拉氏变换与反变换---参考

102机电控制工程数学基础本章主要内容、基本要求、重点和难点主要内容(1)复数及复数表示方法，复变函数概念。(2)初等函数定义，复变函数的导数。(3)复变函数积分，计算方法。(4)罗朗级数、留数定理。(5)拉氏变换定义、常用函数拉氏变换、拉氏变换性质、拉氏反变换。基本要求(1)了解复变量的表示方法，复变函数的概念，会计算留数。(2)了解拉氏变换定义，并用定义求常用函数的拉氏变换，会查拉氏变换表。(3)了解拉氏变换性质及其应用。(4)会用部分分式法，求拉氏反变换。重点：复变函数表示方法；拉氏变换的定义；用拉氏变换的定义求常用函数的拉氏变换；拉氏变换性质及应用，用部分分式法求拉氏反变换。难点：(1)建立在复数域描述一个函数的概念。而初学者习惯于时间函数。通过拉氏变换这一数学工具将时间函数变为复域的函数，其优点是将微分方程变换为代数方程，使对系统的分析、综合方便。(2)拉氏变换性质的应用。学习本章时，一般了解复变函数概念，复数表示方法；了解拉氏变换定义及其性质的推导过程，通过作习题，熟练掌握各性质的应用，为后继章节学习打下基础。2.1复变量及复变函数(1)复数的概念在学习初等代数时，已经知道在实数范围内，方程012x是无解的，因为没有一个实数的平方等于–1。由于解方程的需要，人们引进一个新数j,称为虚单位，并规定12j从而j是方程012x的一个根。对于任意二实数x,y我们称jyxz为复数，其中x,y分别称为z的实部和虚部，记作)()(zIyzRxme当x=0时,jyz称为纯虚数;当y=0时,jxz0,这时z就是实数。要注意复数与实数有一些不同,如:两个复数相等,必须它们的实部和虚部分别相等。一般说来，任意两个复数不能比较大小。(2)复数的代数运算两个复数111jyxz，222jyxz111)加减法的定义：)()()()(21212211yyjxxjyxjyx2)乘法的定义)()())((211221212211yxyxjyyxxjyxjyx3)除法的定义设0222jyxz22222212222221212211yxyxyxjyxyyxxjyxjyx复数的运算和实数的情形一样，也满足交换律、结合律和分配律。4)共轭复数实部相同而虚部正负号相反的两个复数称为共轭复数，与z共轭的复数记作z。如果jyxz则jyxz。(3)复数的几种表示法1）点表示法，由于任一复数jyxz与一对实数x,y成一一对应，所以对于平面上给定的直角坐标系，复数jyxz可以用坐标为(x,y)的点来表示，这是一个常用的表示法，x轴称为实轴，y轴称为虚轴，两轴所在的平面称为复平面或Z平面，这样，复数与复平面上的点成一一对应。2）向量表示法或极坐标表示法。向量表示法即用从坐标原点指向点(x,y)的向量表示，如图２－１－１所示。向量的长度称为Z的模或绝对值，记作jyxzzryθ0xx图22yxrz在z≠0的情况，向量与x轴的夹角θ称为z的相角，记作zArgxytgz或1θ角逆时针为正，顺时针为负。任何一个复数z≠0有无穷多个相角，如果θ1是其中的一个，那么为任意整数）Ａkkzrg(21就给出了z的全部相角。在z≠0的相角中，我们把满足–π＜θ1≤π的θ1称Argz的主值。3）三角表示法和指数表示法。复数的直角坐标与极坐标的关系如下：sin,cosryrx复数z可以表示为12)sin(cosjrz该式称为复数的三角表示法。再利用欧拉公式sincosjej,又可得)exp(jzzezrezjj或者这种形式称为复数的指数表示法复数的各种表示法可以相互转换，以适应不同问题时的讨论。例将jz212化为三角表示式和指数表示式。解：331224412xytgzr由于z在第三象限，所以65z的三角表示式是)65sin65(cos4)65sin()65cos(4jjzz的指数表示式是654jez例求复数jz211的实部、虚部、模值与相角。解：jjjjjz5251)21)(21(2121143.6325152447.055525152)(,51)(1122tgtgrzIzRme（4）关于模与相角定理1）乘积：设有两个复数212211,jjerzerz13)(212121jerrzz定理：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积；两个复数乘积的相角等于它们的相角的和。推论)(212121njnnerrrzzz2）商：设有两个复数212211,jjerzerz当z1≠0时，)(1212121212jjjerrererzz2.1.1复变函数的概念(1)复变函数的定义设G是一个复数iyxz的集合，如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G中的每一个复数z，就有一个或几个复数jvuw与之对应，那未称复变数w是复变数z的函数简称复变函数，记作)(zfw(2)复变函数的极限极限运算法则：设BzgAzfzzzz)(lim)(lim00和，那么1）BAzgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim000；2）BAzgzfzgzfzzzzzz)](lim)][(lim[)()(lim000；3）当0)(lim0zgzz时,BAzgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim000。