函数毕业论文

摘要：函数的最值问题是我们在数学的学习过程中要探究的非常重要的一块内容.它不仅只在数学教学中需要解答的一些数学问题，还是我们经常解决一些实际问题的好方法.例如在工农业的生产、经济的管理和经济的核算中，我们就会常常面临一些在满足一定条件下怎样使产出最多、效益最高但投入最小等之类的诸多问题.在我们的日常生活中更是能够时常会遇到求用料要最省、效率要最高、利润要最大等的优化问题.然而这些生活和经济等的各方面问题一般都可以通过转变为数学中常常遇到的函数最值问题来分析研究，从而求得最优解转.这样做尤其是对那些要解决实际问题的人们来说特别的重要.它不仅可以梳理人们的思路，最重要的是它可以快速解决我们所面临的实际问题.我们将函数最值问题的解法分为一元函数和多元函数.这篇文章，主要通过对一元函数和多元函数最值问题进行分析，探讨他们各种不同的求解方法，从而表明函数的最值问题的研究的重要性.关键词：函数；最值；导数；偏导数Abstract:Themostvalueproblemismathematicalfunctionsinthefieldofimportantresearchcontent.Itnotonlyintheteachingsolvingmathematicalproblems,andoftenusedinsolvingpracticalproblems.Intheindustrialandagriculturalproduction,economicmanagementandeconomicaccounting,oftenencounteredsomesolutionstomeetcertainconditionsinhowtoproducethegreatest,benefithighestbutinvestmentissuesliketheminimum.Lifealsooftenseeforthemostprovinces,thehighestefficiencyandmaterials,suchasmaximumprofit.Andtheselifeandeconomicproblemsgenerallycanbetransformedintothefunctioninthemathematicsproblemforanalysisandstudy,andthenintothebiggest(small)forfunctionofthevaluesoftheproblemisoneofthemostvaluefunction,thispaperthisespeciallyforresearchofpracticalproblemspeopleisespeciallyimportant.Andthemostvalueproblemofsolutionfunctionincludingayuanfunctionandmultiplefunction,atthesametimealsohaveelementaryandhighersolutionofthepoints.Thispapermainlythroughelementarymethodtoafromofmostvalueofacircularfunctiontoresearchfunction,thispaperdiscussesthesolutionofallkindsofdifferentmethods,includingthemostvaluefunctionofimportance,andgetthemostvaluesolvethefunctionofseveralmethodsandsolvingsomeproblemsthatshouldbepaidattentionto.Keywords:functions;themostvalue;highersolution;elementarymethod;differential序言函数是中学数学的主体内容，贯穿于整个中学阶段，而函数最值问题是函数的重要组成部分．处理函数最值的过程就是实现未知向已知、新问题向旧问题以及复杂问题向简单问题的转化，虽然解决问题的具体过程不尽相同，但就其思维方式来讲，通常是将待解决的问题通过一次又一次的转化，直至划归为一类很容易解决或已解决的问题，从而获得原问题的解答[1]．函数最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占据着比较重要的位置，是近几年数学竞赛中的常见题型也是历年高考重点考查的知识点之一．由于其综合性强，解法灵活，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，并能综合运用各种所学知识技巧，灵活选择合适的解题方法[2]．函数的最值的定义：一般地，我们将函数的最值问题可分为最小值与最大值:设函数)(xfy在0x处的函数值为)(0xfy.如果对于在定义域内的任意x，对于不等式)()(0xfxf均成立，那么)(0xf就叫做函数)(xfy的最小值，记作)(0minxfy；如果对于在定义域内的任意x，对于不等式)()(0xfxf均成立，那么)(0xf就叫做函数)(xfy的最大值，记作)(0maxxfy.函数的最值通常会有以下两种特殊情况：（1）若函数)(0xf在ba,上是单调增加(减少)，那么)(af是)(xf在ba,上的最小值(最大值)，)(bf是)(xf在ba,上的最大值(最小值).（2）若连续函数)(0xf在区间),(ba内有且仅只有一个极大(小)值，却没有极小(大)值，那么此极大(小)值则就是函数在区间ba,上的最大(小)值.