19微分流形,第5章

第5章微分形式重积分、线积分、面积分的被积表达式是微分形式的特例；函数的微分是它的另一特例。微分形式与向量场的线性对偶，是向量与线性函数线性对偶的推广。对偶方法是有力的工具。一些重要理论，常常有微分形式与向量场两种表述形式，这往往带来新的认识和理解。微分形式在链（积分区域的推广）上的积分，产生另外一种线性对偶，称为deRham对偶。它赋予Stokes公式一种新的意义：微分形式的外微分运算与链的边缘运算在此种对偶下互为共轭算子。deRham对偶理论还揭示微分形式的上同调群与链的同调群的更加深刻的关系。微分形式在流形论中处于十分关键的地位。§5.1多线性代数5.1.A展式系数的对偶算法设V为维向量空间。V的对偶空间Vm∗是V上线性函数()vα的全体，它也是一个m维向量空间。线性函数α的其它名称为：余向量，线性形式，1-形式。设()vα是V上线性函数。同时变动,vα，得到一个双线性函数（双线性配对）：,:;,()VVvvαα∗×→=。固定，变动vα，得到V上的线性函数：∗():,,()vvvVαα∗∗=∈。在有限维情形，()V∗∗与V是线性同构的。因此向量v可看成对偶空间V上的线性函数。∗取V的基底1{,,}mδδL，则每个向量有唯一展式v11mmvvvδδ=++L。因此对每个指标，可唯一地决定一个函数，称为坐标函数。它是上的线性函数：i()iivδ=vViVδ∗∈；且有,jjiiδδδ=。利用此式，易证{}jδ是V∗的基底，称为{}iδ的对偶基；同时可得到向量与余向量展式系数的非常匀称的表达式（见§1.1）：1111;,;;,;miiimimimiiivvvvvvδδδδααδαδαδαδα=++===++==LL其中使用了Einstein求和约定。设V中有两组基{},{}ijδδ%；对偶基分别为{},{}klδδ%。则V中的基变换式及其逆为：,,;,,;iiiiiijjijjjjijjaabbδδδδδδδδ====%%%%其中(),()iijjab互为逆矩阵：ikikikjkjjabbaδ==，是下文张量分析的基本工具。利用它们可以写出V中的基变换式：∗iijbjδδ=%；以及中的坐标变换式：,VV∗;iijijjjvbvaiαα==%%。例：设{},{}jiδδ是的对偶基。则线性映射在此基底下的矩阵的变元,VV∗:AVV→为,ijjAiδδ=；线性变换式u的坐标形式为：。Av=ikjuAv=j83证明：按对偶算法，展式ijjiAAδδ=的系数,iijjAδδ=。将,ijijuuvvδδ==代入变换式u，得：Av=()ijjjijjuAvvAvAkjkδδδ===δ。由1,,mδδL的线性无关性，我们有。ikjuAv=j5.1.B张量代数从历史发展看，张量有两种定义：Ricci定义与多线性函数定义；二者实质上是一样的，前者是局部坐标描述，后者是整体描述。定义（Ricci定义或分量定义）：(,型张量是具有个逆变指标与个协变指标的)pqpq一组数11pqiijjfLL满足变换规律：11111111ppqqpqkkkjiikjlliilljjfbbaaf=LLLL%LLpqi。简言之，上标为逆变指标，下标为协变指标，分别按矩阵变换。例如：(),()kjilba（1）向量v的分量,ivvδ=是逆变的，是型张量；(1,0)（2）线性函数α的分量,jjαδα=是协变的，是(0型张量；,1)（3）V上的线性变换A在基底{}jδ下矩阵的变元,iijjAA=δδ(1,1)jij是型张量。三个例子中的变换公式分别为：(1),;(2),;(3),.kkkiijllljkkkllilvvbvaAAbaAδαδααδδ======%%%%%%%定义（多线性函数定义）：一个型张量是一个(,)pqpq+重线性函数：:pqfVVVV∗∗×××××→LL1424314243。命题：设f是一个型张量。则(,)pq11(,,;,,)pqfvvααLL坐标形式的系数是Ricci意义下的型张量。