高等数学练习册(上)

学号：姓名：第一章函数与极限§2数列的极限1.判断说明题（1）limnnuA在A的任意邻域内都有无穷多个{}nu中的项（2）无界数列一定发散，有界数列不一定收敛2.观察数列1{sin}2nn的极限，并用定义证明.3.观察数列的极限（1）sin2nnxn(2)212212nnnnnnxn为奇数为偶数学号：姓名：4.证明：若数列{}nx满足，21kxa(k),2kxa(k),则()nxan5.若aunnlim，证明：aunnlim，并举例说明反过来未必成立。6.利用极限的分析定义证明313lim212nnn§3函数的极限1.试求下列函数在0x点的左、右极限，以及0x点的极限（1）[]yx（2）2xyx（2）2xyx学号：姓名：（3）221,0()0,02,0xxxxfxxex2.试观察极限coslimxxx，并利用定义证明.3．求下列极限（1）limarctanxx（2）01limarctantt（3）limxxe（4）111limxte学号：姓名：4.利用极限的分析定义证明：1lim02xx5.证明：0||limxxx不存在。§4无穷小与无穷大1．判断说明题（1）1x是无穷小量，x是无穷大量（2）无穷小量的商不一定是无穷小，但无穷小量的和一定是无穷小（3）0xx时,若()()fxgx是无穷小,则0xx时,fg必有一为无穷小（4）x,sin2xx是无界变量，但不是无穷大量学号：姓名：2．试求下列极限（1）1limcosxxx（2）limcosxxx（3）1limarctanxxx（4）limarctanxxx（5）lim(sin1sin)xxx三试求x在何种变化过程下，下列函数是无穷小与无穷大（1）1xe(2)1ln(1)x学号：姓名：§5极限运算法则1．判断说明题（1）如果0lim()xxfx存在，但0lim()xxgx不存在，则0lim[()()]xxfxgx不存在，但0lim[()()]xxfxgx可能存在（2）数列,nnab满足lim1nna，limnnb，则至多只有有限个正整数n，使得nnab2．填空题（1）2211lim21xxxx=_____________.（2）221lim21xxxx=_____________.（3）coslim_____________.xxxxee（4）1152lim______________.52nnnnn3．计算题（1）21122lim111393nnn学号：姓名：（2）limnn1nnxnxnx242（3）lim12nnnn（4）311311limxxx（5）406050(23)(32)lim(21)xxxx（6）lim()xxxxx学号：姓名：（7）1lim2mnmnxxxxx（8）2222lim4xxxx（9）若3214lim1xxaxxbx，求,ab（10）求,ab,使得242lim(31)6xxaxbx§6极限存在准则，两重要极限1．利用极限存在准则求下列极限.学号：姓名：（1）2lim!nnn（2）1lim(56789)nnnnnnn（3）nnnnnnnn2222lim（4）222222212lim)2))(((nnneenennn（5）设数列{xn}由下式给出：00x,1nx=121nnxx，（,2,1n），证明nnxlim存在，并求其值.1lim2mnmnxxxxx学号：姓名：2.计算下列极限（1）2limsecsecsec222nnxxx（2）0arcsin5limtan3xxx（3）lim()2xxxx（4）20sinlim(0)arctanxaxxbbx学号：姓名：（5）21lim(1cos)xxx（6）2lim(2)cot2xxx（7）lim()2.xxxaaxa若，求（8）330tansinlim1arcsin21xxxx学号：姓名：（9）33lim()(0)xxxbb（10）若3214lim1xxaxxbx，求,ab（11）求,ab,使得242lim(31)6xxaxbx§7无穷小比较1．选择题（1）当0x时，将下列所给无穷小与跟其相应的结论用线连接起来：1)xx2sin4（a）是比x低阶的无穷小2)x2cos1（b）是比x高阶的无穷小3)x12cos2（c）是x同阶的无穷小，但不等价4)xxsin21（d）是x的等价无穷小学号：姓名：（2）当0x时，下列四个无穷小中，（）是比其它三个更高阶的无穷小.为什么？（A）2x(B)xcos1(C)112x(D)xxsintan2.设0x时，25cos1x与kax是等价无穷小，求,ak3.利用等价无穷小的性质，求下列极限.（1）xxx2sin3arctanlim0（2）xxx1cos1lim2§8函数的连续性1.判断说明题(1)若()fx在0x点连续，则()fx也在0x点连续(2)设函数(),()fxgx在点0x连续，则函数()max{(),()}hxfxgx也在0x点连续学号：姓名：(3)一切初等函数在其定义域内连续2.指出下列函数的间断点及其类型(1),1()sin,12xxfxxx(2)()tanxfxx(3)1112arctan()12arctanxxxfxx(4)1()lim1nnnxfxxx3.