大学物理习题集4-详解

35作业13真空中静电场的电势13-1点电荷q位于圆心处，B、C、D位于同一圆周上的三点，如图所示，若将一实验电荷q0从B点移到C、D各点，电场力的功BCA=0，BDA=0．原1题变13-2一均匀带电量+Q的球形肥皂泡由半径r1吹胀到r2，则半径为R(r1Rr2)的高斯球面上任一点的场强大小由20π4RQ变为0，电势U由RQ0π4变为20π4rQ(设无穷远处为零电势点).原9题13-3α粒子的电荷为2e，金原子核的电荷为79e，一个动能为4.0MeV的α粒子射向金原子核，若将金原子核视为均匀带电球体并且认为它保持不动．则二者最接近时的距离minr5.69×1014m．(原12题)解：最靠近时动能全部转化为电势能：qUWEkmin04rqQkEqQr0min4eee69100.4792109eee69100.4792109=5.69×1014(m)13-4两个同心球面，半径分别为R1、R2（R1R2），分别带电Q1、Q2．设电荷均匀分布在球面上，求两球面的电势及二者间的电势差．不管Q1大小如何，只要是正电荷，内球电势总高于外球；只要是负电荷，内球电势总低于外球．试说明其原因．(原11题)解:1012021π4π4RQRQU，20212π4RQQU,2101211211π4RRQUUU①静电场的电力线始于正电荷(或∞远处)，止于负电荷(或∞远处)②电力线指向电势降落的方向.qBCD题13-1图3613-5场强大的地方，电势是否一定高？电势高的地方是否场强一定大？为什么？试举例说明．(原6题)答:否!电势的高低与零点的选择有关．13-6半径R的球形带电体，体电荷密度为)(2RrAr（A为常数），总带电量为Q，求球内外各点的场强和电势分布．解：∵电荷分布球对称，∴E分布也球对称，作半径r的同心球面为高斯面S，则：SESdeSESdcosSSEd2π4rE由高斯定理0ed内SSqSE⑴当RrrR时，QqS内∴22π4rE0QrerQEˆπ4202PrEUd2rrEd2rrrerQdˆπ420rrrQdπ420rQ0π4⑵当Rr时，内内内VSqSVqqdd，而rrVdπ4d2∴50402π54dπ4dπ4ArrArrrqrrS内∴052154ππ4ArrEreArEˆ5031PrEUd1RRrrErEdd21RrRrrrerQreArdˆπ4dˆ52003RRrrrQrArdπ4d52003RQrRA0440π4)(20ES→RrrES→Rr++++E=0均匀带正电荷球面球内U最高，但E=0(最低)-Q负电荷附近E(矢量)值大，但U0(低)3713-7半径R的无限长圆柱形带电体，体电荷密度为)(3RrAr（A为常数），求：⑴圆柱体内外各点的场强分布；⑵取对称轴为零电势位置求电势分布；⑶取圆柱表面为零电势位置求电势分布．解：∵电荷分布具∞长轴对称性，∴E分布也具∞长轴对称性．作半径r高L的同轴封闭圆柱面为高斯面，则SESdSESESSd0cosd90cos侧底侧SSEd0rLEπ2由高斯定理0ed内SSqSE⑴当Rr0（在圆柱体内）时，内Sq1rrrL0dπ2rrrLAr03dπ2rrrLA04dπ25π52LAr∴501π52π2LArrLE0415ArEreArEˆ5041当Rr（在圆柱体外）时，RSrrLq02dπ2内RrrLAr03dπ25π52LAR∴502π52π2LARrLErARE0525rerAREˆ5052⑵取0轴U当Rr0）时，01drrEUrErd01rrArd50040525Ar当Rr时，02drrEUrERd01rERrd2rrARrrARrRd5d505004)ln(ln5250505rRARAR)ln51(2505RrAR⑶取0RU当Rr0）时，RrrEUd1rERrd1rrARrd504)(25550rRA当Rr时，RrrEUd2rERrd2rrARRrd505RrARln505RσrSLE横截面S→3813-8二极管的主要构件是一个半径为R1的圆柱状阴极和一个套在阴极外的半径为R2的同轴圆筒状阳极．阳极与阴极间电势差为U．⑴求两级间距离轴线为r的一点处的电场强度．⑵已知R1=5.0×104m，R2=4.5×103m，U=300V，电子电量e=1.6×1019C，电子质量m=9.1×1031kg．设电子从阴极出发时的初速度很小，可以忽略不计．求该电子到达阳极时所具有的速率．解：⑴作半径r高L的同轴封闭圆柱形高斯面，由高斯定理0ed内SSqSE0π2LrLE0π2rErerEˆπ20由电势差的定义有12dRRlEV12dˆπ20RRrler21d108cosπ20RRrr120lnπ2RR)ln(π2120RRV代入得reRRVrEˆ)ln(π2π211200rerRRVEˆ1)ln(12⑵电场力做功等于电子动能的增量eVm22mVe2=……=1.05×107(m/s)13-9四个电量均为4109C的点电荷分别置于一正方形的四个顶点上，各点距正方形中心O点均为5cm，则O点的场强大小EO=0V/m，电势UO=2.88×103V．