关于积分上限函数的主要性质及其应用

编号学士学位论文关于积分上限函数的主要性质及其应用学生姓名：艾合买提·黑力力学号：20040101010系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2004-3班努尔·力甫木台指导教师：完成日期：2009年5月22日学士学位论文BACHELOR’STHESIS1中文摘要积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数，对积分上限函数的初等性质及分析性质进行研究，深入讨论了特性，并用于解决一些微积分问题，并且得到了相应的比较好的结论。本文利用积分上限函数的性质讨论一些特殊函数的求导数，求极限，证明单调性，连续性，证明不等式和恒等式，证明积分中值定理，定义有关函数等方面的一些应用。关键词：积分上限函数；性质；定积分；连续。学士学位论文BACHELOR’STHESIS2目录中文摘要.....................................................................................................................1引言.............................................................................................................................11.积分上限函数的性质.............................................................................................1定理1.1.....................................................................................................................................1定理1.2.....................................................................................................................................2定理1.3.....................................................................................................................................3定理1.4.....................................................................................................................................3定理1.5.....................................................................................................................................5定理1.6.....................................................................................................................................62.积分上限函数的应用...........................................................................................62.1积分上限函数在求导数中的应用...................................................................................62.2积分上限函数在极限中的应用.......................................................................................72.3积分上限函数在单调性的应用.......................................................................................82.4积分上限函数在函数关系中的应用...............................................................................92.5在讨论函数连续性方面的应用.....................................................................................112.6证明方程根的应用.........................................................................................................112.7积分上限函数在证明等式题中的应用.........................................................................122.8积分上限函数在计算重积分中的应用.........................................................................132.9积分上限函数在证明不等式题中的应用.....................................................................142.10积分上限函数在求解函数方程的应用.........................................................................152.11积分上限函数在证明恒等式题中的应用.....................................................................162.12积分上限函数在证明中值定理中的应用.....................................................................17总结...........................................................................................................................19参考文献...................................................................................................................20致谢...........................................................................................................................21学士学位论文BACHELOR’STHESIS1引言积分上限函数问题是教学和实际生活中有特殊位置，一方面比较简单，另一方面它包括很多实际问题，有着非常广泛的应用。在积分学中，为证明原函数存在定理及牛顿—莱布尼兹公式，引进积分上限函数的概念。本文讨论此函数导数的存在性，周期性；并讨论了它在求导数，求极限，证明单调性及连续性，证明积分中值定理，证明不等式和恒等式，定义有关函数等方面的一些应用。在“数学分析”中，学过积分上限函数及其简单的性质。定义：设函数fx在区间,ab可积，则对于每一个取定的,xab，对应唯一个积分值，即,,xaxftdtxab称为函数fx的积分上限函数。积分上限函数有明显的几何意义：设,xab有0fx，则积分上限函数xaxftdt是区间,ax上的区边梯形的面积。如图（1）的阴影部分。1.积分上限函数的性质定理1.1如果函数fx在,ab上是可积，则积分上限函数xaFxftdt在区间,ab连续。证明：00,,,,xabxxxabxy图（1）y=f(x)xbao学士学位论文BACHELOR’STHESIS2000000xxxxxaaxFxFxxFxftdtftdtftdt。又由已知条件，fx在,ab上有界，即0,,Mxab，有fxM。0000000,.xxxxxxxxxFftdtftdtMdtMxMxxM，令M，即0,0M，当x时，有0FF，即0lim0xF。xaFxftdt在0,xab上连续。由0x在,ab上的任意性，Fx在,ab上连续。定理1.2若函数fx在区间,ab连续，则积分上限函数xaxftdt在,ab有连续的导数，且xfx，即积分上限函数x是被积函数fx的一个原函数。证明：设,xab，取x，使,xxab则有xxxxxaaxxxxftdtftdtftdt已知函数fx在闭区间连续，则由积分中值定理，至少存在一点c,使baftdt=()fcba取,cxxab，（01）学士学位论文BACHELOR’STHESIS3则xxxfxxx，或xxxfxxx又由函数fx在,ab的连续性，有00limlimxxxxxxfxxfxx即xfx，,xab。由此可见，尽管定积分与不定积分（原函数）的概念是完全不同的，但是二者之间存在着密切的联系。在区间,ab上的连续函数fx存在原函数，而积分上限函数x就是fx的一个原函数。定理1.3设函数fx在,ab上可积，则积分上限函数xaxftdt为满足Lipschitz条件的函数。特别地，x在,ab上一致连续。证明：已知fx在,ab上可积，由可积的必要条件，fx在,ab上必有界，即0,,Mxab，有12,,,fxMxxab，则得到对12,,xxab，有1222111212xxxxaaxxxxftdtftdtftdtftdtMxx。x在,ab上满足Lipschitz条件。另一方面，由定理1.1，xaxftdt在,ab连续x在,ab一致连续。定理1.4如果函数fx在区间,ab上连续，（1）当上限是x的可微函数()bx时，()bxaFxftdt有如下面求导公式学士学位论文BACHELOR’STHESIS4()()Fxfbxbx；（2）当上限与下限都是x的可微函数时，则有如下求导公式：()()()()()bxaxFxftdtfbxbxfaxax