风险厌恶度量

第8讲风险厌恶度量预期效用与主观概率理论，对人们在不确定环境中的行为进行了准确描述和深刻分析，论证了人们追求预期效用最大化的行为准则，为研究不确定条件下的选择问题提供了很好的理论基础。本讲在此基础上展开进一步的讨论，主要议题有三个：预期效用与主观概率理论是否反映了实际现象？在风险活动面前，人们的态度如何？如何测定人们规避风险的倾向强弱？回答第三个问题是本讲的重点。事实上，从上一讲的赌博事例已经看到，当效用函数的性能发生了“凸性线性凹性”的变化时，消费者对待风险的态度相应地发生了“爱好中性厌恶”的变化。由此得到一个猜想：效用函数越凹，人们越厌恶风险，风险规避倾向越强。我们将证明这一猜想是正确的，由此便可引出一种对人们规避风险的倾向强弱进行测定的办法——风险厌恶度量。一、关于预期效用的悖论与争议关于不确定条件下的选择问题，上一讲建立的预期效用和主观概率理论似乎是完美的和合乎实际的，让我们完全有理由相信人们在不确定的环境(风险环境或无常环境)中是根据不确定性行动的预期效用大小来进行评判和选择的。然而阿莱和艾斯勃格分别对预期效用和主观概率进行了实际考察，发现了理论与实际不符的两个现象：AllaisParadox和EllsbergParadox，引起了人们对预期效用和主观概率理论的质疑和争议。有些人借此否定预期效用和主观概率理论，认为需要建立新的理论来解释不确定条件下的选择行为。另一些人则认为，出现这两个悖论的原因不是理论错了，而在于人们进行评判时发生了“视觉错误”。比如，有时候人们无法判断距离，但这不意味着需要重新发明一种距离概念。因此，预期效用和主观概率理论是正确的。下面，我们介绍这两个悖论。(一)AllaisParadox这是一个关于预期效用的悖论。现有四种彩票A、B、C、D，其奖励等级、获奖概率分布以及预期收入情况见下表所示。彩票ABCD奖金(万元)100110100010001100获奖概率100%10%89%1%11%89%10%90%预期收入(万元)1001001111调查发现，很多人都认为AB且DC。A与B相比，虽然预期收入都为100万元，但A是稳当地得到100万元，B则有1%的可能一无所获，而多得10万元的概率才仅仅不过10%：概率小，多得的数额也相对较小。这样，A明显比B好。C与D相比，虽然预期收入都为11万元，但购买D仅以少1%的可能性就要比购买C多得10万元，因而D比C好。计算预期效用设消费者的预期效用函数为u。计算一下预期效用，则有：u(A)=u(100)u(B)=u(110)10%+u(100)89%+u(0)1%u(C)=u(100)11%+u(0)89%u(D)=u(110)10%+u(0)90%根据调查结果AB，应有u(A)u(B)。由此可知：u(100)11%u(110)10%+u(0)1%在此式两边加上u(0)89%可得：u(100)11%+u(0)89%u(110)10%+u(0)90%即u(C)u(D)，这与实际调查结果DC相矛盾：通过预期效用函数得到的评价与消费者的实际评价相悖。那么这个悖论是否说明预期效用理论有着不切实际的地方？其实，这个悖论中消费者评价的“视觉错误”是明显存在的。(二)EllsbergParadox这是一个关于主观概率的悖论。情景：袋中有红球、蓝球和绿球共300个，其中红球100个。现有四种形式的赌博A、B、C、D：A：从袋中摸出一球，如果为红球，可得1000元。B：从袋中摸出一球，如果为篮球，可得1000元。C：从袋中摸出一球，若不是红球，可得1000元。D：从袋中摸出一球，若不是篮球，可得1000元。面对这四种赌博，每个人都需要对袋中有多少蓝球和有多少绿球作出自己的主观判断，因而涉及主观概率。