4-3单色平面电磁波在介质界面上的反射和折射

1-14.3单色平面电磁波在介质界面上的反射和折射1-2本节所要研讨的问题是：用Maxwell电磁理论来分析在介质的分界面上，电磁波将发生的反射和折射规律。1-3关于反射和折射的规律包括两个方面：入射波、反射波和折射波的振幅比和相对相位。（2）动力学规律:入射角、反射角和折射角的关系；（1）运动学规律:运动学规律是直接从光在两种介质的分界面上的反射和折射现象的波动性质及其所满足的边界条件得出的，但不依赖于波的性质或边界条件。而动力学规律完全依赖于电磁场的特定性质以及边界条件。1-41、反射和折射定律（即相位关系）BE和任何波动在两个不同界面上的反射和折射现象属于边值问题，它是由波动的基本物理量在边界上的行为确定的。对电磁波而言，是由的边值关系确定的。因此，研究电磁波反射和折射问题的基础是电磁场在两个不同介质界面上的边值关系。1-5在介质的分界面上，通常没有自由电荷和传导电流，即0)(ˆ)(ˆ)(ˆ0)(ˆ12121212BBnDDnHHnEEn0,0一般情况下，电磁场的边值关系为：1-6但是，在一定频率的情况下，这组边界方程（边值关系）不是完全独立的。因此，在讨论定态（一定频率）电磁波时，介质界面上的边值关系只取下列两式：0)(ˆ0)(ˆ0)(ˆ0)(ˆ12121212BBnDDnHHnEEn因此，介质的分界面上的Maxwell’sequations为：1-7也就是说，，即切向连续性。0)(ˆ0)(ˆ1212HHnEEnttttHHEE1212,LSSdtBldE下面，证明边值关系式不是完全独立的这个问题。a)由法拉第（Faraday)电磁感应定律出发：因为1-8设在介质Ⅰ、Ⅱ的分界面两侧分别取两个和分界面平行且完全相同的闭合回路，如图所示：LSSdBildEL2L1ⅠⅡ对于单色平面电磁波，上式可改写为：1-9考虑到L1=L2=L，S1=S2=S，则22112211LSLSSdBildESdBildELSLSSdBildESdBildE2211对于两个回路，有1-10LSntLSntdSBidlEdSBidlE2211LSnnttdsBBidlEE)()(1212即两式相减，得ttEEEEn1212,0)(ˆ即成立0)(12nnBB如果。故上式左边为零，则得到右边，即得。这就是说nnBB121-11b)同理，由出发，对于单色平面电磁波，有0)(ˆ0)(ˆ1212EEnBBnLSDHdldstLSsdDildH对于两个完全相同的回路，有与只有一个是独立的。1-12两式相减，有LSLSsdDildHsdDildH2211LSntLSntdsDidlHdsDidlH2211SnntLtdsDDidlHH)()(1212即1-130)(ˆ0)(ˆ1212HHnDDn只有一个是独立的。证毕。与这也就是说：ttHHHHn1212,0)(ˆ即成立如果0)(12nnDD，故上式左边为零。则得右边，即得。nnDD121-14介质2介质1zxKKK2211EEE和KKK和设入射波、反射波和折射波的电场强度分别为、，波矢量分别为、。由Fourier频谱分析可知，反射波和折射波与入射波一样，也是平面波.下面来讨论反射和折射定律1-15同时由可得磁场矢量为()0ikxtEEe反射波)(0txkieEE入射波tBE)(0)(01txkitxkieEkeBB入射波)(0txkieEE折射波)(0)(01txkitxkieEkeBB反射波)(0)(01txkitxkieEkeBB折射波1-16要使该式成立，只有0)(00)(0)(0][ztxkitztxkittxkiteEeEeE在z=0的平面上有一些边界条件，该平面上的一切点必须永远满足这些边界条件。这个事实意味着：在z=0处，所有场的空间和时间变化必须相同。因此，所有的相因子在z=0处必须相等，即在边界面上，所以ttEE121-17因为x、y、t都是独立变量，必然有00000000zzzztztttxktxktxkEEE以及tykxktykxktykxkyxyxyxyyyxxxkkkkkk由此可见：1-18讨论：yyykkk0yykkknˆsinsin,|k||k|,11kkkkxx有0yk由此得到：，即反射角=入射角。（反射定律）c)根据b)根据，若，则必有。这说明反射波和折射波与入射波在同一平面内，这个面就称为入射面（入射波矢与分界面的法线所组成的平面）。a)，这说明反射波、折射波的频率与入射波的频率相同。