风险投资和大额索赔下更新模型的破产概率

中国科学A辑:数学2009年第39卷第8期:933∼938风险投资和大额索赔下更新模型的破产概率魏丽中国人民大学财政金融学院,北京100872E-mail:[e-mail]收稿日期:2008-04-01;接受日期:2008-12-27国家自然科学基金(批准号:10571167,70501028),北京市优秀人才培养资助项目(批准号:20071D1600800421),国家社会科学基金(批准号:05&ZD008)和中国人民大学校内科研资助项目(批准号:08XNA001)摘要本文考虑了带有风险投资的更新风险模型,基于该模型分析了大额个体索赔情形下保险公司破产概率的渐近行为.作为推论,对于Pareto型索赔额我们给出了一个相当简洁的渐近公式.关键词更新风险模型风险投资策略破产概率渐近关系式广义正则变化MSC(2000)主题分类60G70,60K30,60K371引言和模型我们考虑连续时间更新风险模型.令Xk为第k次索赔额,τk表示相应的索赔来到时间,k=1,2,...,并且0=τ0τ1τ2···构成一个普通更新计数过程Nt=∞k=11(0,t](τk),t0,(1)其中1(0,t](x)为示性函数,即1(0,t](x)=1如果x∈(0,t],否则为0.从而,St=Ntk=1Xk表示(0,t]时间区间内的累积索赔额.假设{Xk,k=1,2,...}是一列独立同分布的非负随机变量、具有共同的分布F,{Xk,k=1,2,...}和{Nt,t0}相互独立.如果允许保险公司拿出一部分盈余投资Black-Scholes型资本市场指数,假设该指数的价格过程由几何布朗运动驱动,则该公司的盈余过程{Ut,t0}便可以用如下的随机微分方程描述:dUt=cdt−dSt+θUt(μdt+σdWt),(2)其中c0是常数保费率,μ0和σ0是两个已知参数,W={Wt,t0}是标准布朗运动、与{Xk,k=1,2,...}和{Nt,t0}独立,θ∈[0,1]表示公司盈余中用于风险投资的比例.我们需要根据风险资产价格的变化不断调整投资组合策略以保持投资比例不变,因此投资策略是动态的.如果保险公司的初始余额U0=u0,令˜μ=μθ−σ2θ2/2,˜σ=σθ,根据Itˆo公式易得随机微分方程(2)的解如下:Ut=exp{˜μt+˜σWt}u+t0exp{−˜μv−˜σWv}(cdv−dSv).(3)引用格式:魏丽.风险投资和大额索赔下更新模型的破产概率.中国科学A,2009,39(8):933–938WeiL.Theruinprobabilityoftherenewalmodelwithriskyinvestmentandlargeclaims.SciChinaSerA,2009,52,DOI:10.1007/s11425-009-0053-3魏丽:风险投资和大额索赔下更新模型的破产概率迄今,国内外很多学者研究过连续或离散时间更新风险模型下的有限或无限时间破产概率,例如,Asmussen和Højgaard[1],Avram和Us´abel[2],Cossette等[3],Stanford等[4],Thorin[5],等等;同时,大家对带有资本投资和大额索赔情形下风险模型的研究也很重视,参见文献[6–10].本文的兴趣主要集中在大额重尾索赔情形下更新风险模型(3)的破产概率渐近行为的研究上.接下来的内容安排如下:第2节给出了破产概率和其他一些必要的概念;第3节陈述了主要结果并在第4节给出了相应的证明.2定义定义2.1更新风险模型(3)的破产概率定义为Ψ(u)=PrUt0,∃t0|U0=u,u0.(4)下面我们将给出两个重要的重尾分布族的定义,其中的分布F均以[0,∞)为支撑集,且对所有x0均有F(x)=1−F(x)0.