数学分析·下定义及定理

第十二章数项级数1、级数的收敛性定义1给定一个数列nu，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式nuuu21（1）称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中nu称为数项级数（1）的通项.数项级数（1）也常写作:1nnu或简单写作nu.数项级数（1）的前n项之和，记为nnkknuuuuS211，（2）称它为数项级数（1）的第n个部分和，也简称部分和.定义2若数项级数（1）的部分和数列nS收敛于S（即SSnnlim），则称数项级数（1）收敛，称S为数项级数（1）的和，记作nuuuS21或nuS.若nS是发散数列，则称数项级数（1）发散.定理12.1（级数收敛的柯西准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数，总存在正整数N，使得当mN以及对任意的正整数，都有pmmmuuu21.（6）定理12.2若级数nu与n都收敛，则对任意常数,,dc级数nndcu亦收敛，且.nnnnducdcu定理12.3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的收敛性.定理12.4在收敛级数的项中任意加括号，即不改变级数的收敛性，也不改变级数的和。正向级数定理12.5正项级数nu收敛的充要条件：部分和数列nS有界，即存在某个正数M，对一切正整数n有nSM.定理12.6（比较原则）设nu与n是两个正项级数，如果存在某个正数N，对一切nN都有，nnu，则（i）若级数n收敛，则级数nu也收敛；（ii）若级数n发散，则级数n也发散.推论设nnuuu2121,43是两个正项级数，若,limlunnn则（i）当l0时，级数（3）、（4）同时收敛或同时发散；（ii）当0l且级数（4）收敛时，级数（3）也收敛；（iii）当l且级数（4）发散时，级数（3）也发散.定理12.7（达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设nu为正项级数，且存在某正整数0N及常数.10qq（i）若对一切,0Nn成立不等式,1quunn则级数nu收敛.（ii）若对一切,0Nn成立不等式,11nnuu则级数nu发散.推论1（比式判别法的极限形式）若nu为正项级数，且,lim1quunnn则（i）当1q时，级数nu收敛；（ii）当1q或q时，级数nu发散.推论2设nu为正项级数.（i）若11______limquunnn，则级数收敛；（ii）若11______limquunnn，则级数发散.定理12.8（柯西判别法，或称根式判别法）设nu为正项级数，且存在某正数0N及常数l，（i）若对一切,0Nn成立不等式,1lunn则级数nu收敛；（ii）若对一切,0Nn成立不等式,1nnu则级数nu发散.推论1（根式判别法的极限形式）设nu为正项级数，且,limlunnn则（i）当1l时，级数nu收敛；（ii）当1l时，级数nu发散.推论2设nu为正项级数，且,lim______lunnn则当（i）1l时级数收敛；（ii）1l时级数发散.定理12.9设f为,1上的非负减函数，那么正项级数nf与反常积分1dxxf同时收敛或同时发散.定理12.10（拉贝判别法）设nu为正项级数，且存在某正整数N0及常数r，（i）若对一切Nn0，成立不等式,111ruunnn则级数nu收敛；（ii）若对一切Nn0，成立不等式,111nnuun则级数nu发散；推论（拉贝判别法的极限形式）设nu为正项级数，且极限ruunnnn11lim存在，则（i）当1r时，级数nu收敛；（ii）当1r时，级数nu发散.2、一般项数级数定理12.11（莱布尼茨判别法）若交错级数nnuuuuu143211,,2,1,0nun（1）满足下述两个条件：（i）数列nu单调递减；（ii）,0limnnu则级数（1）收敛.推论若级数（1）满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数（1）的余项估计式为.1nnuR定理12.12绝对收敛的级数一定收敛.定理12.13设级数nuuu21绝对收敛，且其和等于S，则任意重排列后所得到的级数也绝对收敛亦有相同的和数.级数的乘积设有收敛级数,,2121BvvvvAuuuunnnn32把级数（2）与（3）中的每一项所有可能的乘积列成下表：1131211vuvuvuvun2232221vuvuvuvun3333231vuvuvuvunnnnnnvuvuvuvu321这些乘积jivu可以按各种方法排成不同的级数.定理12.4（柯西定理）若级数（2）（3）都绝对收敛，则对（4）中的所有乘积jivu按任意顺序排列所得的级数nw也绝对收敛，且其和等于.AB引理（分部求和公式，也称阿贝耳变换）设nivii,,2,1,为两组实数，若令kkvvv21,,,2,1nk则有如下分部求和公式成立：.1112321211nnnnnniiiv（4）推论（阿贝耳引理）若（i）n,,,21是单调数组；（ii）对任一正整数nkk1有Ak(这里kkvv1)，则记kkmax时，有.31Avnkkk定理12.5（阿贝耳判别法）若na为单调有界数列，且级数nb收敛，则级数nnnnbabababa2211（5）收敛.定理12.6（狄利克雷判别法）若数列na单调递减，且,0limnna又级数nb的部分和数列有界，则级数（5）收敛.第十三章函数列与函数项级数1、第十四章幂级数第十五章傅里叶级数第十六章多元函数的极限与连续第十七章多元函数微分学第十八章隐函数定理及其应用第十九章含参量积分第二十章曲线积分第二十一章重积分第二十二章曲面积分第二十三章流形体上微积分初阶段