选修2-1第二章《直线与椭圆的位置关系》专题练习题

直线与椭圆的位置关系一、选择题（本大题共12小题）1.设F1，F2是椭圆的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF2|+|BF2|最大值为5，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.2.椭圆4x2+y2=2上的点到直线2x-y-8=0的距离的最小值为（）A.B.C.3D.63.已知直线2kx-y+1=0与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（）A.（1，9]B.[1，+∞）C.[1，9）∪（9，+∞）D.（9，+∞）4.如果椭圆的弦被点（2，2）平分，那么这条弦所在的直线的方程是（）A.x+4y=0B.x+4y-10=0C.x+4y-6=0D.x-4y-10=05.点P（x，y）是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点，则x+2y的最大值为（）A.B.C.D.6.过椭圆+=1（0＜b＜a）中心的直线与椭圆交于A、B两点，右焦点为F2（c，0），则△ABF2的最大面积是（）A.abB.bcC.acD.b27.点M为椭圆上一点，则M到直线的距离x+2y-10=0最小值为（）A.B.C.D.8.椭圆内有一点，则以P为中点的弦所在直线的斜率为A.B.C.D.9.已知直线l：x-y+3=0与椭圆C：+=1交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|=（）A.B.C.D.10.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y=kx+m与椭圆相切，记F1，F2到直线l的距离分别为d1，d2，则d1d2的值是（）A.1B.2C.3D.411.已知椭圆C：的离心率为，直线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则椭圆的方程为（）A.B.C.D.12.过椭圆的一焦点F作垂直于长轴的椭圆的弦，则此弦长为（）A.B.3C.D.二、填空题（本大题共6小题）13.已知直线y=x-1与椭圆交于A、B两点，则线段AB的长为______．14.已知椭圆C：=1，斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，且|AB|=，则直线l的方程为______．15.若过椭圆内一点(2，1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是__________．16.若直线y=2x+b与椭圆+y2=1无公共点，则b的取值范围为______．17.斜率为1的直线与椭圆+y2=1相交与A，B两点，则|AB|的最大值为______．18.已知点P（x，y）是椭圆+=1上的一个动点，则点P到直线2x+y-10=0的距离的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题）19.已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率e=（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的右顶点为A，若直线l：y=kx+m与椭圆E相交于M、N两点（异于A点），且满足MA⊥NA，试证明直线l经过定点，并求出该定点的坐标．20.在平面xOy中，已知椭圆C：过点P（2，1），且离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l方程为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．21.已知椭圆的右焦点为F（1，0），且点在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．22.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=（1）求椭圆的标准方程．（2）若P是椭圆上的任意一点，求•的取值范围．23.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-1，0），且经过点（1，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB过点F，且与x轴不垂直．若D为x轴上的一点，DA=DB，求的值．24.已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，点P（x0，y0）在椭圆C上．（1）求的最小值；（2）设直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P在第一象限，且，求△ABP面积的最大值．答案和解析1.【答案】A2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】A9.【答案】C10.【答案】B11.【答案】D12.【答案】B13.【答案】14.【答案】y=x±115.【答案】x+2y-4=016.【答案】b或b17.【答案】18.【答案】19.解：（1）由椭圆离心率e==，则a=2c，b2=a2-c2=3c2，将（1，-）代入椭圆方程：，解得：c=1，则a2=4，b2=3，椭圆方程为…（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），由，整理得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，则x1+x2=-，x1•x2=，且△=64m2k2-16（3+4k2）（m2-3）＞0，即3+4k2-m2＞0，∵以MN为直径的圆过椭圆的右顶点A∴AM⊥AN，即•=0，则（x1-2，y1）（x2-2，y2）=0，即y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，又y1y2=（kx1+m）•（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2=，∴++2×+4=0，化简得，7m2+4k2+16mk=0解得m=-2k或m=-且均满足3+4k2-m2＞0当m=-2k时，L：y=k（x-2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；当m=-时，L；y=k（x-），直线过定点（，0），综上，直线l过定点，定点坐标为（，0）．20.解：（1）椭圆C：过点P（2，1），且离心率．可得：，解得a=2，c=，则b=，椭圆方程为：．（2）设直线方程为，A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组整理得：x2+2mx+2m2-4=0，x1+x2=-2m，-4，利用弦长公式得：，由点线距离公式得到P到l的距离．S=|AB|•d=•=≤=2．当且仅当m2=2，即时取到最大值．最大值为：2．21.解：（1）由题意，得c=1，所以a2=b2+1．因为点在椭圆C上，所以，可解得a2=4，b2=3．则椭圆C的标准方程为．（2）设直线l的方程为y=kx+2，点A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（4k2+3）x2+16kx+4=0．因为△=48（4k2-1）＞0，所以，由根与系数的关系，得．因为∠AOB为锐角，所以，即x1x2+y1y2＞0．所以x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0，所以．综上，解得或．所以，所求直线的斜率的取值范围为或．22.解：（1）由题意，∵|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=∴c=1，a=2，∴b=，∴椭圆的标准方程为+=1…（2设P（x0，y0），则∵A（-2，0），F1（-1，0），∴•=（-1-x0）（-2-x0）+y02=x2+3x+5，由椭圆方程得-2≤x≤2，二次函数开口向上，对称轴x=-6＜-2当x=-2时，取最小值0，当x=2时，取最大值12．∴•的取值范围是[0，12]…23.解：（1）由题意，F（-1，0），右焦点F2（1，0），且经过P（1，），由丨PF丨+丨PF2丨=2a，即2a=4，则a=2，b2=a2-c2=3，∴椭圆的标准方程；（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）．①若k=0时，丨AB丨=2a=4，丨FD丨=丨FO丨=1，∴=4．②若k≠0时，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），，整理得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0，∴x1+x2=-，则x0=-，则y0=k（x0+1）=．则AB的垂直平分线方程为y-=-（x+），由丨DA丨=丨DB丨，则点D为AB的垂直平分线与x轴的交点，∴D（-，0），∴丨DF丨=-+1=，由椭圆的左准线的方程为x=-4，离心率为，由=，得丨AF丨=（x1+4），同理丨BF丨=（x2+4），∴丨AB丨=丨AF丨+丨BF丨=（x1+x2）+4=，∴=4则综上，得的值为4．24.解：（Ⅰ）∵F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，∴，，∴，，∴；又点P（x0，y0）在椭圆C上，∴，即，∴（），∴当x0=0时，的最小值为-4；（Ⅱ）设l的方程为，点A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y得x2+2bx+2b2-4=0，令△=4b2-8b2+16＞0，解得-2＜m＜2；由根与系数的关系得x1+x2=-2b，，由弦长公式得，又点P到直线l的距离为，∴=，当且仅当时，等号成立，∴△PAB面积最大值为2．