(,)pq证明：11111111111111111111(,,;,,)(,,;,,)(,,;,,);pqpqpqqppqqpijijppqiijqijijpjjiiqiijjpjjiiqfvvfvvfvfvvjvαααδαδδδδδδαααα===LLLLLLLLLLLLδ)其中1111(,,;,,ppqqiiiijjjffjδδδδLLLL。由于1111(,,;,,ppqqkkkkllllff)δδδδLL%%%%%LL；将基变换式代入，不难得到分量变换式，与前述Ricci定义下的完全一样。全体型张量，组成张量空间：(,)pqpqV84(,,,,,;)pqpqVVVVV∗∗=LL1424314243L；成员是pq+重线性函数。特别：1001(;);(;)VVVVV∗∗===LLV=；它们分别以{},{}ijδδ为基底。两个pq+重线性函数之和，或者一个pq+重线性函数乘以一个实数，仍旧是一个pq+重线性函数。因此，张量空间是一个向量空间。pqV两个线性函数,αβ的张量积αβ⊗是一个二重线性函数，取值为：()(,)()(vwvw)αβαβ⊗=⋅。设,αβ分别是重线性函数，它们的张量积,pqαβ⊗是一个()pq+重线性函数，取值为：1111()(,,;,,)(,,)(,,)pqpvvwwvvwwqαβαβ⊗=⋅LLLL。易证张量乘法满足结合律和对加法的分配律，与数乘可交换，但不满足交换律。⊗命题：张量空间是维向量空间，具有基底：pqVpqm+1111{:1,,;,,}qpjjiipqiijjmδδδδ=⊗⊗⊗⊗⊗≤≤LLLLB证明：先证B的线性无关性。设B的线性组合为零：11110pqqpiijjjjiicδδδδ⊗⊗⊗⊗⊗=LLLL。作用于向量组11(,,,,,)pqkkllδδδδLL：111111111111111111110(,,,,,()()()()pqqpqppqqpqppqpqpqqiijkjkjjiilliikjkjjjiilliikjkkkjjjiillllcccc)pδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ=⊗⊗⊗⊗⊗===LLLLLLLLLLLLLLLL因此每一个线性组合系数为零。现证B的完备性。对任意()pq+重线性函数f，和任意的向量组：11(,,;,,)pqvvααLL11111111111111111111(,,;,,)()()()()(,,;,,)pqqppqqppqqpiijjppqjjiiqiijjpjjiiqiijjpjjiiqfvvfvvfvv;fvvααααδαδαδδδδδδαα===⊗⊗⊗⊗⊗LLLLLLLLLLLLLLLL由的任意性，得：11{,,;,,}pqvvααLL1111pqqpiijjjjiiffδδδδ=⊗⊗⊗⊗LLLL⊗)。因此，任意重线性函数(pq+f可用B的线性组合表出。此式直接沟通张量的多线性函数定义f，与张量的Ricci定义11pqiijjfLL之间的关系。考虑全体的“弱”直和：pqV,0()weakpqpqVV≥=⊕T；其中“弱”指每个形式和中只取有限项。((),,,V)λ+⋅⊗T是一个无穷维结合代数，称为V85上的张量代数。张量乘法不是交换的。但它是分次（graded）代数：:prpqsqVVVrs++⊗×→。例：考虑三个双线性函数:;:;:fVVgVVhVV∗∗×→×→×→∗。分别是型张量。它们在(1,1),(0,2),(2,0),VV∗的对偶基{},{}jiδδ下有坐标表示：(,);(,);(,)ijijijjiijfufuguvguvhhijααα==βαβ=；利用公式,jjiiδδδ=很容易算出张量,,fgh在对偶基{},{}jiδδ中的分量：(,);(,);(,)iiijijjijijffgghhjδδδδδ===δij；,,ijijfgh分别是Ricci意义下的(型张量。事实上，利用基的变换公式1,1),(0,2),(2,0)不难得到它们的变换公式：,,kkjiijklklliljklklijijijfbafgaaghbbh===%%%。