定义2.2对任意固定的实数α0,如果分布F满足limx→∞F(vx)F(x)=v−α,对任意v1,(5)则称F属于R−α族.通常,R族是指所有R−α族关于α在其取值范围上的并集.定义2.3对任意固定的实数0αβ∞,如果分布F满足v−βliminfx→∞F(vx)F(x)limsupx→∞F(vx)F(x)v−α,对任意v1,(6)则称F属于ERV(−α,−β)族.通常,ERV族是指所有ERV(−α,−β)族关于αβ在其取值范围上的并集.许多学者将(6)式中描述的广义正则变化用于精细大偏差的研究,参见文献[11–13]等.常用的一个重尾分布族是S族,即次指数分布族;分布F∈S当且仅当F满足对所有x0,F(x)0且limx→∞F2∗(x)/F(x)=2,其中F2∗表示分布F的二重卷积.易知,ERV族是S族的子类(见文献[14]定理1).借助Karamata理论,处理R族中的分布通常比处理ERV族中的分布容易.尽管ERV族只比R族稍大,我们仍然期望从ERV族得到的渐近结果能够为次指数分布情形的研究提供更多有价值的参考.关于重尾分布的详细讨论,有兴趣的读者可以查阅文献[15,16].3主要结果从现在开始,除非特别指明,所有的极限过程均指的是u→∞.对于两个正函数f(·)和g(·),如果limf(u)/g(u)=1,记为f(u)∼g(u);如果liminff(u)/g(u)1,记为f(u)g(u);如果limsupf(u)/g(u)1,记为f(u)g(u);如果limsupf(u)/g(u)∞,记为f(u)=O(g(u)).考虑更新风险模型(3),全文假设索赔额分布F∈ERV(−α,−β),1αβ∞,且2˜μ˜σ2β.(7)假设条件(7)保证了公司盈余的随机波动能够被增长趋势控制,否则该公司将以概率1破产,详见文献[7,17].934中国科学A辑:数学第39卷第8期为便于以后讨论,令{ξk=τk−τk−1,k=1,2,...}表示独立同分布的来到时间间隔序列,具有共同的分布G:(0,∞)→[0,1].令Gk∗(t)表示G(t)的k重卷积,从而由(1),Nt的数学期望为λt=ENt=∞k=1Pr(τkt)=∞k=1Gk∗(t),t0.(8)由(8)式定义的λt称为更新函数.下面我们给出本文的主要结果:定理3.1考虑更新风险模型(3),令LNy;a,b2表示参数为a和b2的对数正态分布.如果索赔额分布F∈ERV(−α,−β),1αβ∞且(7)式成立,则由(4)式定义的破产概率有下述渐近关系式:Ψ(u)∼∞0∞0F(uy)dLNy;˜μt,˜σ2tdλt.(9)推论3.1在定理3.1的条件下,当β=α,即F∈R−α,α1时,令 G表示分布G的Laplace变换,我们得到(4)式中破产概率更简洁的渐近关系式:Ψ(u)∼F(u) G˜μα−12˜σ2α21− G˜μα−12˜σ2α2.(10)定理3.1和推论3.1的证明将在第4节给出.4证明4.1引理考虑更新风险模型(3),引入独立同分布的随机变量序列:Yk=exp−˜μ(τk−τk−1)−˜σWτk−Wτk−1,k=1,2,...,(11)Yk,k=2,3,...均和Y1=exp{−˜μξ1−˜σWξ1}同分布.引理4.1考虑共同分布为F的独立同分布的索赔额序列{Xk,k=1,2,...}和由(11)式定义的随机变量序列{Yk,k=1,2,...},如果F∈ERV(−α,−β),1αβ∞,则Pr∞k=1Xkki=1Yiu∼∞k=1PrXkki=1Yiu.(12)证明因为{Xk,k=1,2,...}和{Yk,k=1,2,...}相互独立,且由(7),存在0δα使得EYα−δ1∨Yβ+δ11,从而(12)式是Tang和Tsitsiashvili[9]定理3.1的直接推论.