对坐标的曲线积分-

5.2对坐标的曲线积分(Ⅱ型曲线积分)一、问题的提出二、对坐标的曲线积分的概念三、对坐标的曲线积分的计算oxyABL一、问题的提出1nMiM1iM2M1Mixiy实例:变力沿曲线所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),(常力所作的功分割.),,(,),,(,1111110BMyxMyxMMAnnnn.)()(1jyixMMiiii.ABFW求和.]),(),([1niiiiiiiyQxP取极限.]),(),([lim10niiiiiiiyQxPW近似值精确值,),(),(),(jQiPFiiiiii取,),(1iiiiiMMFW.),(),(iiiiiiiyQxPW即niiWW1oxyABL1nMiM1iM2M1M),(iiFixiy二、对坐标的曲线积分的概念11111,,.,,(),1,2,...,:(),iiiiiiiiniiiiLABFLLABnPPPPQFQPPinFQPP设是一条以为起点以为终点的光滑有向曲线是定义在上的有界向量值函数把自到任意地分成个有向子弧段在毎一个有向小弧段上任取一点作点积将各个小弧段所对应的点积相加得和式1.定义101,lim().niiiLiFLABFdSFQPP存在，则称此极限为向量值函数沿由点到点的第二类曲线积分记为101,.0,:lim()iniiiiLQFQPP如果不论将怎样划分点怎样选取当各小弧段长度的最大值时上述和式极限,),(),,(叫做被积函数其中yxQyxP.叫积分弧段L.]),(),([lim),(),(]),(),([)(),(,101111niiiiiiiLLniiiiiiiniiiiiiiiiiiyQxPdyyxQdxyxPSdFyQxPPPQFQjyixPP在直角坐标系下,第二类曲线积分的坐标形式jyxQiyxPFL),(),(,,在直角坐标系下为平面曲线设2.存在条件：.),(),(,),(),,(存在第二类曲线积分上连续时在光滑曲线弧当LdyyxQdxyxPLyxQyxP3.组合形式LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF其中.LdsF特别地,当L为封闭的有向曲线时,将上式写成:LdyyxQdxyxP),(),(4.推广空间有向曲线弧.RdzQdyPdx.),,(lim),,(10iiiniixPdxzyxP.),,(lim),,(10iiiniiyQdyzyxQ.),,(lim),,(10iiiniizRdzzyxR5.性质即的积分异号到点和积分与由点到点由点沿路径路径的有向性,:)1(ABBAL即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.)()()()(ABLBALQdyPdxQdyPdx则任意三点上的是曲线设路径的可加性，LAAA321,,:)2()()()()()()(322131AALAALAALSdFSdFSdF记作为正方向规定逆时针方向为封闭曲线时当路径,,)3(LLSdFLLdzzyxRdyzyxQdxzyxPdyyxQdxyxP),,(),,(),,(),(),(或三、对坐标的曲线积分的计算(化为定积分计算）,),(),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),,(22存在则曲线积分且续导数一阶连为端点的闭区间上具有及在以运动到终点沿的起点从点时到变单调地由当参数的参数方程为续上有定义且连在曲线弧设LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP定理5.2dttttQtttPdyyxQdxyxPL)}()](),([)()](),([{),(),(且(),:()::,(),(,)(,)(),()(,)(,),,,.().LxtLABtytPxydxQxydyxtytPxydxQxydyt即当时计算是将代入被积表达式中化为关于的定积分积分下限为出发点对应的参数积分上限为终点对应的参数不一定小于.,,)()()(:终点起点推广ttztytxdtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终点为起点为.)}()](,[)](,[{dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL则.)(:)2(dcyyxxL，终点为起点为.]}),([)(]),([{dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL则化为对x或y的定积分例1.)1,1()1,1(,2的一段弧到上从为抛物线其中计算BAxyLxydxL解的定积分，化为对x)1(.xyOBAOLxydxxydxxydx1001)(dxxxdxxx10232dxx.54xy2)1,1(A)1,1(B:,:10:,:01AOyxxOByxx的定积分，化为对y)2(,:2yxLBAABLxydxxydx1122)(dyyyy.11到从y1142dyy.54xy2)1,1(A)1,1(B.)0,()0,()2(;)1(,2的直线段轴到点沿从点的上半圆周针方向绕行、圆心为原点、按逆时半径为为其中计算aBxaAaLdxyL例2解,sincos:)1(ayaxL，变到从0)0,(aA)0,(aB0原式daa)sin(sin22)0,(aA)0,(aB.343a,0:)2(yL，变到从aaxaadx0原式.0问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.