通过调查发现，大多数人基本上都认为AB且CD。作出这种评价的原因可能在于A的确定性比B高，C的确定性比D高。用P表示赌博者的主观概率测度，u表示在这个概率测度下的预期效用函数。用F表示摸出红球这一事件，G表示摸出蓝球这一事件。则表示摸出的球不是红球，表示摸出的球不是蓝球。cFcG计算预期效用)0()1000()1()0())(1()1000()()()0()1000()1()0())(1()1000()()()0()1()1000()0())(1()1000()()()0()1()1000()0())(1()1000()()(uququGPuGPDupuupuFPuFPCuuququGPuGPBuuppuuFPuFPAucccc从AB知：(p-q)u(1000)(p-q)u(0)。从CD知：(p-q)u(1000)(p-q)u(0)。这是两个矛盾的不等式！可见，按照主观概率理论，根本不可能让AB和CD同时成立。然而，调查得到的事实却是如此。因此，主观概率理论也有不切实际的地方和时候。其实，出现这个悖论，很大的原因还在于评价判断上出现的错觉。是调查中消费者评价错了，而不是理论错了。令p=P(F)，q=P(G)。则。计算这四种赌博的效用，可得到：qGPpFPcc1)(,1)(二、对待风险的态度从赌博事例可得到这样的启示：一个人对待风险的态度完全反映在他的偏好关系上。对此，可用预期效用理论加以严格表述。设消费者的确定性选择集合X是商品空间的凸闭子集，消费者所处的风险环境为(,F)，风险选择集合为X(或用D)，风险偏好为。假定风险偏好满足阿基米德公理和独立性公理。于是，存在的预期效用函数u:XR。对任何,X，f,gD及p[0,1]，有我们把和u在确定性选择集合X上的限制分别叫做结果偏好和结果效用函数。当f是X的分布函数时，E=Ef=Xxdf(x)X叫做的预期收益。通过比较与E，方可判断消费者对待风险的态度。R))()(()())()(()()()1()())1(()()1()())1((gufugfuugupfpugpfpuuppuppu(一)对待风险的热衷态度风险爱好者对任何非退化风险行为X，都有E。风险爱好者的结果效用函数U:XR(U(x)=u(x))是严格凸函数。当一种风险行动X与一种确定性行动xX具有相同的预期收益(E=x)时，如果消费者认为比x好(x)，那么这足以说明消费者是热衷于冒险的：不冒险，就没有取得高收益的可能；为了高收益，值得去冒险。这种热衷于冒险的消费者，叫做风险爱好者。U=px(1p)yE=px+(1p)y事实上，对任何x,yX及p[0,1]，有u(y))()1()()()1()())1((]))1([())1(())1((yUpxpUyupxpuyppxuyppxEuyppxuyppxU这就说明，U(x)是严格凸函数。Xu(x)xyEu(E)u()(二)对待风险的冷淡态度风险冷淡者对任何X，都有E。风险冷淡者的结果效用函数是凹函数，从而结果偏好是凸偏好。在风险行动X与确定性行动xX的预期收益相同(E=x)的情况下，如果消费者认为不比x好(x)，则说明消费者不热衷于冒险，对风险持冷淡态度：不愿意冒险追求高收益。这种对冒险不热衷的消费者，叫做风险冷淡者。xy=px(1p)yyEy事实上，对任何x,yX及p[0,1],有)()1()()()1()())1((]))1([())1(())1((yUpxpUyupxpuyppxuyppxEuyppxuyppxU这就说明，U(x)是凹函数，从而是拟凹的，即结果偏好是凸偏好。XxyE=px+(1p)y结果偏好是凸偏好1.风险厌恶者风险厌恶者对任何非退化风险行为X，都有E。风险厌恶者的结果效用函数严格凹，从而结果偏好严格凸。