高中数学必修一-三角恒等变形总结(采百家之长版)

一、三角函数公式：两角和与差的三角函数关系S(α＋β)C(α＋β)T(α＋β)万能公式sin()=sin·coscos·sin==正余余正符号相同cos()=cos·cossin·sin==余余正正符号相反tantan1tantan)tan(变形公式tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)①22tansin21tan②221tancos21tan③22tantan21tan④222tansin1tan⑤221cos1tan积化和差公式和差化积公式sin·cos=21[sin(+)+sin(-)]cos·sin=21[sin(+)-sin(-)]cos·cos=21[cos(+)+cos(-)]sin·sin=-21[cos(+)-cos(-)]sin+sin=2cos2sin2sin-sin=2sin2cos2cos+cos=2cos2cos2cos-cos=-2sin2sin2tan+cot=2sin2cossin1tan-cot=-2cot2概念：下面空格意义可自己添加内容倍角公式S2αC2αT2α：(正用化单角，逆用降次)半角公式sin2=2sin·coscos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin22tan1tan22tan；，sin22sincos4cos4sin222sin2cos2cos12sin，2cos12coscos1cos12tan=cos1sinsincos1(后面两个不用判断符号,更加好用)升幂公式降幂公式1+cos=2cos22；1-cos=2sin221±sin=(2cos2sin)21＋sin2α＝(sinα＋cosα)21－sin2α＝(sinα－cosα)2，1=sin2+cos2sin=2cos2sin22)cos(sincossin21sin222cos1cos222cos1sin2+cos2=1sin·cos=2sin21辅助角公式变形公式sincossin22baba其中辅助角与点(,)ab在同一象限，且tanbasincosabsinα±cosα＝2sinα±π4=?。，，，tantantantantantantantantantantantantantantantan1tancossinsincoscos辅助角公式的重要作用:合一变形把形如xbxacossin的函数转化为)sin(xAy的函数，即：两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的BxAy)sin(形式三角形基本公式三倍角公式（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,sin(2A+2B)=?cos(2A+2B)=?cos2C=sin2BA,sin2C=cos2BA（2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=21casinB3sin4sin33sincos3cos43cos3tantantantantantantantan22112coscossincossinsinsincos22112222222SSCCsincossinsincossinsinsincoscoscoscossinsincoscos12121212令ABsinsinsincossinsincossincoscoscoscoscoscossinsinABABABABABABABABABABABAB222222222222相除相除移项2相加减12212222coscoscossin变形sincoscoscos212212相除tancoscossincoscossin21111以上是三角函数公式的关系图二、三角恒等变换：一角二名三结构，对角、函数名、式子结构===化异为同三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：(1)2是的二倍；4是2的二倍；是2的二倍；2是4的二倍；3是23的二倍；3是6的二倍；22是4的二倍。(2)2304560304515oooooo；（3），，，;α＝12[(α＋β)＋(α－β)]β＝12[(α＋β)－(α－β)]（4）π4＋α＝π2－π4－α；α＝π4－π4－α.；442xx(5))4()4()()(2；2222，，2(6)（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：oo45tan90sincottantanseccossin12222（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式cos1常用升幂化为有理式（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。三、三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。四、三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。五、三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。(3)证明三角恒等式时，所用方法较多，一般有以下几种证明方法：①从一边到另一边，②两边等于同一个式子，③作差法。分析：由韦达定理可得到tantantantan及的值，进而可以求出tan的值，再将所求值的三角函数式用tan表示便可知其值。解法一：由韦达定理得tan6tantan5tan，，题型1：两角和与差的三角函数例1．已知0coscos1sinsin，，求cos）的值（。分析：因为）（既可看成是的和，也可以与看作是2的倍角，因而可得到下面的两种解法。解法一：由已知sin+sin=1…………①，cos+cos=0…………②，①2＋②2得2+2cos1）（；∴cos21）（。①2－②2得cos2+cos2+2cos（）=－1，即2cos（）〔1cos）（〕=－1。∴1cos。解法二：由①得12cos2sin2…………③由②得02cos2cos2…………④④÷③得，02cot112cot12cot2tan12tan1cos2222点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解sin、cos、sin、cos，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆本题关键在于化和为积促转化，“整体对应”巧应用。例2．已知2tantan560xx，是方程的两个实根根，求222sin3sincoscos的值。所以tan.1615tantan1tantan22222sin3sincoscossincos原式222tan3tan1213113tan111解法二：由韦达定理得tan6tantan5tan，，所以tan.1615tantan1tantan34kkZ于是有，223333312sinsin2cos13422422kkk原式。点评：(1)本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”。（2）在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉题型2：二倍角公式例3．化简下列各式：（1）2232cos21212121，，（2）4cos4cot2sincos222。分析：（1）若注意到化简式是开平方根和2的二倍，是的二倍，是2以及其范围不难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差，分母中的角244，若注意到这两大特征，，不难得到解题的切入点。解析：（1）因为coscos2cos2121223，所以，又因2sin2sincos2121243，所以，所以，原式=2sin。（2）原式=