《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第二章用平面向量坐标表示向量共

2.2.32.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件【学习要求】1．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．2．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．3．掌握三点共线的判断方法．【学法指导】1．应用平面向量共线条件的坐标表示来解决向量的共线问题优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且使问题具有代数化的特点、程序化的特征．具体运用时，要注意向量的共线、平行与几何中的共线、平行的区别．2．平面向量共线的坐标表示定理中的“当且仅当”就是说若x1y2－x2y1＝0，则a，b共线；反过来，若a与b共线，则x1y2－x2y1＝0.填一填练一练研一研本课时栏目开关2.2.3填一填·知识要点、记下疑难点1．两向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)当a∥b时，有.(2)当a∥b且x2y2≠0时，有.即两向量的相应坐标成比例．2．若P1P→＝λPP2→，则P与P1、P2三点共线．当λ∈时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；当λ∈时，P位于线段P1P2的延长线上；当λ∈时，P位于线段P1P2的反向延长线上.x1y2－x2y1＝0x1x2＝y1y2(0，＋∞)(－∞，－1)(－1,0)填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.3探究点一平面向量共线的坐标表示a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a＝λb.那么这个共线向量定理如何用坐标来表示？问题1设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0，请你写出证明过程．答∵a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0.∴x2，y2不全为0，不妨假设x2≠0.∵a∥b，∴存在实数λ，使a＝λb，即(x1，y1)＝λ(x2，y2)＝(λx2，λy2)，∴x1＝λx2，y1＝λy2，∵x2≠0.∴λ＝x1x2.将λ＝x1x2代入y1＝λy2得y1＝x1y2x2，即x1y2－x2y1＝0.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.3问题2设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.请你写出证明过程．答∵b≠0，∴x2，y2不全为0，不妨假设x2≠0，则由x1y2－x2y1＝0得y1＝x1x2y2.∴(x1，y1)＝x1，x1x2y2＝x1x2(x2，y2)令λ＝x1x2，则a＝λb.所以a∥b.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.3探究点二共线向量与中点坐标公式问题1设P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，求线段P1P2的中点P的坐标．答如图所示，P为P1P2的中点，∴P1P→＝PP2→，∴OP→－OP1→＝OP2→－OP→∴OP→＝12(OP1→＋OP→2)＝x1＋x22，y1＋y22.∴线段P1P2的中点坐标是x1＋x22，y1＋y22.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.3问题2设P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)．点P是线段P1P2的一个三等分点，求P点的坐标．答点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：图1图2①当P1P→＝13P1P2→时（如图1），OP→＝OP1→＋P1P→＝OP1→＋13P1P2→＝OP1→＋13(OP2→－OP1→)＝23OP1→＋13OP2→＝2x1＋x23，2y1＋y23；填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.3②当P1P→＝23P1P2→时(如图2)，OP→＝OP1→＋P1P→＝OP1→＋23P1P2→＝OP1→＋23(OP2→－OP1→)＝13OP1→＋23OP2→＝x1＋2x23，y1＋2y23.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.3问题3已知△ABC的三个顶点坐标依次为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．求△ABC的重心G的坐标．答如图，延长AG交BC于点D，∵G为△ABC的重心，∴D为BC的中点，∴AG→＝23AD→＝2312AB→＋12AC→＝13AB→＋13AC→，∴OG→＝OA→＋AG→＝OA→＋13AB→＋13AC→＝OA→＋13(OB→－OA→)＋13(OC→－OA→)＝13(OA→＋OB→＋OC→)＝x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.3探究点三共线向量与线段分点坐标在平面直角坐标系中，我们可以利用共线向量坐标之间的关系求解坐标．如图所示，设P点是直线P1P2上的一点，且P1P→PP2→＝λ.问题1定比λ与分点位置的一一对应关系如下表：λλ－1λ＝－1－1λ0λ＝0P点位置在的延长线上在的延长线上与重合P点名称外分点不存在外分点始点P1P2P2P1P1填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.3λ0λ1λ＝1λ1P点位置在与中点之间P为在中点与之间P点名称内分点P1P2中点填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.3问题2设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，试用λ及P1，P2点的坐标表示P(x，y)点的坐标．答∵OP→＝OP1→＋P1P→＝OP1→＋λPP2→＝OP1→＋λ(OP2→－OP→)＝OP1→＋λOP2→－λOP→，∴OP→＝OP1→＋λOP2→1＋λ＝11＋λ(x1，y1)＋λ1＋λ(x2，y2)＝11＋λx1，11＋λy1＋λ1＋λx2，λ1＋λy2＝x1＋λx21＋λ，y1＋λy21＋λ.∴Px1＋λx21＋λ，y1＋λy21＋λ.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.3[典型例题]例1已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？解ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，∵ka＋b与a－3b平行，∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－13.此时ka＋b＝－13－3，－23＋2＝－13(a－3b)，∴当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．小结此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.3跟踪训练1已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断AB→与CD→是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解AB→＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD→＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．方法一∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×40，∴AB→与CD→共线且方向相反．方法二∵CD→＝－2AB→，∴AB→与CD→共线且方向相反．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.3例2已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系．解∵AB→＝OB→－OA→＝(1,3)－(－1，－1)＝(2,4)，AC→＝OC→－OA→＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)，又2×6－3×4＝0，∴AB→∥AC→.∵直线AB、AC有公共点A，∴A、B、C三点共线．小结利用共线向量是判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线．这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的，而利用共线向量更加简捷．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.3跟踪训练2已知三点A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共线，试求m的值．解AB→＝(2,4)－(1,2)＝(1,2)．AC→＝(3，m)－(1,2)＝(2，m－2)．∵A，B，C三点共线，即向量AB→，AC→共线，∴存在实数λ使得AB→＝λAC→，即(1,2)＝λ(2，m－2)＝(2λ，λm－2λ)．∴2λ＝1，λm－2λ＝2.⇒λ＝12，m＝6.即m＝6时，A，B，C三点共线．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.3例3已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且|AP→|＝2|PB→|，求点P的坐标．解设P点坐标为(x，y)．∵|AP→|＝2|PB→|，∴AP→＝2PB→或AP→＝－2PB→.当AP→＝2PB→时，(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，∴x－3＝－2－2xy＋4＝4－2y，解得x＝13y＝0，∴P点坐标为13，0.当AP→＝－2PB→时，则(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，∴x－3＝2＋2xy＋4＝－4＋2y，解得x＝－5y＝8.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.3∴P点坐标为(－5,8)．综上，点P的坐标为13，0或(－5,8)．小结在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类讨论．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.3跟踪训练3已知点A(1，－2)，若向量AB→与a＝(2,3)同向，|AB→|＝213，求点B的坐标．解设AB→＝(x，y)，AB→与a同向，∴AB→＝λa(λ0)，即(x，y)＝λ(2,3)，∴x＝2λ，y＝3λ，又|AB→|＝213，∴x2＋y2＝52.∴4λ2＋9λ2＝52，λ＝2(λ0)．即AB→＝(4,6)．∴点B的坐标为(5,4).填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处2.2.31．下列各组的两个向量共线的是()A．a1＝(－2,3)，b1＝(4,6)B．a2＝(1，－2)，b2＝(7,14)C．a3＝(2,3)，b3＝(3,2)D．a4＝(－3,2)，b4＝(6，－4)解析∵－36＝2－4，∴a4∥b4，故选D.D填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处2.2.32．已知a＝(－1,2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是()A．1B．－1C．4D．－4解析∵a∥b，∴(－1)×y－2×2＝0，∴y＝－4.D填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处2.2.33．若点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)三点共线，则使AB→＝λBC→成立的实数λ的值为()A．－2B．0C．1D．2解析AB→＝(2,4)，BC→＝(x－1,2)，∵A，B，C三点共线，∴AB→与BC→共线，∴2×2－4(x－1)＝0，∴x＝2，∴BC→＝(1,2)．∴AB→＝2BC→，∴λ＝2.故选D.D填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处2.2.34．已知向量OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，OC→＝(10，k)，如果A、B、C三点共线，则实数k＝________.解析∵OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，OC→＝(10，k)，∴AB→＝(4－k，－7)，BC→＝(6，k－5)，∵A、B、C三点共线，∴(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，解得k＝－2或k＝11.－2或11填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处2.2.31．两个向量共线条件的表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)当b≠0，a＝λb.(2)x1y2－x2y1＝0.(3)当x2y2≠0时，x1x2＝y1y2，即两向量的相应坐标成比例．2．向量共线的坐标