（即该Ⅱ型曲线积分与路径有关）03a)(cos)cos1(2d例3).1,1(),0,1()0,0(,,)3(;)1,1()0,0()2(;)1,1()0,0()1(,2222依次是点，这里有向折线的一段弧到上从抛物线的一段弧到上从抛物线为其中计算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL2xy)0,1(A)1,1(B解.)1(的积分化为对xxdxdyxxyL2,10,:2变到从1022)22(dxxxxx原式1034dxx.1)0,1(A)1,1(B2yx.)2(的积分化为对yydydxyyxL2,10,:2变到从10422)22(2dyyyyydyxxydxL1045dxy.1)0,1(A)1,1(B)3(ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式,上在OA,10,0变到从xy1022)002(2dxxxdyxxydxOA.0,上在AB,10,1变到从yx102)102(2dyydyxxydxAB.110原式.1)0,1(A)1,1(B问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.（即该Ⅱ型曲线积分与路径无关）小结：以上计算对坐标的曲线积分的方法称为直接法，具体步骤为:1.画出L的图形，指明该有向曲线的方向，写出L的方程，参数变量的变化（起点、终点）2.将L的方程代入被积表达式中，简化被积表达式P(x,y)dx+Q(x,y)dy3.将对坐标的曲线积分化为定积分。注意：定积分的下限为积分变量的起点定积分的上限为积分变量的终点。积分变量2(5),C(1,0),(0,1),||||(-1,0),(0,-1)Cdxdyxy习题其中，为以为顶点的正方形闭路，逆时针方向为正向。12341234:1,,:10:1,,:01:1,,:10:1,,:01CCCCCCyxdydxxCyxdydxxCyxdydxxCyxdydxx分析01011010()()()()0dxdxdxdxdxdxdxdx1234||||CCCCCdxdydxdydxdydxdyxyxyxyxydxdyxylssysxL0,)()(：设有向平面曲线弧为)cos,(cos,,),(2222ssssssyxyyxxyxL为处的切线向量的方向角上点四两类曲线积分之间的联系：LLdsdsdyQdsdxPQdyPdx)(则dsssQssPL]cos))(),((cos))(),(([dssssssQsssssPL})]([)]([)())(),(()]([)]([)())(),(({2222方向角处的切向量的上点为有向曲线其中二类曲线积分的关系为即第一类曲线积分与第),(,,)coscos(yxLdsQPQdyPdxLLLLdsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(,的关系为与第二类曲线积分对空间第一类曲线积分同理LLxxxdsQPQdyPdxyyybaxxyyL)coscos(,1cos,11cos:),(22：当有向平面曲线弧为LLyyydsQPQdyPdxxxxdcyyxxL)coscos(,11cos,1cos:),(22：当有向平面曲线弧为,,,),,(为处的切线向量的方向角上点zyxdsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(则dstArdA,dsAt可用向量表示，其中},,{RQPA},cos,cos,{cost},,{dzdydxdstrd有向曲线元；.上的投影在向量为向量tAAt处的单位切向量上点),,(zyx解：先由L的方程y=y(x)求出)(xyy例4把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分，其中L为沿上半圆周从点（0，0）到点（1，1）。LdyyxQdxyxP),(),(xyx222则22xxy22222)21(1111cosxxxxxyxLLdsxyxQxxyxPQdyPdx)]1)(,(2),([2得xxxxxxxyyxx1)21(1211cos2222四、小结1、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算（方法1-直接法）3、两类曲线积分之间的联系LLdsQPQdyPdx)coscos((coscoscos)PdxQdyRdzPQRds思考题当曲线L的参数方程与参数的变化范围给定之后（例如L：taxcos，taysin，]2,0[t，a是正常数），试问如何表示L的方向（如L表示为顺时针方向、逆时针方向）？思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.例如L：taxcos，taysin，]2,0[t中当t从0变到2时，L取逆时针方向;反之当t从2变到0时，L取顺时针方向.一、填空题:1、对______________的曲线积分与曲线的方向有关；2、设0),(),(dyyxQdxyxPL,则LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(______