x+53x-3的解集是x2，则直线y=-x+5与y=3x-3的交点坐标是_________．综合9-10题，思考：不等式解集中的端点值其实就是什么？12.如果一次函数y=kx+2，当x=5时，y=4，那么当x________时，y＜0.思考：有几种方法？比较简易程度。