高等数学考研知识点总结1

1@第一讲函数、极限与连续一、考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。5．理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。6．掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。7．掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极限求极限的方法。8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。11.掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。二、内容提要1、函数（1）函数的概念:y=f(x)，重点：要求会建立函数关系.（2）复合函数:y=f(u),u=()[()]xyfx，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域.（3）分段函数:注意，)}(),(min{)},(),(max{,)(xgxfxgxfxf为分段函数.（4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性*注：1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。特别：若)(xf为偶函数且)0(f存在，则0)0(f2、若)(xf为偶函数，则xdttf0)(为奇函数；若)(xf为奇函数，则xadttf)(为偶函数；3、可导周期函数的导函数为周期函数。特别：设)(xf以T为周期且)(0xf存在，则)()(00xfTxf。4、若f(x+T)=f(x),且0)(0Tdttf，则xdttf0)(仍为以T为周期的周期函数.5、设)(xf是以T为周期的连续函数，则22/2/0)()()(TTTTaadxxfdxxfdxxf，TnTdxxfndxxf00)()(6、若)(xf为奇函数，则aadxxf0)(；若)(xf为偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(7、设)(xf在),(ba内连续且)(),(bfaf存在，则)(xf在),(ba内有界。2、极限(1)数列的极限：limnnaA(2)函数在一点的极限的定义：lim(),lim()xxxfxAfxA0(3)单侧极限:1)左右极限fxfx(),()00002)极限存在的充要条件：lim()lim()lim()xxxxxxfxAfxfxA000(4)极限存在的准则1)夹逼定理：数列情形，函数情形2)单调有界数列必有极限(5)极限的基本性质：唯一性，保号性，四则运算*1）极限不等式)(lim)(lim)()(xgxfxgxf注：)(lim)(lim)()(xgxfxgxf不成立2）局部保号性,0)(lim0Axfxx则在某)(00xU内)2(0)(Axf3）局部有界性,)(lim0Axfxx则在某)(00xU内)(xf有界。4）)0()()(limAxfAxf(6)两类重要极限(7)无穷小量与无穷大量1)无穷小量;2)无穷大量;（注意与无界变量的差异）3)无穷小量与无穷大量的关系(8)无穷小量阶的比较(9)罗比达法则3、连续1)连续的定义2)区间上的连续函数3)间断点及其分类4)闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理、零点定理3三、*重要公式与结论1、常见极限不存在的情形：1),1sinlim00xxxx,1coslim00xxxxlimsin,xxlimcosxx方法：用无穷小量乘有界变量2）00010lim,1arctanlim,arctanlimxxxxxxxaxxx方法：分xx,或00,xxxx讨论.2、lim(),,lim()xxnnnnfxAxxxfxA00有特别：若lim()lim()xnfxAfnA3、无穷小量的等价代换若0)(x，则有)(~),(~)](1ln[),(~)(tan),(~)(sin)(xexxxxxxx特别注意：kxxk~1)1(（x0)，xxtdt0221~sin（0x），xxdtt0221~)1ln(（0x）aeaaln~11ln，21~11设0)(x，0)(x且～，～(1))()(lim)()(limxfxxfx(2))()()(lim)()()(limxfxxxfxx(3)~)(o(4)若1limA，则)()lim()()lim(xfxf（0712）当0x时，与x等价的无穷小量是（A）xe1（B）xx11ln（C）11x（D）xcos14、若.)