ARCH等效应分析

以7jpyen.wf1的数据为例，分析ARCH、GARCH效应的相关思路及回归估算方法。背景介绍：经典的回归模型研究的是被解释变量的期望与解释变量呈何种关系，其回归结果都伴随着随机误差项的四个经典基本假设：零均值、同方差、无序列相关、相互独立四个假设条件。GARCH模型族研究的是被解释变量的方差如何变化的问题，这在分析金融时间序列中有着广泛的应用。以前也有过关于异方差问题的解决，然而以前介绍的异方差多属于递增型异方差，即随机误差项方差的变化随着解释变量的增大而增大。然而，这里要解决的并不是这样类型的异方差，这里的异方差通常是指利率、汇率、股票收益等时间序列里面存在的呈现出随时间变化并且有“波动集群”特征的异方差，该异方差取值的分布表现为“高峰厚尾”特征。即现期方差与前期的“波动”有关系。使用ARCH模型进行估计时对这种特征的条件异方差进行正确估计可以使回归参数的估计量更具有有效性。这里使用7jpyen.wf1数据对ARCH/GARCH效应进行分析，操作过程如下：（1）看基本数据的统计特征：依次点击序列JPY——View——Graph——ok看该序列的基本特征，截图如下：从上图中可以看出，JPY序列并不是一个平稳序列。可以对JPY序列做一次差分，生成差分序列DJPY，然后按照上面所述步骤，看DJPY序列的基本特征，截图如下:从图中可以看出：DJPY序列是稳定时间序列，只是其方差波动呈现出具有“波动集群”特征的异方差情形，可能会有ARCH/GARCH效应的存在；依次点击DJPY——View——DescripitiveStatistics&Test——Histogramandstat，可以看到差分序列的统计分布特征，截图如下：从图中可以看出：DJPY序列的分布表现出明显的高峰厚尾特征，是自回归条件异方差存在的典型特征之一，因此可以尝试在回归模型中加入ARCH/GARCH方程项对自回归条件异方差进行控制。具体异方差是否显著存在还需要在回归过程中对异方差的存在显著性进行假设检验才能真正确定异方差及其形式。（2）基本模型的建立以及异方差的检验原JPY序列并不是一个平稳的时间序列，因此不能用原JPY序列直接建立时间序列模型进行分析。通过对原始序列进行一阶差分之后生成新的序列DJPY，从上面的DJPY序列图中可以看出这基本上是一个平稳的时间序列，因此可以用DJPY序列建立时间序列模型进行分析。首先要通过观察DJPY序列的自相关图和偏自相关图，以判断模型的具体形式。具体操作是：依次点击DJPY——View——Correlogram,可以得到DJPY序列的自相关图和偏自相关图，截图如下：在上图中，无论是AC图还是PAC图，在滞后三阶时都明显超出了区间范围，其余均在区间范围之内，其中PAC的三阶系数比AC的三阶系数要小，说明偏自相关系数对该序列的影响更明显一些，因此可以尝试建立AR（3）模型。建立DJPY序列的AR（3）模型，依次点击DJPY——Quick——EstimationEquation，在弹出的对话框中依次填入：DJPYar(1)ar(2)ar(3)，然后点击确定键，得到回归结果如下：从上述回归结果中可以看到：ar(1)项并无显著性，因此可以去掉ar(1)项，再次进行回归，重复上面的回归步骤，得到新的回归结果如下：在这个回归结果中，可以看到ar（2）和ar(3)的回归系数均具有显著性，因此可以确定根据DJPY序列建立起缺少了ar(1)的三阶自回归模型。看InvertedARROOts里面有三个特征根倒数均小于1，即说明回归方程的特征根均大于1，在单位圆之外，这保证了均值方程的稳定性。此时，均值方程已经合理建立，我们现在要做的就是看均值方程的残差项是否存在ARCH/GARCH效应。在均值方程回归结果窗口中，点击Resids项，看残差图，截图如下：从图中可以看出：实际残差呈现出明显的“波动集群”，而均值方程拟合的残差并不能包含这一特征，这也是下一步建立ARCH/GARCH方程的依据。