将实验电荷q0=10-10C从无穷远处移至O点，电场力作功A=-2.88×107J，电势能改变W2.88×107J．解：由对称性EO=0；rqUO0π44=…；0)(qUUAO=…；=…3913-10若电荷以相同的面密度σ均匀分布在半径分别为R1=10cm和、R2=20cm的两个同心球面上，设无穷远处电势为零，已知球心电势为300V，试求两球面的电荷面密度σ的值．解:（叠加原理）两球面单独存在时球心电势的叠加21UUU202101π4π4rqrq20221021π4π4π4π4rrrr)(210rr210rr=…=8.85×109(C/m2)13-11有两个点电荷带电量为nq和q，(n1)，相距d，如图所示，试证明电势为零的等势面为一球面，并求出球面半径及球心坐标（设无穷远处为电势零点）．原2题解:UUU)(π410rqrnq0∴01rrn,即rnr①而222zyxr，222)(zdyxr代入①式，平方后整理得222222211dnnzdnnyx——球面方程球半径:dnnR12，球心:)010(22，，dnn题13-11图xyznqqO1R2R4013-12电量Q(Q0)均匀分布在长为2L的细棒上．⑴求在棒的延长线上与棒中心O距离为x的P点的电势；⑵应用电势梯度公式求P点的电场强度．解：⑴建立如图所示的坐标系，在带电直线上取电荷元aqddaLQd2，它在P点产生的电势为rqU04πdd)(8πd0axLaQUUdLQ08πLLaxadLQ08πLaLaaxax)d(LQ08πLxLxln⑵∵0yUEy，0zUEz∴xUEExLxLxxLQln8π0LxLxLQ118π022014πLxQE的方向：在带电直线延长线上，远离O点．L2aadxOPxL2OPx题13-12图41*13-13一半径为R，长为2L的圆柱形薄片，其上电荷均匀分布，总电量为Q．⑴求在其轴线上与圆柱对称中心距离为x的P点的电势.⑵应用电势梯度公式求P点的电场强度．【数学公式Cbuubuu2222lnd】解：取如图所示的坐标系．⑴在圆柱上坐标a处取宽度为da的细圆环，细圆环带电量为dq=aLQd2，细圆环上各点到P点的距离为均为22)(Rax．∴该圆环在P点产生的电势为rqU04πdd220)(8πdRaxLaQ∴P点的电势LLRaxaLQU220)(d8πLaLaRaxaxLQ220)()(d8πLaLaRaxaxLQ220)()(ln8π)()()()(ln8π22220LxRLxLxRLxLQ⑵∵0yUEy，0zUEz∴xUEEx)()()()(ln8π22220LxRLxLxRLxxLQ22220)(1)(18πRLxRLxLQE沿x轴指向远方L2PxOR题13-13图L2PxORadxa42作业15静电场中的电介质15-1在静电场中，电位移线从正自由电荷或无限远出发，终止于负自由电荷或无限远．(原1题)15-2在一点电荷产生的电场中，一块电介质如图13-2放置，以点电荷所在处为球心作一球形闭合面[B]．(A)高斯定理成立，且可以用它求出闭合面上各点的场强；(B)高斯定理成立，但不可以用它求出闭合面上各点的场强；(C)由于电介质不对称分布，高斯定理不成立；(D)即使电介质对称分布，高斯定理也不成立．(原4题)解：①高斯定理总成立；②电荷与电介质同时具有球、∞大平面、∞长轴对称性时，才能用高斯定理求出闭合面上各点的场强．15-3一个点电荷q放在相对电介系数为r的无限大均匀电介质中的一个球形空穴中心，空穴的半径为a，则空穴内表面上一点的电位移矢量的大小D=____2π4aqD____；电场强度的大小E=2r0π4aqE；极化电荷面密度等于σ=______)11(π4r2aq____．(原2题)解：0EDP，nnˆePP，P向外，nˆe向内，)(0ED015-4一面积为S间距为d的平行板电容器．⑴今在板间平行于板平面插入厚度为d/3，面积也是S的相对介电系数为r的均匀电介质板，计算其电容．⑵若插入的是同样尺寸的导体板，其电容又如何？⑶上下平移介质板或插入的导体板对电容有无影响?（原12题）解：a+b=2d/3⑴此问题等效于三个简单电容器的串联.3211111CCCCSbSdSar0003Sdr0r3)12(dSC)12(3rr0⑵为两个电容器的串联.21111CCCSbSa00Sd032dSC230⑶∵⑴⑵中C值均与a、b无关，∴对于平板水平放置的电容器，上、下平移介质板或导体板对电容无影响.qS电介质题15-2图题15-4图d3d3ddab4315-5在空气平板电容器中，平行地插上一块各向同性均匀电介质板，如图所示．当电容器充电后，若忽略边缘效应，则电介质中的电场E与空气中的场强0E相比较，应有[C](A)EE0，两者方向相同；(B)E=E0，两者方向相同；(C)EE0，两者方向相同；(D)EE0，两者方向相反．15-6一个平行板电容器固定地与电压为U的电源相连接，极板间有块介质板,如图所示，介质板外的空气中某点P的场强为E1，若把介质板抽出，抽出后，P点的场强为E2，E1与E2比较[A](原7题)(A)E1E2；(B)E1E2；(C)E