1-19这就是折射定律，其中n21为介质2相对于介质1的折射率，一般介质（除铁磁质外），故为两介质的相对折射率。211211221122sinsinnnnkk012xxkksinsin,|k|,sinkk,sin2211xkkkkkxd)根据，有则1-202、菲涅耳公式（即振幅关系）kEE所谓菲涅耳公式就是在边值关系条件下求得的入射波、反射波和折射波的振幅关系。由于对每一个波矢有两个独立的偏振波，所以我们只需要分别讨论电场⊥入射面和电场∥入射面两种情况就可以了。Fresnel’sFormula（i.e.AmplitudeRelation）1-21a)入射面Eθzx2211kEHHEkkEH1-22这时电场只有y分量，并⊥入射面（纸面）指向外面，以⊙表示。因为介质1中有入射波和反射波，介质2中只有折射波，因此根据边界条件（边值关系）：2100021000,,HttttXXXEEEEEHHHH由有由有coscoscos000HHH||||||,12211kkkEkBH考虑到即①1-23故有②coscos)(0220011EEEcoscoscos2coscoscoscos221111002211221100EEEE联立①、②两式得1-24对于光波，即有021)sin()sin(cossinsincoscossinsincoscoscoscoscos121200EE)sin(sincos2coscoscos21200EE1-25b)∥入射面Ezθx2211kEHHEkkEH1-26000000HHHEEEXXX000000coscoscosHHHEEEEkH1同理由的关系,把上式中的磁场换为电场。即这时磁场只有y分量，并⊥入射面（纸面）指向外面，以⊙表示。由边界条件，即在z=0的界面上有：1-27联合上述两式即得：0220011000)(coscos)(EEEEEE211221||0||021122112||0||0coscoscos2coscoscoscosEEEE从而得到：1-28对于光波，则有021cossinsincoscossinsincoscoscoscoscos1212||0||0EE)cos()sin()cos()sin(cossincossincossincossin)(tg)(tg1-29综上所述，我们得到的振幅关系就是光学中的菲涅耳公式。因此，这也有力地证示了光是电磁波的理论学说，即光实际上是在一个特殊频段（波长由4000到8000）的电磁波。0||0||212coscossincoscoscoscossin2cossinsincossincosEEAA1-30)(01txkieEeEE讨论：1）电磁波的偏振性偏振系指电场矢量在垂直于传播方向的平面内的振动状态。例如，时谐波按偏振状态可分为线偏振、圆偏振、椭圆偏振等。平面波为线偏振波，而圆偏振波和椭圆偏振波实际上是两个频率相同、振动方向互相垂直的平面波的叠加。线偏振波的电场矢量可写为1-31)(021)(txkieEeieE21ee、21ee、kEE2010EE)(202101)(txkieEeEeE椭圆偏振波中，两垂直振动的电场矢量的振幅不相同（）可写为式中为振动平面内的一对互相正交的单位矢量。且和之间构成右手螺旋关系。若迎着电磁波观察，取“+”号时将观察到矢量按逆时针旋转，称为左旋圆偏振波；取“-”号时将观察到矢量按顺时针旋转，称为右旋圆偏振波；1-322/)(21eiee2/)(21eiee为基矢（偏振基矢）来描述各类偏振状态。及右旋单位圆矢量其中取“+”号与左旋波相应，取“-”号与右旋波相应。以上都是以线矢量为基矢描述了各类偏振状态，这是常用的描述方法。但是有时也可以采用左旋单位圆矢量1-33,||0||0EE0,000EEE即可见1sinsin2121,)0(0E900,0,900||0EE时?,00EE2）对于水平偏振（水平极化）：即说明两种介质完全相同。因此，除同种介质外，反射波总是存在的3）对于垂直偏振：即当，即反射波中没有电场平行入射面的部分，这时的反射波是完全的线偏振波，此时的当时，由振幅关系式可以看到，。这种情况只有两介质完全相同才能满足。即可由1-34故这个角称为Brewster’sangle。21)90sin(sinsinsinnbbbbbbtgcossin)90sin(sin211tgnb4）当平面波从光疏介质入射到光密介质时由此可见，一个任意偏振的波，总可以分为