电大专科《微积分初步》小抄(60分没问题)

电大微积分初步考试小抄一、填空题⒈函数xxf51)(的定义域是（－∞，5）．5－x＞0→x＜5⒉xxx1sinlim1．1sinlimxxx，01xx时，⒊已知xxf2)(，则)(xf=2ln22）（x．⒋若cxFxxf)(d)(，则xxfd)32(CxF)32(21．⒌微分方程yxxyyxesin)(4的阶数是三阶．∵y6.函数)2ln(1)(xxf的定义域是（-2，-1）U（-1，∞)122-1ln)2(ln2-x02ln02xxxxx，＞，＞，＞∴1-2-x|且＞x7.xxx2sinlim02．2112122sinlim2sinlim00xxxxxx21:222sinlim0xxx8.若y=x(x–1)(x–2)(x–3)，则y(0)=-6y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x2-x)(x2-5x+6)=x4-5x3+6x2-x3+5x2-6x=x4-6x3+11x2-6x,622184y23xxx（把0带入X）,6)0(y9.xxded2dxxe2)()(xfdxxf）（或dxxfdxxfd)())((10.微分方程1)0(,yyy的特解为y=ex.yyydxdydxdydxydyy1两边积分ecxy又y(0)=1(x=0,y=1)cxyln010cec，11.函数24)2ln(1)(xxxf的定义域是2,1-1-2-，122122x21ln)2ln(2-2x2-0)2(ln02042xxxxxxxx＜＜＞＞12.若函数0,0,13sin)(xkxxxxf,在0x处连续，则k1．)()(lim00xxfxfx()(xf在x0处连续)∵kf)0(113sin0lim)13sin(0limxxxxxx（无穷小量x有界函数）13.曲线xy在点)1,1(处的切线方程是2121yxxxy21，xy2121切ky211x|2121y)1(211yxx方程14.xxsd)in(sinx+c15.微分方程xyyxysin4)(53的阶数为三阶16.函数)2ln()(xxxf的定义域是（2,3）U（3，∞）3x2x|122)2ln(20)2ln(02且＞＞＞＞xxxnxxxx17.xxx2sinlim1/218.已知xxxf3)(3，则)3(f=27+27ln33ln3)(32xxxf3ln2727)3(f19.2dex=ex2+c20.微分方程xyxyysin4)(7)4(3的阶数为四阶二、单项选择题⒈设函数2eexxy，则该函数是（偶函数）．∵所以是偶函数)(2ee)(xfxfxx⒉函数233)(2xxxxf的间断点是（2,1xx）分母无意义的点是间断点∴2,1,0232xxxx⒊下列结论中（)(xf在0xx处不连续，则一定在0x处不可导）正确．可导必连续，伹连续并一定可导；极值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上⒋如果等式cxxfxx11ede)(，则)(xf（21x）)()1()()(,1u)(),()(,)()(111xexeeeyxexfxFCxFdxxfuuxux，令22112121)()()(xxfxeexfxexexxxu⒌下列微分方程中，（xyxyysin）是线性微分方程．6.设函数2eexxy，则该函数是（奇函数）．7.当k（2）时，函数0,0,2)(2xkxxxf在0x处连续.8.下列函数在指定区间(,)上单调减少的是（x3）．9.以下等式正确的是（3ln3dd3xxx）10.下列微分方程中为可分离变量方程的是（yxyxydd）11.设1)1(2xxf，则)(xf（)2(xx）12.若函数f(x)在点x0处可导，则(Axfxx)(lim0，但)(0xfA)是错误的．13.函数2)1(xy在区间)2,2(是（先减后增）14.xxfxd)((cxfxfx)()(）15.下列微分方程中为可分离变量方程的是（yxyxydd）16.下列函数中为奇函数是（)1ln(2xx）17.当k（2）时，函数0,0,1e)(xkxxfx在0x处连续.18.函数12xy在区间)2,2(是（先单调下降再单调上升）19.在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1,4）的曲线为（y=x2+3）．20.微分方程1)0(,yyy的特解为（xye）．三、计算题⒈计算极限423lim222xxxx．解:41)2()1(lim2)2(1(lim22xxxxxxx）⒉设xxyx2e，求yd.解：xexexx23221x2-eyx21eyu1，u=-2x)(11eyu′·(-2x)′=eu·（-2）=-2·e-2x∴y′=-2e-2x+x2123∴dy=(-2·e-2x+x2123)dx⒊计算不定积分xxxdsin解：令u=x21x,u′=xx212121∴dxxdu21∴usin·2du=udusin2=2(-cos)+c=-2coscx⒋计算定积分xxxde210u=x，v′=ex,v=ex∴10uv′dx=uvxvdu-1010|1)(01010101010|||eeeeeeeexdxxdxxxxxxx∴原式=25.计算极限9152lim223xxxx34353lim)3)(3()3)(5(3limxxxxxxxx6.