(lim)(lim,0)(lim)(BxgAxfBxgAxf由此有.)]1)((1[lim)1()(lim)()1)((lim)()1)((1)(1)(xgxfxgxfxfxgexfxf5、极限的形式与关系（1）AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000（2）AxfxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim4（3）AnfAxfnx)(lim)(lim，AnfAxfnx)1(lim)(lim06、若Axgxf)()(lim，则(i)0)(lim0)(limxfxg(ii)0)(lim0,0)(limxgAxf若Axgxf)()(lim，则(i)0)(lim)(limxgxf(ii))(lim0,0)(limxgAxf7、设)(xf在0x处连续，则（1）)()(lim)(lim),()(lim00000xfxfxfxfxfxxxxxx（2）AxfxfAxxxfxx)(,0)()(lim0000（3）0)(,0)()1()()(lim0000xfxfkAxxxfkxx（4）)(,0)()10()()(lim0000xfxfkAxxxfkxx不存在四、典型题型与例题题型一、函数的概念和性质例1、设1,1()0,1xfxx，则{[()]}fffx=（A）0（B）1（C）11,10,xx（D）10,11,xx例2、对下列函数（1）2sinxx（2）12111xxex（3）arctanln(1)xxx在（0，1）内有界的有（）个（A）0（B）1（C）2（D）35例3、（0434）函数2sin(2)()(1)(2)xxfxxxx在下列哪个区间内有界（A）（-1，0）（B）（0，1）（C）（1，2）（D）（2，3）例4、（0534）以下四个命题中正确的是（）（A）若'()fx在（0，1）内连续，则()fx在（0，1）内有界（B）若()fx在（0，1）内连续，则()fx在（0，1）内有界（C）若'()fx在（0，1）内有界，则()fx在（0，1）内有界（D）若()fx在（0，1）内有界，则'()fx在（0，1）内有界例5、（051、2）设()Fx是连续函数()fx的一个原函数，则必有（A）()Fx是偶函数()fx是奇函数（B）()Fx是奇函数()fx是偶函数（C）()Fx是周期函数()fx是周期函数（D）()Fx是单调函数()fx是单调函数题型二、极限的概念和性质例6、当0x时，311cosxx是（A）无穷小（B）无穷大（C）有界的但不是无穷小（D）无界的但不是无穷大6例7、设对n，总有nnnyxz，且lim()0nnnzy，则limnnx（A）存在且等于0（B）存在但一定不为0（C）一定不存在（D）不一定存在例8、已知()fx在0x处连续，且20sin()lim()2xxfxxx，求'(0),(0)ff题型三、求函数的极限基本思路：1、先化简（1）约掉零因子（无穷因子）（2）提出极限不为零的因子（3）根式有理化（4）无穷小替换（5）变量替换（尤其是倒代换）2、再用洛必达法则或其它求极限的方法3、上述步骤可重复进行1、常规方法：1)运算法则，2)无穷小量等价代换，3）洛必塔法则1）用运算法则应注意的问题例9、求极限limsinxxxxxx411227例10、求极限))1ln(sin12(lim410xxeexxx罗毕达法则1、00或型1、先化简2、用洛必达法则、四则运算法则、泰勒公式3、综合题（结合导数的定义等）例11、求lim(3sincos)(1cos)arctan[ln()]()xxxtttdtxtdt02001100例12、求极限limln(1sin)()sinxxxeex0300例13、（042）求极限3012coslim[()1]3xxxx8例14、（0734）3231lim(sincos)2xxxxxxx=罗毕达法则2、1型1型未定式有两种处理方法lim()lim{(())}()()(())()lim[()]()fxfxegxfxfxgxfxgx111111或lim()lim()()ln()lim()ln()fxeegxfxgxfxgx例15、求2sin20lim(cos)xxx例16、11lim(sincos)xxxx例17、（101）极限2lim()()xxxxaxb(A)1.(B)e.(C)abe.(D)bae.【】9罗毕达法则3、其他类型000,,0,1、0型转化为00型，用洛必达法则等2、ln000ln00,0ee3、型(i)通分(ii)变量替换（重点倒代换）转化为00型。4、111,0,,不是未定式例18、求极限xxxlnlim0例19．（0434）求22201coslim()sinxxxx2、变形方法：1)变量代换；2)导数定义；3)泰勒公式;特别若f(x)二阶连续可导，则有fxfxfxxxfxxxxx()()()()!()()()00000200212例20、设f(x)连续，f(0)=0,f(0)0,求103020)()(lim2dtxtfxdttxfxx10例21、求下列极限(泰勒公式)limxxxx02112[111218202xxxx(),111218022xxxx()]例22、求22220112lim(cos)sinxxxxxex法一、有理化，无穷小替换、洛必达法则法二、泰勒公式3、抽象函数例23、若0)(6sinlim30xxxfxx，求20)(6limxxfx。)(8121114422xoxxx)(23)(1211cos222222xoxxoxxexx11题型四、求数列的极限思路：1、转化为函数的极限。2、数列用递推公式给出，可考虑单调有界原理。3、对通项适当放大（缩小），用夹逼准则。4、和（积）的极限，可考虑用定积分的定义。1、利用函数极限求数列的极限方法：1、)(lim)(limxfnfxn2、若)(lim)(limlim00xfxfxxxxnnnn例24、求nnn24tanlim2、利用数列的收敛准则（1）、两个准则（2）、已知)(),(,11xfxfxxnn可导1）若0)(xf，则}{nx单调，且