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一、定积分的定义如果当n∞时,S的无限接近某个常数,这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替---求和---取极限得到解决.niiniinabfxfS11.)()(小矩形面积和badxxf,)().(fnablimdx)x(fin1iban即定积分的定义:定积分的相关名称:———叫做积分号,f(x)——叫做被积函数,f(x)dx—叫做被积表达式,x———叫做积分变量,a———叫做积分下限,b———叫做积分上限,[a,b]—叫做积分区间。Oabxy)(xfy).(fnablimdx)x(fin1iban被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限).(fnablimdx)x(fin1iban怎样的分法,baIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法,只要当0时,和S总趋于确定的极限I,我们称这个极限I为函数)(xf在区间],[ba上的定积分,记为积分上限积分下限积分和1.dxxf)(与badxxf)(的差别dxxf)(是)(xf的全体原函数是函数badxxf)(是一个和式的极限是一个确定的常数2.当xfini)(1的极限存在时,其极限值仅与被积函数及积分区间有关,而与区间ba,的分法及i点的取法无关。f(x)[a,b]注意3.定积分的值与积分变量用什么字母表示无关,即有bababaduufdttfdxxf)()()(4.规定:abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxf注意,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值二、定积分的几何意义y)(xfyaxbxxoAy)(xfyaxbxAxoabyx1A2A3A4A5A()dbafxx各部分面积的代数和12345AAAAA性质1:bababadxxgdxxfxgxf)()()]()([(差)分等于它们定积分的和函数的和(差)的定积性质2:被积函数的常数因子可以提到积分号外为常数),kdxxfkkf(x)dxbaba()(三、定积分的基本性质性质3:对调定积分上下限,改变符号badxxf)(abdxxf)(0f(x)dxaa当a=b时性质4:(积分的可加性)bacabcdxxfdxxfdxxfc)()()(,则一定有对任意的.,1103的值计算利用定积分的定义例dxx.3xxf令解.11),,,2,1(,11,0,11,0)1(nninixninininn每个小区间的长度为个小区间等分成把区间分点上等间隔地插入在区间分割xnifSdxxfnininini110,,,2,1)2(则取近似代替、作和nnini131.,1103的值计算利用定积分的定义例dxxniin13412241411nnn.11412n.411141limlim)3(2103nSdxxnnn取极限例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积积为义,可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续,且,在)在图①中,被积函数(,0)(]0[)(12xfaxxf解:dxxAa200000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1①②③④积为义,可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续,且,在)在图②中,被积函数(,0)(]21[)(22xfxxf解:dxxA2210000ayxyxyxyx-12ab-12①②③④f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1积为义,可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续,且,在)在图③中,被积函数(,0)(][1)(3xfbaxf解:dxAba0000ayxyxyxyx-12ab-12①②③④f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1可得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义,上,在上,上连续,且在,在)在图④中,被积函数(0)(]20[,0)(]01[]21[1)1()(42xfxfxxf解:dxxdxxA]1)1[(]1)1[(2202010000ayxyxyxyx-12ab-12①②③④f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1成立。说明等式利用定积分的几何意义0sin22xdx例3:解:所以并有上,在上,上连续,且在,在在右图中,被积函数,,0sin]20[,0sin]02[]22[sin)(21AAxxxxf0)(1222AAdxxf222A1Axyf(x)=sinx1-1利用定积分的几何意义,判断下列定积分值的正、负号。20sinxdx212dxx利用定积分的几何意义,说明下列各式。成立:0sin20xdx200sin2sinxdxxdx1).2).1).2).练习:试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。0yxy=x2120xy=f(x)y=g(x)aby例4dxx1021计算积分义知,该积分值等于解:由定积分的几何意的面积(见下图)所围及轴,曲线10,12xxxxyx1y面积值为圆的面积的4141102dxx所以一、填空题:1、函数)(xf在ba,上的定积分是积分和的极限,即badxxf)(_________________.2、定积分的值只与______及_______有关,而与_________的记法无关.3、定积分的几何意义是_______________________.4、区间ba,长度的定积分表示是_____________..练习题niiixf10)(lim被积函数围成的各个部分面积的代数和积分变量积分区间badx练习题1-15A2π0cosdxx20(1)cosdxx如何表述定积分的几何意义?根据几何意义推出定积分的值:11(2)dxx4A3A2ππ3453535()()0AAAAAAA111d221112xxAA.与区间及被积函数有关;B.与区间无关与被积函数有关C.与积分变量用何字母表示有关;D.与被积函数的形式无关)(xfy在ba,上连续,则定积分badxxf)(的值4.及x轴所围成的曲边梯形的面积,用定积分表示为12xy与直线3,1xx1.由曲线dxx)1(2312-2[-2,2]0A222)1(dxx3.定积分练习223sintdt中,积分上限是积分下限是________2.积分区间是分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直(不变)代曲(变)取极限小结定积分的实质:特殊和式的极限.定积分的思想和方法:定积分的几何意义:
本文标题:定积分概念ppt课件
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