风险厌恶

风险厌恶第7章2019/8/26《金融经济学》--王江2概述作为偏好的一个基本性质，我们要求它是凸的，偏好的凸性对参与者的最优消费/组合选择有重要的影响。这一章我们将进行一些具体研究。本章从上一章的效用函数出发，了解凸性的经济意义，引出风险厌恶的概念及其度量。最后考虑不同偏好所反应的风险厌恶之间的比较。2019/8/26《金融经济学》--王江3本章内容框架7.1边际效用递减7.2风险厌恶的定义7.3风险厌恶的度量7.4风险厌恶的几个例子7.5风险厌恶的比较7.6一阶风险厌恶7.7本章小结2019/8/26《金融经济学》--王江47.1边际效用递减定义7.1:对于函数u(·)，如果∀x,y和α∈[0,1]，有u(αx+(1−α)y)≥αu(x)+(1−α)u(y)（⇔uE(x)≥Eu(x)）则我们称u(·)为凹的。我们立即可以得到下面的定理：定理7.1:如果凸的连续偏好由(6.4)式中的期望效用函数表示，那么相应的效用函数u(·)是凹的。2019/8/26《金融经济学》--王江57.1边际效用递减(续)证明：我们只考虑如下的消费计划：[c0;c1]=[x;0]。∀xy以及α∈(0,1)，偏好的凸性要求：u(αx+(1−α)y)αu(x)+(1−α)u(y)如果我们用不等式代替严格不等式，显然成立而当α=0和α=1时也满足u(αx+(1−α)y)≥αu(x)+(1−α)u(y)再考虑x和y的关系。综合以上α，以及x，y的取值情况。可知满足定义7.1的条件，易得：u是凹的2019/8/26《金融经济学》--王江67.1边际效用递减(续)定理7.2:如果凹函数u(·)还是二阶可微的，那么u”≤0证明：令x=z-δ,y=z+δ以及α=1/2,那么,u是凹的意味着u(z)≥1/2[u(z-δ)+u(z+δ)],即：0≥如果u是二阶可微的，我们可以在上面的不等式中取极限δ→0，从而得到u”≤0。2)]}()([)]()({[21zuzuzuzu2019/8/26《金融经济学》--王江77.1边际效用递减(续)现在我们来考察6.4式的期望效用函数为凹性的经济含义，u(·)表示的是消费的直接效用，它的一阶导数u′(·)表示的是消费的边际效用。不满足性要求u′(·)0，即边际效用始终为正。偏好的凸性意味着u”(·)≤0，也就是说边际效用是消费的减函数。边际效用递减意味着当消费水平上升时，一单位额外消费得到的效用递减。2019/8/26《金融经济学》--王江87.2风险厌恶的定义上一节我们讨论了期望效用函数u(·)的凹性的一个重要含义是边际效用递减，这一节我们将继续探讨期望效用函数的另一个重要含义，也就是当偏好可以由期望效用表示时，凸性（凹函数）意味着风险厌恶。这节重点讨论风险厌恶的定义以及它与效用函数的关系。2019/8/26《金融经济学》--王江97.2风险厌恶的定义(续)定义7.2:记为一个不确定的支付。如果E[]=0，则称为一个公平赌博。定义7.3:如果满足则称效用函数u(·)的参与者是(严格)风险厌恶的风险厌恶的定义十分清楚。在期望值相同（⇔E(w+)=E(w)）的不确定性支付和确定性支付之间，一个风险厌恶的参与者总是选择后者。Eg：2019/8/26《金融经济学》--王江107.2风险厌恶的定义(续)定理7.3:当且仅当u是(严格)凹函数是，参与者是(严格)风险厌恶的。证明:风险厌恶⇒凹函数∀w1,w2(w1w2)以及p∈(0,1)，构造如下的伯努利赌博，概率为{p,1−p}，且很明显E[]=0。定义那么有w1=w+g1,w2=w+g2风险厌恶意味着（由定义7.3）2019/8/26《金融经济学》--王江117.2风险厌恶的定义(续)0w+g2ww+g1U(w+g2)U(w)U(w+g1)pU(w+g1)+(1-p)U(w+g2)2019/8/26《金融经济学》--王江127.2风险厌恶的定义(续)那么，因此(据定义7.1)，u是凹函数。