概率统计17-极大似然估计法-教学设计

《概率统计II》教学设计极大似然估计法1极大似然估计法教学设计【教学题目】§4.2极大似然估计法【教学目的】根据《教学大纲》要求和学生已有的知识基础和认知能力，确定以下教学目标：明确极大似然估计法是在总体分布类型已知的情况下的一种常用的参数估计方法；理解极大似然估计的思想；掌握求极大似然估计值的一般步骤，会求常见分布参数的极大似然估计量。【教学思想】1、极大似然估计法是建立在极大似然原理基础上的一种重要的统计推断方法，统计推断思想不同于逻辑推断，它所基于的最基本的思想仍然是来源于我们现实生活中的一些很常见的推断法则，常以人们的思维习惯和经验常识为依据，推断时必然伴随着一定的犯错误的概率。因此从逻辑上认起死理来，统计推断似乎因为不太严谨而被排斥在“科学推断”之外了。但是在实际生活中，如果都要按照逻辑推断来思考，那么将会给你的生活带来很大的麻烦。在教学过程中，要让学生逐步体会统计推断思想的利与弊。2、极大似然估计法的“极大似然”的原始含义就是“看起来最像”的意思，故极大似然原理指的是：概率最大的事件最可能发生，或一次实验中已发生事件的概率应该最大。3、“以教师为主导、以学生为主体”引导学生主动学习、思考，并通过实际问题案例的分析及应用，达到教会学生使用极大似然估计法来解决实际问题的目的，体现“授人以渔”。【教学分析】1、本次课主要包括以下内容：（1）分析引例，说明极大似然估计的原理；（2）求极大似然估计值的一般步骤；（3）极大似然估计法的简单应用。2、重难点分析：极大似然估计法是在总体分布类型已知的情况下的一种常用的参数估计方法，其原理是根据“概率最大的事件最可能发生；反之，在一次实验中，若某事件已发生，则其概率应该最大”的统计推断思想去估计未知参数。极大似然估计值的求解是本次课的重点。全概率公式的难点在于对极大似然思想原理的阐述。在教学中常出现以下难点：一是原理复杂，导致教师难于讲解，学生理解困难；二是学生对方法机械地记忆，忽略了统计思想的建立与统计方法的掌握。需要通过不断地结合实例让学生理解：极大似然估计是统计推断，与严格的逻辑推断有所不同；应用极大似然估计法，关键在于求似然函数的极大值点，而不是为了求导而求导。【教学方法和策略】黑板板书结合PPT演示，采用启发式、探究式教学，先是简述历史说明方法的重要性，《概率统计II》教学设计极大似然估计法2提高学生兴趣，然后设计了1个有趣的问题，通过教师对问题合理的分析表述使学生尽快完成“从感性认识上升到理性认识”的升华；启发引导学生理解“极大似然估计”思想原理；利用实例引导学生主动思考，达到理解并掌握知识点的目的。【教学安排】引入（3分钟）：（口述）前面我们学习了矩估计法，它是以大数定理为背景的一种重要的点估计方法，今天，我们继续来学习另一种很重要也是很常见的点估计方法---极大似然估计法（themethodofmaximumlikelihood）。（PPT上显示）下面，我们通过一个实际问题来理解这种方法的主要思想。引例1（打猎问题）：某位同学与一位猎人一起外出打猎，一只野兔从前方窜过．只听一声枪响，野兔应声到下，如果要你推测，这一发命中的子弹是谁打的？（PPT上显示）分析：我们会想，在一次试验中概率较大的事件比概率较小的事件更容易发生，只发一枪便打中，由于猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率，看来这一枪是猎人射中的．总结：这个例子所作的推断其实体现了一种很重要的统计推断思想：这就是所谓极大似然估计的基本思想——概率最大的事件最可能发生；反之，在一次实验中，若某事件已发生，则其概率应该最大。利用这种思想，我们可用来估计在总体分布类型已知的情况下未知参数的估计值。这就是极大似然估计法它最早是由高斯所提出的,后来由英国统计学家费歇于1912年在其一篇文章中重新提出,并且证明了这个方法的一些性质.极大似然估计这一名称也是费歇给的.费歇(R．A．Fisher)是经典数理统计学派的集大成者，有研究数理统计发展史的学者甚至认为，费歇出生的那一天就是数理统计学的生日。虽然有点个人崇拜的味道，但这至少表明了他绝不可等闲视之的学术地位。教学内容（14分钟）：一、通过PPT演示与口头表述分析使用观察法、启发式教学与学生一起探究总结极大似然估计思想原理的数学表述及其方法，通过板书展示极大似然法主要步骤。下面我们就离散总体与连续型总体分别进行讨论。重点讨论离散型总体。1、X为离散型总体设总体X是离散型随机变量，其概率函数为);(xp，其中是未知参数．