为科学起见，这种条件异方差存在的确定还需要进行假设检验。（3）对均值方程（回归模型或时间序列模型）的误差项中是否存在自回归条件异方差进行假设检验。这里介绍四种方法及其具体操作。ARCH效应的LM检验：在Resids窗口中依次点击View——ResidualDiagnostics——HeteroskedasticityTests——在新对话框中选择ARCH项，然后再旁边的Numberoflags框中填入“2”（其实填1或2或其他数字都可以，只要有一项滞后项的ARCH检验通过了，就说明存在ARCH效应。），最后点击OK项，得到结果如下：图中上半部分的HeteroskedasticityTest:ARCH检验结果中的第二项Obs*R-squared（下半部分残差平方项对自身的一、二阶滞后项回归后的R-squared项乘以数据观测个数得到LM统计量）项即为构造的LM统计量，其P值为0.0000，表示原假设即不存在ARCH效应被拒绝，说明该误差项中存在着ARCH效应。具体到本例中的操作步骤是：先定义残差平方序列，在workfile窗口点击Genre，在弹出的对话框中输入re=resid，先将回归结果的残差提取出来，然后再在workfile窗口中用同样的方式生成新的序列re2=re^2，即残差的平方序列。打开re2序列，然后在主窗口中点击Quick——EstimationEquation，在弹出的对话框中输入re2cre2(-1)re2(-2)点击OK，得到残差平房项的二阶自回归结果，截图如下：方法2：自回归条件异方差的F检验。①建立原假设H0：1=2=…=q=0（不存在ARCH）H1：1,2,…,q不全为零②估计yt=xt'+ut，求tuˆ，计算tuˆ2。③用tuˆ2估计2个辅助回归式，并计算残差平方和SSEr、SSEu。tuˆ2=0+vt（约束模型，同方差）tuˆ2=0+121ˆtu+2tuˆ-22+…+qtuˆ-q2+vt（非约束模型，存在ARCH）④用SSEr、SSEu构造F统计量，在原假设成立条件下有F=)1/(/)(qTSSEqSSESSEuurF(q,T-q-1)其中，SSEr、SSEu分别表示由约束模型和非约束模型得到的残差平方和。若FF(q,T–q-1)，接受H0。若FF(q,T–q-1)，接受H1。如果结论是应该建立ARCH模型，则进一步应该对ARCH模型的阶数q进行检验。对此可以采用t检验。然后再在该回归结果窗口上方点击View——Coefficientdiagnostics——WaldTests——Coefficientrestrictions，在对话框中填入c(2)=c(3)=0,得到检验结果F统计量:如图所示，F统计量的P值表示拒绝了原假设（不存在ARCH效应），即存在ARCH效应。进一步需要对ARCH效应的阶数进行检验，使用的是t检验。具体到本例中的操作：在re2cre2(-1)回归结果的基础上点击View——CoefficientDiagnostics——RedundantVariablesTest-LikelihoodRatio，在弹出的对话框中填入re2(-1),得到LR检验结果：方法3：自回归条件异方差的LR检验。①建立原假设H0：1=2=…=q=0（不存在ARCH）H1：1,2,…,q不全为零②估计yt=xt'+ut，求tuˆ，计算tuˆ2。③用tuˆ2估计2个辅助回归式，并计算极大似然函数值logLr，logLu，tuˆ2=0+vt（约束模型，同方差）tuˆ2=0+121ˆtu+2tuˆ-22+…+qtuˆ-q2+vt（非约束模型，存在ARCH）④用logLr和logLu构造LR统计量，在原假设成立条件下有LR=-2(logLr-logLu)m)其中logLr和logLu分别表示由约束模型和非约束模型得到的极大似然函数值。若LR2(m)，接受H0。若LR2(m)，接受H1。如果结论是应该建立ARCH模型，则进一步应该对ARCH模型的阶数q进行检验。