我们证明第一个，其余类似：(,)(,)(,)kkjkikjikllljiiljiljijfffabbafbδδδδδδ====%%%af。§5.2外代数（1）5.2.A外形式设12,δδ是的坐标函数。平面22上两个向量张出的平行四边形的有向面积为：,uv11212212212211221(,)()()()()()(,).uvuvuvuvuvuvuvuvωδδδδδδδδ==−=−=⊗−⊗因此，平面上的有向面积函数22ω，可通过张量运算，用坐标函数12,δδ表出：21221ωδδδδ=⊗−⊗。类似地，空间3中三个向量张出的平行六面体的有向体积为：,,uvw11132221232313121322133333(,,).uvwuvwuvwuvwuvwuvwuvwuvwuvwuvwω==++−−−21同样，空间中的有向体积函数33ω，可用坐标函数123,,δδδ表出：31232313113221332.21ωδδδδδδδδδδδδδδδδδδ=+⊗⊗+⊗⊗+⊗⊗−⊗⊗−⊗⊗−⊗⊗上述2,3ωω不仅是多线性函数，而且是反称的：交换或中任意两2(,)uvω3(,,)uvwω个变元的顺序，函数值改变正负号。设V为维向量空间。V上任一线性函数m()vω称为1次外形式，简称1形式。V上任一反称的重线性函数qω称为q次外形式，简称q形式：86:qVVω××→L14243。反称的意义是：交换1(,,)qvvωL中任意两个变元的顺序，函数值改变正负号。V上全体q次外形式的集合，称为q次外形式空间，或q形式空间，记为qV∗Λ。在普通的函数加法与数乘下，它成为实向量空间。特别，我们规定：01;VVV∗∗∗Λ=Λ=。5.2.B反称化考虑个不同元素的集合q{1,,}Xq=L。X的一个排列（或一个置换）是一个一一对应:XXσ→，可用列表法记为：111(1)()qqqiiqσσσ⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠LLLL。全体排列有个，组成对称群。定义排列的符号函数!q()qSsgn()(1)μσ=−，μ是排列的奇偶数。任给重线性函数qξ，通过下列反称化手续，产生一个反称的重线性函数[q]ξ：1(()1[](,,)sgn()(,,)!qqqvvvvqσσσξσξ∈=∑LLS1)()ji。引入广义Kronecker符号：若两两不同，且是它的一个排列，则定义：1,,qjL1,,qiL11(1)qqiijjμδ=−LL，其中μ是排列的奇偶数；其它情形定义为零。则反称化算子可写成：11111[](,,)(,,)!qqiiqqivvvvqξδξ=LLLLi。容易证明，反称化算子是线性算子：0[][][];,;,qVλξμηλξμηλμξη+=+∀∈∈。命题：多重线性函数ξ反称⇔[]ξξ=。证明：充分性显然。现证必要性，设ξ反称，则(1)()1(,,)sgn()(,,);[]qqvvvvσσξσξξξ=∴LL=。例：利用广义Kronecker符号，平面2上的有向面积函数2ω，与空间中的有向体3积函数3ω，可用坐标函数表达得非常简洁：32212121232123123;iiiiiiiiiiωδδδωδδδδ=⊗=⊗⊗。例：利用广义Kronecker符号，任意n阶行列式可表为：11111111nnnjjnjnjnnnaaaaaaδ=LLLMOMLL。875.2.C外积设,αβ分别是次外形式：,rs,rVαβsV∗∗∈Λ∈Λ。则其张量积αβ⊗是r重线性s+函数，但不一定反称。将其反称化，得rs+次外形式：()!:()();[]!!rsrsrsVVVrsαβα∗∗+∗β+∧Λ×Λ→Λ∧⊗，其中αβ∧称为,αβ的外积。用广义Kronecker符号来写反称化算子，易得：11111()1()(,,)(,,)(,,!!rsrrriirsrsiiiivvvvvvrsαβδαβ+++++∧=⋅LLLL)sL。引理：（广义Kronecker符号的乘法