凹函数⇒风险厌恶因为u是凹函数，由Jensen不等式，我们有因此，(据定义7.3)易得参与者是风险厌恶的。定理7.3证明了当偏好可以由期望效用表示时，凸性（凹函数）意味着风险厌恶。2019/8/26《金融经济学》--王江137.3风险厌恶的度量给出了风险厌恶的一般定义以后，我们很自然的考虑到如何量化，也就是说我们能否有一个风险厌恶的度量，可以让我们比较不同参与者或者同一参与者在不同情况下的风险厌恶程度？我们应该很清楚，一切风险的度量都应该与风险本身有关，对于不同的风险都应该有不同的风险厌恶度量。本章节主要是对小风险的情形进行度量，包括绝对风险度量和相对风险度量。风险测量指标风险贴水方差举例：2019/8/26《金融经济学》--王江14景气不景气期望等价A3/181/102/141.6/10B4/200/02/101/102019/8/26《金融经济学》--王江157.3绝对风险厌恶(续)风险厌恶的参与者偏好于确定性支付而不是不确定性支付。这种偏好的强度可以用风险溢价来衡量，其定义如下：定义7.4:一个参与者参与一个公平赌博所要求的风险溢价π，定义为(7.1)也就是说，风险溢价是参与者为了消除风险而愿意放弃的财富值。上式定义中的−π，被称为风险赌博的确定性等值CE，CE是一个完全确定的收入量，在此收入水平上所对应的效用水平等于不确定条件下期望的效用水平。2019/8/26《金融经济学》--王江167.3绝对风险厌恶(续)另外，我们也可以把它定义成参与者因为承担风险而要求的最小财富值：E[u(w++)]=u(w)对于相同的风险而言，和π不一定相同。但是我们将看到，对于小风险而言，他们是一样的。一般来说，风险溢价依赖于风险本身，也就是赌博的性质。当然，它也依赖于参与者的风险厌恶程度。πˆπˆ2019/8/26《金融经济学》--王江177.3绝对风险厌恶(续)考虑小风险：定义7.5:当随机变量的取值范围很小时，称为风险小的赌博。一个随机变量的取值范围定义为它的最大值和最小值之差。对于小风险，通过泰勒展开(7.1)式两边，我们有等式：因此小风险的风险溢价为)()()()~(]~[)(21)()]~([E122ππwuwuggEwuwugwu2019/8/26《金融经济学》--王江187.3绝对风险厌恶(续)很容易验证，对于小风险而言，上面给出的风险溢价的另一个定义与π相同。式(7.2)给出的风险溢价有一个很直观的解释：对于小风险而言，方差是风险大小的度量。风险溢价与风险的大小成正比，而比例系数反映了参与者的风险厌恶程度。除去客观因素var[]，仅留下反映个体主观因素的部分，我们得到了风险厌恶的度量，记为A(w)，它的定义如下：πˆ)()()(Awuwuwπˆ2019/8/26《金融经济学》--王江197.3绝对风险厌恶(续)因为A(w)是与每单位绝对风险的风险溢价相联系的，因此也被称为绝对风险厌恶。绝对风险厌恶不仅依赖于效用函数，它也依赖于财富水平w。因此我们在风险厌恶的定义中明确地标出其对财富水平的依赖。通常把绝对风险厌恶的倒数称作风险容忍系数：2019/8/26《金融经济学》--王江207.3相对风险厌恶Arrow-Pratt风险厌恶度量是对于给定绝对大小的风险而定义的。它并不考虑风险对于参与者的总财富的相对大小。我们也可以考虑如下以总财富作为基数的赌博和风险溢价：这里，赌博的盈亏为w，是与总财富成比例的。相应的风险溢价也如此。对于小规模的赌博，我们有2019/8/26《金融经济学》--王江217.3相对风险厌恶(续)这样就可以得到参与者的相对风险厌恶，记作R(w)，定义为因此，如果参与者面临的风险是与他的财富成比例的，相应的风险溢价作为其财富的一部分，是与他的相对风险厌恶以及风险相对于财富的大小成比例的。