对此可以采用t检验。上述检验结果显示拒绝原假设，即存在ARCH效应。方法4：模型残差平方的Q检验。残差的平方意味着方差，若存在自相关，说明存在自回归条件异方差。此时要在原均值方程回归结果的基础上进行操作，具体步骤是：依次点击View——ResidualDiagnostic——CorrelogramSquaredResidual，在弹出的对话框中填入10，点击OK，得到结果截图如下：看上图中的残差平方项的Q统计量及其对应的P值，均拒绝原假设（无异方差的存在），即存在ARCH效应。至此，四种检验自回归条件异方差的方法均已介绍完毕，从四种方法对本例的检验可知：本例中的数据回归模型中存在着自回归条件异方差情形，需要在建立均值方程后，继续建立ARCH/GARCH过程。（4）建立ARCH效应模型在原均值方程回归的窗口中，下面的回归方法栏里选择ARCH方法项，可以看到一个弹开的对话框，主要是ARCH效应的选择项窗口，如下该窗口的上面一栏里是均值方程的表达式，是我们前面估计的均值方程；在中间部分的左栏里主要是相关的ARCH/GARCH效应选择；先确定ARCH效应的存在及其滞后项阶数，可以依次填入1,2，…，等，直到ARCH项不再显著为止；注意，ARCH效应方程的加入可能会改变均值方程中某些项的系数显著性，若原来显著的项在加入ARCH项后变得不显著，则需要把不显著的项去掉；本例中，通过检验发现，ARCH效应的滞后阶数为7为最合理的，而此时均值方程中由于常数项和ar(2)项由于ARCH效应的加入而变得不显著，因此将均值方程中的常数项C和ar(2)项去掉，再做回归，得到最终结果截图如下：至此，均值方程和ARCH效应方程均合理估计完毕，具体表达式为：（5）GARCH效应的检验：上面的ARCH效应回归方程中明显的ARCH（7）滞后项太多，可以尝试引入GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）。在ARCH效应选择窗口中，GARCH效应项填入非零的参数，可以得到带有GARCH效应的模型；加入了GARCH项滞后，原来的ARCH模型中的某些项就变得不显著，可以将不显著的部分去掉，重新进行检验，最终得到的结果截图如下：均值方程是：DJPYt=-0.0671DJPYt-3+tuˆ(-2.3)R2=0.007,DW=1.91,Q(15)=8.1ARCH(7)方程是：t2=0.37+0.131ˆtu2+0.092ˆtu2+0.093ˆtu2+0.104ˆtu2+0.075ˆtu2+0.056ˆtu2+0.077ˆtu2(14.5)(6.1)(4.4)(3.3)(3.9)(2.8)(2.6)(2.4)均值方程中之所以剔除了DJPYt-2项，是因为DJPYt-2项的系数不再有显著性。注意：均值方程伴有ARCH方程后，均值方程中的某些项常常会失去显著性。ARCH(7)模型的滞后项太多，从而引出GARCH模型概念。建立GARCH（2,2）模型是最合理的，此时该GARCH（2,2）结果的最终表达为：均值方程的表达式为：DJPYt=-0.065DJPYt-3+ut(-2.30)此时，GARCH（2,2）和均值方程均建立完毕，务必要再次检验此时的残差中自回归条件异方差是否已经被消除，若此时残差项中并无异方差的存在，则说明方程建立是合理的，否则就需要重新建立模型了。检验残差是否存在异方差与前面的方法是一样的，此处只用其中一种进行检验即可。在回归结果窗口中点击Resids项，然后再打开的残差项窗口中依次点击View——ResidualDiagnostic——ARCHLMTests，在弹出的对话框中的ARCH效应一栏里填入1或者2，点击OK，即可得到对残差进行ARCH效应检验的结果，截图如下：GARCH(2,2)方程：t2=0.0016+0.111ˆtu2-0.102ˆtu2+1.53t-12-1.54t-22(1.9)(