求下列极限(1)0ln(13sin)lim2sinxxx学号：姓名：(2)2120lim(cos)xxx(3)21lnlim1xxx(4)10lim()xxxxe(5)1sinlim4(1)xxx(6)1lim(789)xxxxx学号：姓名：(7)0sin(sin)lim1cosxxx(8)10lim()(0,0,0)3xxxxxabcabc(9)0cos()coslimhxhxh(10)224sin01ln(12)coslim1xxxxe学号：姓名：4.补充定义使得函数11sin61xxxaexe在(,)上连续，并求a.§9闭区间上连续函数的性质1.判断说明(1)如果()fx在[,]ab上有定义，在(,)ab内连续，且()()0fafb，那么()fx在(,)ab内必有零点(2)设xf在[a，b]上连续，且无零点，则xf在[a，b]上的值不变号.2.证明题(1)试证方程2xex在区间（0，2）内至少有一实根.学号：姓名：(2)证明方程23xx至少有一个小于1的正根.(3)设函数xf在区间[0,2]a上连续，且aff20.证明：在[0,]a上至少存在一点，使aff(4)若xf在ba,上连续，nxxx,,21为ba,内的n个点，证明：在ba,内至少存在一点，使nxfxfxfnf211(5)设abc,证明方程1110xaxbxc在区间(,)(,)abbc与内各至少有一个根.学号：姓名：第二章导数与微分§1导数概念1.若)(xf在0x处可导（即0()fx存在），求（1）000()()limxfxxfxx（2）000()()limhfxhfxhh（3）若0()0fx，求00()limxxfxxx2.若曲线y=3x在),(00yx处切线斜率等于3，求点),(00yx的坐标.3.抛物线y=2x在何处的切线与x轴正向夹角为4π？求出该处切线的方程.4.已知xxcos)'(sin，利用导数定义求极限xxx1)2πsin(lim0.学号：姓名：5.讨论0001sin)(xxxxxf在0x处的连续性、可导性。6.设函数0,0,)(xbaxxexfx在0x点可导,求ba,.§2函数的求导法则1.求下列函数的导数（1）y=42x+3x+1(2)y=4xe+3e+1(3)y=x+xln+1(4)y=xsin+x+1学号：姓名：(5)y=xcos2+3x(6)y=xx32(7)y=22logxx2.求下列函数的导数（1）y=422)13()1(xx(2)y=xxe+10(3)y=xxcossin(4)y=x2arctan学号：姓名：(5)y=x8cos(6)y=xx2sine3.求下列函数的导数(1)21yxxx(2)sec3xy(3)2seclnsinyxx(4)ln(sectan)yxx(5)secln2xyx(6)cos1sinxyx学号：姓名：(7)22221ln(1)1xxyeex(8)arctanxye4.设()ln(1),(())fxxyffx，求dxdy5．已知211dfdxxx，求12f.6．求函数22xxyxe的导数y.7．求函数22()(),[,]()0,[,]xaxbxabfxxab的导数。学号：姓名：8．求函数23()(1)(1)fxxx的导数。§3高阶导数1．xxye4,求y)4(.2．设,sin),(2xuufy求xydd和22ddxy.3．求下列函数的n阶导数（1）xy2sin（2）2312xxy4．xxy2cos2，求)20(y学号：姓名：§4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数1．求由下列方程所确定的隐函数的导数xydd.（1）0ee2yxyx（2）0333xyyx（3）22lnarctanyxxy2．yxey1，求22dxyd3．利用对数求导法，求下列函数的导数（1）y=323)4()3)(2)(1(xxxxx（2）exyx学号：姓名：（3）452(3)(1)xxyx（4）cos(sin)xyx4．若yxy，求'y.5．求曲线,,3tytx在点（1，1）处切线的斜率.6．若sincos2xttyt，求dydx7．若2ln(1)arctanxtytt，求(0)y学号：姓名：8．若()ft存在且不为零，)()()(tftftytfx，求22dydx9．圆柱体半径r每秒增长cm21，高h每秒增长cm31，问当6,4hr时，体积的增长速度为多少？§5函数的微分1．设()ln(1)fxx，求01.02)(dxxxf.2．若f可微，下列函数的微分dy（1）2(sin)yfx（2）()(ln)fxyfxe学号：姓名：3．2d()edxx，dd()1xx，lnd()dxxx.4．求下列表达式的近似值（1）302.1（2）29sin第三章微分中值定理与导数的应用§1微分中值定理1．验证罗尔定理对函数xxxxf82)(23在区间]221[，上的正确性。并请求出罗尔中值定理中的.2．证明方程0123423xxx在(0,1)内至少有一个实根。3．如果)(xf在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，并且0)()(bfaf。证明，至少存在一点),(ba，使得)()(ff。学号：姓名：4．如果)(xf在],0[a上连续，在),0(a内可导，且0)(af.