2019/8/26《金融经济学》--王江227.3风险厌恶的度量(续)风险厌恶的度量应该是与我们所考虑的风险本身相联系的。从他们的定义可以看到，上面引入的绝对和相对风险厌恶都是相对于小风险而言的，可能不适合面临大风险时的风险厌恶度量。在定义风险厌恶度量的同时，我们也得到了对(小)风险本身的一个度量，即方差。2019/8/26《金融经济学》--王江237.4风险厌恶的几个例子下面我们来看看几个关于效用函数及其风险厌恶度量的例子。1.线性或风险中性效用函数：u(w)=wA(w)=R(w)=0风险中性参与者的风险容忍是无穷的。2.负指数效用函数：u(w)=-e-awA(w)=a，R(w)=aw负指数效用函数具有常数绝对风险厌恶(CARA)，对于一个CARA效用函数，相对风险厌恶随着财富的增加而增加。2019/8/26《金融经济学》--王江247.4风险厌恶的几个例子(续)3.平方效用函数：对于该效用函数而言，边际效用为u′(w)=1-aw。当w1/a时它就成了负值了，为了保证不满足性，要限制w不能超过1/a。另一个性质是绝对风险厌恶随财富的增加而增加。也就是说，当参与者的财富越来越多是，对风险就越来越不能容忍。2w21w)w(uawawwRawaw1)(,1)(A2019/8/26《金融经济学》--王江257.4风险厌恶的几个例子(续)4.幂指数效用函数：绝对风险厌恶随财富的增加而递减，相对风险厌恶为常数。具有常数相对风险厌恶(CRRA)的偏好。其风险容忍对财富是线性的。5.对数效用函数：u(w)=logw对数效用函数可以看成是当γ→1时幂指数效用的极限。因此也属于CRRA类。1w11)(uw)(,,)(AwRww2019/8/26《金融经济学》--王江267.4风险厌恶的几个例子(续)6.双曲线绝对风险厌恶(HARA)效用函数：直接由它们的风险厌恶的度量定义风险容忍为线性的。这是较大的一类效用函数，包括前面例举的所有类型。作为HARA偏好的特例，有：1,/1)(Awdw/)(1)(TwdwAw2019/8/26《金融经济学》--王江277.4风险厌恶的几个例子(续)1.风险中性效用函数：d=∞;2.平方数效用函数：γ=-1且d=1/a;3.负指效用函数：γ→∞且d=1/a;4.幂指数效用函数：d=0,γ0且γ≠1;5.对数效用函数：d=0且γ→1。1,/1)(Awdw/)(1)(TwdwAw2019/8/26《金融经济学》--王江287.4风险厌恶的几个例子(续)给定某个偏好，若其绝对风险厌恶随财富增加（减少）而增加（减少），即A′(w)()0，则我们称之为绝对风险厌恶递增IARA（递减DARA）如果其相对风险厌恶随财富增加（减少）而增加（减少），即R′(w)()0，则我们称之为相对风险厌恶递增IRRA（递减DRRA）2019/8/26《金融经济学》--王江297.5风险厌恶的比较前面定义的风险厌恶度量反映了参与者对风险的态度，并且由他们的偏好决定。这一节我们将考虑如何使用这样的度量来帮助我们比较不同参与者对风险的态度。2019/8/26《金融经济学》--王江307.5风险厌恶的比较(续)记u1(w)和u2(w)为两个递增的、二阶可微的效用函数，A1(w)和A2(w)是它们的绝对风险厌恶系数。定理7.4:下面的命题等价(基于上面的假设)1.A1(w)≥A2(w)，∀w;2.;3.4.π1≥π2，对所有的w和公平赌博成立。)]([)(0)·(0)·(),·(21wufwufff使得且是凹的))z((121uu2019/8/26《金融经济学》--王江317.5风险厌恶的比较(续)证明：1⇒2：因为u′(w)0，立即可以得到f是凹的，也就是f’’≤0，如果A1(w)≥A2(w)。且。那么，且令0))((/))(()()())(()(12212112121zuuzuuzfzuwzuuzf3122