一、一元函数求最值的几种解法探讨（一）判别式法对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()fx出现在一个有实根的一元二次1方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0来求出()fx的最值[3].例求函数cbxaxy2的最值.解由于cbxaxy2，且Rx,则0)(2ycbxax，令ycabD42当0a，且0D时，abacy442min当0a，且0D时，abacy442max（二）配方法若给定的函数是二次函数或变形后可以转化为二次函数的问题，一般都可以用此法求解.例求xxxf923)(2在区间1,0内的最值.解由原式配可得89)493(2)(2xxf，因为x1,0,所以331x，从而当493x即49log3x，)(xf可取得最大值89；当13x即0x时)(xf可取得最小值2.例求32)(2xxxf在区间2,0内的最值解由原式配方可得2)1()(2xxf，因为x2,0，从而当x1时，可取得最小值2；当x0或2时，可取得最大值3（三）均值不等式法设1a，2a，3a…是n个正数，则有naaan21nnaaa21，其中等号成立的条件是naaa21.运用均值不等式求最值，必须具备三个必要条件，即一正二定三等，缺一不可.“正”是指各项均为正数，这是前提条件；“定”是指各项的和或积为定值；“等”是等号成立的条件[4].例设0＜x＜，求)2cos1(4sinxx的最大值.解由0＜x＜，可得4sinx＞0.又因为)2cos1(4sinxx4cos4sin22xx24cos4cos4sin22222xxx34cos24sin22322xx312832233其中当4cos4sin22xx时，上式等号成立，原式可取得的最大值为31283.（四）换元法在用换元法求函数的最值时，就是依据函数的表达式的特点，把函数的某一部分看做成一个整体或用一个新的变元来代替，从而达到化繁为简，化生为熟，从而使得原问题得以解决.例求函数24)(xxf的最值.解因为042x,则给定函数的定义域即为：2,2.于是令qxsin2，]2,2[q.则给定函数可变形为:2)sin2(4)(qxfq2sin44q2cos2qcos2又因qcos在定义域]2,2[内,当0q，即0x时函数取得最大值2，当2q或当2q即2x或2x时函数取得最小值0（五）三角函数法若给定的函数，经过变形后可化成：BqxAy)sin(或着BqxAy)cos(（A、B是常数）的形式，从而由)sin(qx1或)cos(qx1，可得：当qkx22或qkx2时，BAymax（设A＞0）；当qkx22或qkx)12(时，BAymin（设A＞0）.例求函数)82cos()82sin(2)sin(cos21xxxxy的最值.3解因为)82cos()82sin(2)sin(cos21xxxxy)4sin(22)sin(cos21xxx)4sin(22)4cos(22xxxsin当22kx)(Zk时，1)(sinmaxx；当22kx)(Zk时，1)(sinminx（六）单调性法当自变量的取值范围为一区间时，有时也用单调性法来求函数的最值．在确定函数在指定区间上的最值时，首先要考虑函数在这个区间上的单调情况．若函数在整个区间上是单调的，则该函数在区间端点上取得最值．若函数在整个区间上不是单调的，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值[5]．例设函数)(xf是奇函数，对任意x、yR均有关系)()()(yfxfyxf，若0x时，)(xf0且2)2(f，0)1(f．求)(xf在3,3上的最大值解先确定)(xf在3,3上的单调性，设任意1x、2x3,3且21xx，则012xx.所以有0)()()()()(121212xxfxfxfxfxf即)()(12xfxf.所以，)(xf在3,3上是减函数.因此，)(xf的最大值是)3(f20)2()1()2()1()2()12(fffff（七）导数法设函数)(xf在ba,上是连续函数，在),(ba上可导，则)(xf在ba,上的最大值与最小值为)(xf在),(ba内的各个极值与)(af，)(bf中的最大值与最小值．若要求三次或三次以上的函数的最值，当利用其他的方法很难求函数式的最值时，通常也都用该方4法．导数法常常就是最简便的方法，应该引起我们的重视．例求函数63)(24xxxf，1,1x的最大值和最小值．解求导得2()366fxxx¢=-+.xxxf64)('3)26)(26(4xxx当26,x和26,0x时0)('xf；当0,26x和,26x时0)('xf因此)(xf在区间26,和26,0上是减函数，)(xf在区间0,26和,26x上是增函数，因而在整个定义域无最大值与最小值.二、二元函数求最值的几种解法探讨（一）二元函数的无条件极值定理[6]（极值的第一充分条件）设f在点0x连续，在某邻域),(00xU内可导（ⅰ）若当x),(00xx时)('xf0，当x),(00xx时)('xf0，则f在点0x取得极小值（ⅱ）若当x),(00xx时0)('xf，当x),(00xx时)('xf0，则f在点0x取得极大值定理[7]（极值的第二充分条件）设f在0x的某邻域),(0xU内一阶可导，在0xx处二阶可导，且0)('0xf，0)(0xf（ⅰ）若)(0xf＜0，则f在0x取得极大值（ⅱ）若)(0xf＞0，则f在0x取得极小值由连续函数在ba,上的性质，若函数f在闭区间