《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1抛物线的几何性质(二)

2.3.2(二)2.3.2抛物线的几何性质(二)【学习要求】1.提升对抛物线定义、标准方程的理解，掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相交问题的综合问题．本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)试一试·双基题目、基础更牢固1．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上一点P(－3，m)到焦点F的距离为5，则抛物线方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4xB解析点P(－3，m)在抛物线上，焦点在x轴上，所以抛物线的标准方程可设为y2＝－2px(p0)．由抛物线定义知|PF|＝3＋p2＝5.所以p＝4，所以抛物线的标准方程是y2＝－8x.本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)2．已知点A(－2,1)，y2＝－4x的焦点是F，P是y2＝－4x上的点，为使|PA|＋|PF|取得最小值，则P点的坐标是()A．－14，1B．(－2,22)C．－14，－1D．(－2，－22)解析过P作PK⊥l(l为抛物线的准线)于K，则|PF|＝|PK|，∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PK|.∴当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，|PA|＋|PK|最小，此时P点的纵坐标为1，把y＝1代入y2＝－4x得x＝－14.试一试·双基题目、基础更牢固A本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)3．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在解析∵xA＋xB＝5，∴|AB|＝5＋2＝7.∵过焦点垂直于x轴的弦长2p＝4，∴所求直线应有两条．试一试·双基题目、基础更牢固B本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)4．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积为________．解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝4x1，y22＝4x2.∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．∵x1≠x2，∴y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝1.∴直线AB的方程为y－2＝x－2，即y＝x.将其代入y2＝4x，得A(0,0)、B(4,4)．∴|AB|＝42.又F(1,0)到y＝x的距离为22，∴S△ABF＝12×22×42＝2.试一试·双基题目、基础更牢固答案2本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)题型一抛物线的标准方程例1抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆x24＋y29＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及准线方程．研一研·题型解法、解题更高效解∵椭圆x24＋y29＝1短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)设抛物线的标准方程为y2＝2px或y2＝－2px(p0)，∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴p2＝3，即p＝6，∴抛物线的方程为y2＝12x或y2＝－12x，准线方程分别为x＝－3和x＝3.小结求抛物线的标准方程要明确四个步骤：(1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口)；(2)设方程(根据焦点和开口设出标准方程)；(3)找关系(根据条件列出关于p的方程)；(4)得出抛物线的标准方程．研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)跟踪训练1求以双曲线x28－y29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及准线方程．解∵双曲线右顶点为(22，0)，即抛物线的焦点，∴p2＝22，∴2p＝82，∴抛物线方程为y2＝82x，准线方程为x＝－22.研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)题型二抛物线的几何性质例2过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．证明方法一如图，以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系．设抛物线的方程为y2＝2px，①点A的坐标为y202p，y0，则直线OA的方程为y＝2py0x(y0≠0)，②抛物线的准线方程是x＝－p2.③联立②③，可得点D的纵坐标为y＝－p2y0.④研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)因为点F的坐标是p2，0，所以直线AF的方程为y＝2py0y20－p2x－p2，其中y20≠p2.⑤联立①⑤，可得点B的纵坐标为y＝－p2y0.⑥由④⑥可知，DB∥x轴．当y20＝p2时，结论显然成立．研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)方法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当AB与x轴不垂直时，设AB方程为y＝kx－p2(k≠0)．由y＝kx－p2y2＝2px，得ky2－2py－p2k＝0.由根与系数的关系得，y1y2＝－p2，∴y2＝－p2y1.研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)∵A在抛物线上，∴y21＝2px1.∴kOA＝y1x1＝2py1.∴直线OA的方程为y＝2py1x.由y＝2py1xx＝－p2，得D－p2，－p2y1.∴B、D两点纵坐标相等，BD∥x轴．当AB⊥x轴时，x1＝x2＝p2，此时Bp2，－p，D－p2，－p.显然有BD∥x轴．