在风险行动X与确定性行动xX的预期收益相同(E=x)的情况下，如果消费者认为比x差(x)，则说明消费者讨厌冒险，根本不会冒险追求高收益。这种对冒险行动持讨厌态度的消费者，叫做风险厌恶者，也叫做风险规避者。U=px(1p)yE=px+(1p)y事实上，对任何x,yX及p[0,1],有u(y))()1()()()1()())1((]))1([())1(())1((yUpxpUyupxpuyppxuyppxEuyppxuyppxU这就说明，U(x)是严格凹函数，从而严格拟凹，即结果偏好是严格凸。Xu(x)xyEu(E)u()2.风险中立者风险中立者对任何X，都有~E。风险中立者的结果效用函数是线性的，结果无差异曲线为直线。在与确定性行动xX的预期收益相同的风险行动X(E=x)面前，如果消费者既不更倾向于选择，又不更倾向于选择x，即认为~x，则说明消费者对风险持中立态度，既不热衷，也不讨厌。这种对风险持中立态度的消费者，叫做风险中立者。U=px(1p)yE=px+(1p)yu(y)Xu(x)xyEu(E)u()XxyE=px+(1p)yx~y=px(1p)y~yE~~y结果无差异曲线(三)结果效用函数的基数意义一般情况下，经济活动者要么是一个风险爱好者，要么是一个风险冷淡者。应该说，绝大多部分人都是风险冷淡者，具有风险规避倾向。这样一来，在预期效用函数下，绝大多数人的结果效用函数都是凹函数，结果偏好是凸偏好，而只有少数人的结果效用函数是凸函数。无论如何，风险选择理论让我们进一步看到了确定性条件下对消费者偏好作出凸性假设的合理性，也看到了确定性偏好的必然凸性。更重要的是，我们看到了每个人在确定性选择集合上都存在着凹或凸的效用函数。效用函数的凹性是说消费者的边际效用递减，凸性是说边际效用递增。而边际效用是基数意义下的效用，也就是说，只有在基数效用意义下，才能谈论效用增加多少。因此，凹或凸的结果效用函数的存在，意味着基数效用函数存在。因此，预期效用函数存在定理顺便回答了基数效用函数的存在性问题，而且是肯定的回答。三、赌博显示的风险厌恶程度指标以上对于消费者对待风险的态度的研究表明，没有风险规避倾向的风险爱好者，其结果效用函数是严格凸的；而对风险持中立态度的消费者，其结果效用函数既不严格凸，也不严格凹；一旦消费者具有了风险规避倾向，其结果效用函数就成为严格凹的。这种现象让我们自然产生这样一种感觉：效用函数越凹，风险规避倾向越强。那么，这种感觉是否正确？我们还是以为赌博为例，来对这个问题进行说明。设经济人的财富收入效用函数为u(r)，，并设财富以元为单位来计。假定经济人当前有w元。设F是随机事件，其发生的概率为p。通过事件F，可以设计赌博g(x,y)：若事件F发生，则赢x元，经济人的财富变为w+x元；若事件F未发生，则赢y元，经济人的财富变为w+y元。)0)()((ruRr平面上每一点(x,y)都代表一个赌博g(x,y)。这样，平面代表通过事件F设计的赌博的全体G：，称为赌博平面。(一)赌博平面0)1(yppx盈利性赌博px+(1p)y0),(yx亏损性赌博px+(1p)y0xyo公平赌博2R2R2RG原点(0,0)代表不赌。赌博平面G=R²对于赌博(x,y)，消费者是否接受，要看赌博的预期效用是否不低于不赌的效用：(二)接受集GAxy公平赌博?)0,0()()()1()(),(uwuywupxwpuyxEuGA={(x,y):pu(w+x)+(1p)u(w+y)u(w)}AGR2接受集边界GA接受集边界在原点的切线oGA在原点(0,0)处的切线方程：px+(1p)y=0接受集边界GA在原点(0,0)处的切线正是公平赌博直线！接受集GA是指由一切为消费者所接受的赌博(x,y)组成的集合。对任何(x,y),(x,y)GA及实