引理4.2设X和Y是两个相互独立的非负随机变量,X的分布F∈ERV(−α,−β),1αβ∞,且存在0δα,使得EYβ+δ∞,则存在常数D0,使得liminfPr(XYu)Pr(Xu)DEYα−δ∧Yβ+δ.(13)证明参见文献[18]中定理3.5.引理4.3如果F∈ERV(−α,−β),1αβ∞,则对任意0δ∞,存在常数D0和˜u00,使得对所有u˜u0,F(u)Du−β−δ.(14)证明参见文献[13]中引理3.1.935魏丽:风险投资和大额索赔下更新模型的破产概率4.2定理3.1的证明从破产概率的定义式(4)出发,由(3)式可得Ψ(u)=Pru+ct0exp{−˜μv−˜σWv}dv−Ntk=1Xkexp{−˜μτk−˜σWτk}0,∃t0.记Δ=c∞0exp{−˜μv−˜σWv}dv,由(11)式易得Pr∞k=1Xkki=1Yiu+ΔΨ(u)Pr∞k=1Xkki=1Yiu.(15)方便起见,用一般随机变量X表示索赔额序列中任何一个随机变量Xk,k=1,2,....首先,我们考虑破产概率的上界.在假设条件(7)下,由(15),(12)和(11)式可得Ψ(u)∞k=1PrXkki=1Yiu=∞k=1PrXkexp{−˜μτk−˜σWτk}u=∞k=1∞0PrXexp{−˜μt−˜σWt}udGk∗(t)=∞0∞0F(uy)dLNy;˜μt,˜σ2tdλt,(16)其中LNy;˜μt,˜σ2t表示参数为˜μt和˜σ2t的对数正态分布.其次,考虑破产概率的下界.对任意小ε0,由(15)式可得Ψ(u)Pr∞k=1Xkki=1Yi(1+ε)u−Pr(Δεu).(17)利用Gjessing和Paulsen[19]定理2.1(a),存在ββ2˜μ/˜σ2使得(17)式不等号右边第二项满足Pr(Δεu)EΔβεβuβ=Ou−β.(18)对(17)式不等号右边第一项,通过和(16)式同样的推导可得Pr∞k=1Xkki=1Yi(1+ε)u∼∞0PrXexp{−˜μt−˜σWt}(1+ε)udλt.(19)选取适当的ρ0,使得β(1−ρ)β,由(6),(19)式可继续缩小为∞0PrXexp{−˜μt−˜σWt}(1+ε)u,exp{−˜μt−˜σWt}u1−ρdλt=∞0EF((1+ε)uexp{˜μt+˜σWt})1(exp{−˜μt−˜σWt}u1−ρ)dλt(1+ε)−β∞0EF(uexp{˜μt+˜σWt})1(exp{−˜μt−˜σWt}u1−ρ)dλt(1+ε)−β∞0Pr(Xexp{−˜μt−˜σWt}u)dλt−∞0Prexp{−˜μt−˜σWt}u1−ρdλt.(20)936中国科学A辑:数学第39卷第8期往证(20)式中括号内第二个积分和第一个积分相比可以渐近忽略不计.由(13)式,存在0δα和某常数D0,使得∞0Pr(Xexp{−˜μt−˜σWt}u)dλt=F(u)∞0Pr(Xexp{−˜μt−˜σWt}u)Pr(Xu)dλtDF(u)∞0E[exp{−(α−δ)(˜μt+˜σWt)}∧exp{−(β+δ)(˜μt+˜σWt)}]dλt.(21)易证(21)式中的积分是有限常数.对于上文定义的β,在假设条件(7)下,有∞0Prexp{−˜μt−˜σWt}u1−ρdλt∞0E[exp{−β(˜μt+˜σWt)}]uβ(1−ρ)dλt=u−β(1−ρ)∞0exp−˜μβ−12˜σ2β2tdλt=u−β(1−ρ) G˜μβ−12˜σ2β21− G˜μβ−12˜σ2β2.(22)由(21)、(22)和(14)式可得lim∞0Prexp{−˜μt−˜σWt}u1−ρdλt∞0Pr(Xexp{−˜μt−˜σWt}u)dλt=0.(23)综合(19)、(20)和(23)式得Pr∞k=1Xkki=1Yi(