研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)小结本例的研究过程体现了用坐标法研究直线与圆锥曲线位置关系的特点．过焦点的直线可将直线方程设为x＝my＋p2的形式，从而避免分类讨论．本例是抛物线焦点弦的一个几何性质．研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)跟踪训练2如图所示，抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)证明方法一设直线AB的方程为y＝kx－p2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C－p2，y2.联立方程组，得y＝kx－p2，y2＝2px，消去x，得y2－2pyk－p2＝0，∴y1y2＝－p2，kOA＝y1x1，kOC＝y2－p2＝2py1.又∵y21＝2px1，∴kOC＝y1x1＝kOA，所以AC经过原点O.当k不存在时，AB⊥x轴，同理可得kOA＝kOC，所以AC经过原点O.研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)方法二因为抛物线y2＝2px(p0)的焦点为Fp2，0，由于直线AB斜率不为0，所以经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋p2，代入抛物线方程消去x，得y2－2pmy－p2＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2＝－p2.因为BC∥x轴，且点C在准线x＝－p2上，所以点C的坐标为－p2，y2，故直线CO的斜率为k＝y2－p2＝2py1＝y1x1，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)题型三抛物线中的定值、定点问题例3如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值．研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)证明设kAB＝k(k≠0)，∵直线AB，AC的倾斜角互补，∴kAC＝－k(k≠0)，∵AB的方程是y＝k(x－4)＋2.由方程组y＝kx－4＋2，y2＝x，消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解．∴4·xB＝16k2－16k＋4k2，即xB＝4k2－4k＋1k2，以－k代换xB中的k，得xC＝4k2＋4k＋1k2，∴kBC＝yB－yCxB－xC＝kxB－4＋2－[－kxC－4＋2]xB－xC＝kxB＋xC－8xB－xC＝k8k2＋2k2－8－8kk2＝－14.所以直线BC的斜率为定值．研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)小结在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点的问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化．研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)跟踪训练3A、B为抛物线y2＝2px(p0)上两点，O为原点，若OA⊥OB，求证：直线AB过定点．证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵OA⊥OB⇒x1x2＋y1y2＝0，A，B在抛物线上⇒y21y22＝4p2x1x2，∴y1·y2＝－4p2x1·x2＝4p2，研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)lAB：y－y1＝2py1＋y2(x－x1)，∴y－y1＝2py1＋y2x－y212p∴y＝2py1＋y2·x－y21y1＋y2＋y1＝2py1＋y2·x－4p2y1＋y2＝2py1＋y2(x－2p)，∴直线AB过定点(2p,0).研一研·题型解法、解题更高效本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)练一练·当堂检测、目标达成落实处1．若一动点到点(3,0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则该点的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线解析已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线．B本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)练一练·当堂检测、目标达成落实处2．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝2|AF|，则△AFK的面积为()A．4B．8C．16D．32B解析∵抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，准线为x＝－2，∴K(－2,0)．设A(x0，y0)，过A点向准线作垂线AB，垂足为B，则B(－2，y0)，∵|AK|＝2|AF|，又|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，∴由|BK|2＝|AK|2－|AB|2，得y20＝(x0＋2)2，即8x0＝(x0＋2)2，解得A(2,4)．∴△AFK的面积为12|KF|·|y0|＝12×4×4＝8.本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)练一练·当堂检测、目标达成落实处3．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．能使这条抛物线方程为y2＝10x的条件是________(要求填写合适条件的序号)．本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)练一练·当堂检测、目标达成落实处解析由抛物线方程y2＝10x，知它的焦点在x轴上，所以②适合．又∵它的焦点坐标为F52，0，原点O(0,0)，设点P(2,1)，可得kPO·kPF＝－1，∴⑤也合适．而①显然不合适，通过计算可知③、④不合题意．∴应填序号为②⑤.答案②⑤本专题栏目开关试一试研一研练一练2.3.2(二)练一练·当堂检测、目标达成落实处4．过抛物线y2＝4x的顶点O作互相垂直的两弦OM、ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为________．解析由已知设OM的斜率为k，则ON的斜率为－1k.从而OM的方程为y＝kx，联立方程y2＝4x，y＝kx