2.1.2导数例求2)(zzf的导数解：因为zzzzzzzzzfzzfzzz2)2(lim)(lim)()(lim02200所以zzf2)(例问yjxzf2)(是否可导？解：这里14yjxyjxzyjxjyyxxzzfzzfzzz2lim2)(2)(lim)()(lim000设zz沿着平行于x轴的方向趋向于z(图2－1—2)y因而0y。这时极限1lim2lim00xxyjxyjxzzz设zz沿着平行于y轴的方向趋向于z，0x因而0x。这时极限图22lim2lim00yjyjyjxyjxzz所以yjxzf2)(的导数不存在。(2)求导法则，由于复变函数中导数的定义与实变函数中导数的定义在形式上完全相同，而且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中的一样，因而实变函数中的求导法则在复变函数中也都完全相同，而且证法也是相同的。现将几个求导公式与法则罗列于下：1)0)(c，其中c为复常数。2)1)(nnnzz，其中n为正整数。3))()()()(zgzfzgzf。4))()()()()()(zgzfzgzfzgzf。5))()()()()(1)()(2zgzfzfzgzgzgzf，0)(zg。6))()()(zgwfzgf，其中)(zgw。2.1.3解析函数和调和函数(1)解析函数的概念例)sin(cos)(yjyezfx解：因为yevyeuxxsin,cosyeyuyexuxxsin,cos15yeyvyexvxxcos,sin从上面可得：xvyuyvxu,由于上面四个一阶偏导数都是连续的，所以f(z)在复平面上处处解析。2.1.4几个初等函数的定义(1)指数函数由)sin(cosyjyeeeeexjyxjyxz，所以①xzee),2,1,0(2kkyArgez②ze在复平面上解析，且zzee)(（参阅导数）③ze是以2πj为周期的周期性，即),2,1,0()2sin2(cos22kekjkeeeezzjkzkjz式中④加法定理21212121zzzzzzzzeeeeee例求jew1的实部、虚部、模和相角。解：因为)1sin1(cos1jeej，所以eeeeIeeRjjmje1111sin)(1cos)(),2,1,0(21)(1kkeArgj主值1)arg(1je例证明zzee证：因为)sin(cosyjyeexz，所以16zjyxxxzeeyjyeyjyee))sin()(cos()sin(cos(2)对数函数性质21212121)(LnzLnzzzLnLnzLnzzzLn但应注意，这些等式右端必须取适当的分支才能等于左端的某一分支。例求下列各式的值及其主值：1）)1(Ln2）)2(jLn解：1）jjInInkkjkjjInLn)1arg(1)1(),2,1,0()12(2)1arg(1)1(2）)21(5)2(),2,1,0(21)12(52)21(52)2arg(2)2(arctgjInjInkarctgkjInkjarctgjInkjjjjInjLn(3)幂函数性质①),,0(212121是复常数zzzz②z的每一单值分支在相应的Lnz的解析域内也解析，且1)()(zzeezLnzLnz按α取值又可分成如下几种情形：a.当n,n是正整数时，nzw是复平面上的单值解析函数。b.当n1，n是正整数时，nzw1包含n个单值分支，即17)1,,2,1,0(2argsin2arg(cos1)2arg(111nknkzjnkzzeeznkjzjzLnnLnznnc.当nm，n是正整数，m是整数时，nmzw仍包含n个单值分支，即)1,,2,1,0()2(argsin)2(argcosnkkznmjkznmzznmnmd.当α是无理数或虚数时，zw包含无穷多个单值分支(4)三角函数三角函数的性质①zsin和zcos在复平上解析，且zzzeejeezjzjzjzjzsin)(coscos22)(sin②周期性zkzzkzcos)2cos(sin)2sin(③奇偶性zzzzcos)cos(sin)sin(④加法定理212121212121sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(zzzzzzzzzzzz⑤平方关系1cossin22zz注意：zzcossin和的模可以大于1，例如：2cos1eei＞1只要Z的虚部足够大，zzcos,sin的模可以大于任何正数，也就是说，y时，zsin18和zcos越趋于无穷大。2.1.5复变函数积分定义及计算积分存在的条件若),(),()(yxjvyxuzf在光滑的简单曲线C上连续，则)(zf沿C的积分存在，且ccccudyvdxjvdyudxjdydxjvudzzf))(()(所以复变函数的积分相当于两个实变函数的线积分。性质。与实变函数中定积分的性质类似。1）ccdzzfdzzf1)()(2）ccdzzfkdzzkf)()(，k为常数。3）cccdzzgdzzfdzzgzf)()()()(积分的计算1)化为两个二元实函数的线积分，即cccudyvdxjvdyudxdzzf)(2)化为对实参量的定积分设曲线C：,)(,)(tytxx（a≤t≤b）则btatjytxtz),()()(cbadttztzfdzzf)(