设nXXX,,,21为取自总体X的样本．nXXX,,,21的联合概率函数为niiXp1);(，这里，是常量，nXXX,,,21是变量．方法：若我们已知样本取的值是nxxx,,,21，则事件},,,{2211nnxXxXxX发生的概率为niixp1);(．这一概率随的值而变化．从直观上来看，既然样本值nxxx,,,21《概率统计II》教学设计极大似然估计法3出现了，它们出现的概率相对来说应比较大，应使niixp1);(取比较大的值．换句话说，应使样本值nxxx,,,21的出现具有最大的概率．将上式看作的函数，并用)(L表示，就有：niinxpxxxLL121);();,,,()(（１）称)(L为似然函数．极大似然估计法就是在参数的可能取值范围内，选取使)(L达到最大的参数值ˆ，作为参数的估计值．即取，使);,,,(max)ˆ;,,,()(2121nnxxxLxxxLL（２）因此，求总体参数的极大似然估计值的问题就是求似然函数)(L的最大值问题。2、求解未知参数极大似然估计的一般步骤；（1）由总体分布导出样本的联合概率函数（或联合密度）；（2）把样本联合概率函数（或联合密度）中自变量看成已知常数，而把参数看作自变量，得到似然函数()L；（3）求似然函数()L的最大值点（常转化为求对数似然函数ln()L的最大值点）；（4）在最大值点的表达式中，用样本值代入就得参数的极大似然估计值．二、通过具体例子说明极大似然估计法的应用例1设某学校食堂一窗口每天中午12点到1点的打饭人数为X，根据排队论的知识，假设X～P(λ)；经过n(n=10)次观测后，得到以下观测数据x1x2x3x4x5x6x7x8x9x1035373836253448213641试求λ的极大似然估计量。（题目和分析过程PPT展示，解题过程黑板板书）主要包括：1.问题分析：抽查n次，则得样本nXXX,,,21，其观察值为nxxx,,,21，按离散型总体的极大似然估计法，求λ的极大似然估计值．2.求解步骤：解：（１）写出似然函数：《概率统计II》教学设计极大似然估计法4niiixxnnniiiiLeexx111()!!，（２）对L()取对数，得对数似然函数ln()L：nniiiiLnxx11ln()(ln)ln(!)（３）由于ln()L对的导数存在，故将ln()L对求导，令其为０，得似然方程：dLdln()0，即niixn110（４）解似然方程得ˆ为：1ˆ1=35.1niixxn．（５）经验证，在xˆ时，22ln()0dLd，这表明xˆ可使似然函数达到最大，故的极大似然估计值1ˆ1niixn注意：在求解过程中，要引导学生思考如何构造似然函数并计算其极大值点，加深对极大似然估计法应用的认识。由于L是乘积函数，不容易讨论最大值，因此需要化简。因为Lln是L的增函数，所以Lln与L有相同的极大值点．我们称)(ln)(Ll为对数似然函数．说明：（1）似然函数是θ的函数，表示由参数θ产生样本值的“可能性”大小。将样本观察看成“结果”，θ是产生结果的“原因”，则是度量产生该结果的各种“原因”的机会。因此，θ的一个合理的估计应使这种机会（即）达到最大的那个值。（2）离散型总体的似然函数实际上就是联合概率。（3）极大似然估计法得到的是参数的极大似然估计值12ˆˆ(,,,)nxxx．如果要得到参数的极大似然估计量，可表示为12ˆˆ(,,,)nXXX思考与讨论（2分钟）：(PPT显示)1、求导没有驻点时，怎么办？提示学生极大似然估计法的核心是找到似然函数的最大值点，不是为了求导而求导。2、若总体分布类型已知，含多个未知参数（两个及以上），如何利用极大似然法得到估计值呢？提示：多元函数极值该如何求。《概率统计II》教学设计极大似然估计法53、连续型总体中，单点对应事件的概率为0，该如何构造似然函数呢？为下节课讲连续型随机变量的极大似然估计做铺垫。内容小结(1分钟)：(PPT显示)总结本节课的学习的知识要点：1、极大似然估计的思想：根据概率最大的事件最可能发生来进行统计推断，选择一个参数值使得样本观测值对应事件具有最大概率。2、应用极大似然估计法的关键在于：构造似然函数课后延伸：1、矩法估计与极大似然估计法的比较：（1）、矩法估计量与极大似然估计量不一定相同；（2）、用矩法估计参数比较简单,但有信息量损失；（3）、极大似然估计法精度较高,但运算较复杂；（4）、不是所有极大似然估计问题都需要建立似然方程求解2、用矩估计法和极大似然估计法得到的估计量不一定相同，这两种方法得到的估计量孰好孰坏呢？是否有一个评选标准呢？这个问题在下次课将作进一步讨论。课后作业：练习册4-2第4、5题。