设xxxycosln，求yd解：xxxyxxcoslncosln2321y1=lncosxy1=lnu1,u=cosx∴xxxuxuycossin)sin(1)(cos)(ln11y1=xxxcossin2321∴dy=(xxxcossin2321)dx7.计算不定积分xxd)21(9解：dxx)21(9令u=1-2x,u′=-2∴dudxxdu212ccduduxuuu20192121)21()21(1010998.计算定积分xxxde10解：u=x,eexxvv，)()(101101010|xddxxdxxeeeeexxxx=1)11(1|101eeeex9.计算极限4586lim224xxxxx3212lim)4)(1()4)(2(lim44xxxxxxxx10.设xyx3sin2，求ydy1=sin3xy1=sinu,u=3x,xy3cos3x3sinu1）（）（∴y′=2xln2+3cos3x∴dy=(2xln2+3cos3x)dx11.计算不定积分xxxdcosxdxxcosu=x,v′=cosx,v=sinxcxxxxdxxxxdxx)cos(sinsinsincos12.计算定积分xxxdln51e1eeeedxxxdxxxxdxxxdxx11e111ln51ln5lnln51|令u=lnx,u′=x1,du=x1dx,1≤x≤e0≤lnx≤1∴2121ln|102101uududxxxe∴原式=1+5·21=2713.计算极限623lim222xxxxx解：5131lim)2)(3x()1)(2(lim22xxxxxxx14.设xxy12e，求y解：exxy12(eyx11),eyu1,xu1,xexeeyxuux21211)1()1()()eexexeexexx1x12x12x1x12x122)(2)()(yxx15.计算不定积分xxd)12(10解：dxx)12(10u=2x-1,d=2du=2dx∴cdududxuuux1121212111101010)12(cx）（12112116.计算定积分10dexxx解：dxxex10u=x,exv,exv1)1(101010|eedxxdxxeeexxx四、应用题（本题16分）用钢板焊接一个容积为43m的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x，高为h,表面积为s，且有h=x24所以S(x)=x2+4xh=x2+x16xxS2162令S（x）=0，得x=2因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x=2，h=1时水箱的表面积最小。此时的费用为S（2）×10+40=160元欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽各选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？设长方形一边长为x，∵S=216∴另一边长为216/x∴总材料y=2x+3·216/x=2x+x648y′=2+648·(x-1)′=2+648·(-1·)=2-x2648y′=0得2=x2648∴x2=324∴x=18∴一边长为18，一边长为12时，用料最省.欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？设底边长为a∴底面积为a2a2h=v=32∴h=a232∴表面积为a2+4ah=a2+4a·a232=a2+a2128y=a2+a128,y′=2a+128·(-a1)=2a-a2128y′=0得2a=a2128∴a3=64∴a=4∴底面边长为4，h=1632=2设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形一边长为x，另一边为60-x以AD为轴转一周得圆柱，底面半径x，高60-x∴V=xxxx32260)60(xxxxv22312036020v得：4031202xxx∴矩形一边长为40，另一边长为20时，Vmax作业（一）————函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1.函数)2ln(1)(xxf的定义域是．答案：),3()3,2[2．函数xxf51)(的定义域是．答案：)5,(3.函数24)2ln(1)(xxxf的定义域是．答案：]2,1()1,2(4.函数72)1(2xxxf，则)(xf．答案：62x5．函数0e02)(2xxxxfx，则)0(f．答案：26．函数xxxf2)1(2，则)(xf．答案：12x7．函数1322xxxy的间断点是．答案：1x8.xxx1sinlim．答案：19．若2sin4sinlim0kxxx，则k．答案：210．若23sinlim0kxxx，则k．答案：1.5；二、单项选择题（每小题2分，共24分）1．设函数2eexxy，则该函数是（）．答案：BA．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数2．设函数xxysin2，则该函数是（）．答案：AA．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数3．函数222)(xxxxf的图形是关于（）对称．答案：DA．xyB．x轴C．y轴D