《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第一章 1.2.1三角函数的定

填一填练一练研一研本课时栏目开关1.2.11.2.1三角函数的定义【学习要求】1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义．2．掌握正弦、余弦、正切这三种函数值在各象限的符号．【学法指导】1．在初中所学习的锐角三角函数的基础上过渡到任意角三角函数的概念．2．紧扣任意角的三角函数的定义来掌握三角函数值在各象限的符号规律．3．理解任意角的三角函数的定义不仅是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键.填一填练一练研一研本课时栏目开关1.2.1填一填·知识要点、记下疑难点1．任意角的三角函数的定义如图所示，以任意角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系．设P(x，y)是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点．其中，r＝OP＝x2＋y20.定义：叫做角α的余弦，记作cosα，即；叫做角α的正弦，记作sinα，即；叫做角α的正切，记作tanα，即.xrcosα＝xryrsinα＝yryxtanα＝yx填一填练一练研一研本课时栏目开关1.2.1填一填·知识要点、记下疑难点另外，角α的正割：secα＝＝；角α的余割：cscα＝＝；角α的余切：cotα＝＝.2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号1cosαrx1sinαry1tanαxy填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.1探究点一锐角三角函数的定义问题1如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知a＝3，b＝4，c＝5，试求sinA，cosB，sinB，cosA，tanA，tanB的值．答sinA＝cosB＝ac＝35；sinB＝cosA＝bc＝45；tanA＝ab＝34；tanB＝ba＝43.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.1问题2如图，锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P(a，b)，它与原点的距离为r，作PM⊥x轴，你能根据直角三角形中三角函数的定义求出sinα，cosα，tanα吗？答sinα＝br，cosα＝ar，tanα＝ba.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.1探究点二任意角三角函数的定义及定义域设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离r(r＝x2＋y20)，则xr、yr、yx、rx、ry、xy依次称作角α的余弦、正弦、正切、正割、余割、余切，分别记作cosα＝xr，sinα＝yr，tanα＝yx，secα＝rx，cscα＝ry，cotα＝xy.根据三角函数的定义可知，三角函数是一个比值，是一个实数，这个数的大小和点P(x，y)离原点的距离无关，而是由角α的终边位置所确定．六种三角函数的定义域可以分为：正弦与余弦、正切与正割、余切与余割，现将它们的定义域列表如下，请你补充完整.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.1三角函数定义域sinα，cosαRtanα，secαcotα，cscαα|α≠kπ＋π2，k∈Zα|α≠kπ，k∈Z填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.1探究点三三角函数值在各象限的符号三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号．(1)sinα＝yr(r0)，因此sinα的符号与y的符号相同，当α的终边在第象限时，sinα0；当α的终边在第象限时，sinα0.(2)cosα＝xr(r0)，因此cosα的符号与x的符号相同，当α的终边在第象限时，cosα0；当α的终边在第象限时，cosα0.(3)tanα＝yx，因此tanα的符号由x、y确定，当α终边在第象限时，xy0，tanα0；当α终边在第象限时，xy0，tanα0.一、二三、四一、四二、三一、三二、四填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.1根据任意角三角函数的定义可知：sinα与cscα的符号相同；cosα与secα的符号相同；tanα与cotα符号相同．六种三角函数在各象限的符号规律如下图所示：填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.1[典型例题]例1已知角α的终边上一点P(－15a,8a)(a∈R且a≠0)，求α的六个三角函数值．解∵x＝－15a，y＝8a，∴r＝－15a2＋8a2＝17|a|(a≠0)．(1)若a0，则r＝17a，于是sinα＝817，cosα＝－1517，tanα＝－815，secα＝－1715，cscα＝178，cotα＝－158.(2)若a0，则r＝－17a，于是sinα＝－817，cosα＝1517，tanα＝－815，secα＝1715，cscα＝－178，cotα＝－158.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.1小结利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.1跟踪训练1已知角θ的终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝1010x，求sinθ，tanθ，cotθ.解∵r＝x2＋9，cosθ＝xr，∴1010x＝xx2＋9.∵x≠0，∴x＝±1.∵y＝30，∴θ是第一或第二象限角，当θ为第一象限角时，sinθ＝31010，tanθ＝3，cotθ＝13；当θ为第二象限角时，sinθ＝31010，tanθ＝－3，cotθ＝－13.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.1例2求下列各角的六个三角函数值．(1)0；(2)π；(3)3π2.解(1)当α＝0时，x＝r，y＝0，所以sin0＝0，cos0＝1，tan0＝0，csc0不存在，sec0＝1，cot0不存在；(2)当α＝π时，x＝－r，y＝0，所以sinπ＝0，cosπ＝－1，tanπ＝0.cscπ不存在，secπ＝－1，cotπ不存在；(3)当α＝3π2时，x＝0，y＝－r，所以sin3π2＝－1，cos3π2＝0，tan3π2不存在，csc3π2＝－1，sec3π2不存在，cot3π2＝0.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.1小结求任意角的三角函数值，最后常常转化为求特殊角的三角函数值，因此对特殊角的三角函数值应当适当加强记忆．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.1跟踪训练2利用任意角三角函数的定义写出下列角的六个三角函数值．(1)π6；(2)π4；(3)π3；(4)π2.解(1)sinπ6＝12，cosπ6＝32，tanπ6＝33，secπ6＝233，cscπ6＝2，cotπ6＝3；(2)sinπ4＝22，cosπ4＝22，tanπ4＝1，secπ4＝2，cscπ4＝2，cotπ4＝1；(3)sinπ3＝32，cosπ3＝12，tanπ3＝3，secπ3＝2，cscπ3＝233，cotπ3＝33；填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.1(4)sinπ2＝1，cosπ2＝0，tanπ2不存在，secπ2不存在，cscπ2＝1，cotπ2＝0.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.1例3判断下列各式的符号：(1)sinα·cosα(其中α是第二象限角)；(2)sin285°cos(－105°)；(3)sin3·cos4·tan－23π4.解(1)∵α是第二象限角．∴sinα0，cosα0，∴sinα·cosα0.(2)∵285°是第四象限角，∴sin285°0，∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)0，∴sin285°·cos(－105°)0.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.1(3)∵π23π，π43π2，∴sin30，cos40.∵－23π4＝－6π＋π4，∴tan－23π40，∴sin3·cos4·tan－23π40.小结准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键．可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.1跟踪训练3(1)若sinαcosα0，则α是第________象限角．(2)代数式：sin2·cos3·tan4的符号是_________．二或四负号填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处1.2.11．sin(－270°)的值为()A．－1B．1C．0D．不存在解析－270°终边落在y轴正半轴，设P(x，y)为－270°任一点，则x＝0，y＝r，∴sin(－270°)＝yr＝1.B填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处1.2.12．如果角α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则cosα的值等于()A.12B．－12C．－32D.32解析2sin30°＝1，－2cos30°＝－3，∴r＝2，∴cosα＝12.A填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处1.2.13．若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y0，cosα＝35，则tanα等于()A．－34B.34C.43D．－43解析∵cosα＝332＋y2＝35，∴32＋y2＝5，∴y2＝16，∵y0，∴y＝－4，∴tanα＝－43.D填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处1.2.14．如果sinx＝|sinx|，那么角x的取值集合是_____________________________．{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处1.2.11．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．2．要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取．3．要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.填一填练一练研一研本课时栏目开关