《高等代数》数分高代定理大全

数分高代定理大全《高等代数》第一章带余除法对于[]Px中任意两个多项式()fx与()gx，其中()0gx，一定有[]Px中的多项式(),()qxrx存在，使()()()()fxqxgxrx成立，其中(())(())rxgx或者()0rx，并且这样的(),()qxrx是唯一决定的.定理1对于数域P上的任意两个多项式(),()fxgx，其中()0,()|()gxgxfx的充分必要条件是()gx除()fx的余式为零.定理2对于[]Px中任意两个多项式()fx，()gx，在[]Px中存在一个最大公因式()dx，且()dx可以表示成()fx，()gx的一个组合，即有[]Px中多项式(),()uxvx使()()()()()dxuxfxvxgx.定理3[]Px中两个多项式()fx，()gx互素的充分必要条件是有[]Px中的多项式(),()uxvx使()()()()1uxfxvxgx.定理4如果((),())1fxgx，且()|()()fxgxhx，那么()|()fxhx.定理5如果()px是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式(),()fxgx，由()|()()pxfxgx一定推出()|()pxfx或者()|()pxgx.因式分解及唯一性定理数域P上每一个次数1的多项式()fx都可以唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式1212()()()()()()(),stfxpxpxpxqxqxqxLL那么必有st，并且适当排列因式的次序后有()(),1,2,,,iiipxcqxisL其中(1,2,,)icisL是一些非零常数.定理6如果不可约多项式()px是()fx的k重因式(1)k，那么它是微商()fx的1k重因式.定理7（余数定理）用一次多项式x去除多项式()fx，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值()f.定理8[]Px中n次多项式(0)n在数域P中的根不可能多于n个，重根按重数计算.定理9如果多项式()fx，()gx的次数都不超过n，而它们对1n个不同的数121,,nL有相同的值，即()(),1,2,1,iifginL那么()()fxgx.代数基本定理每个次数1的复系数多项式在复数域中有一根.复系数多项式因式分解定理每个次数1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.实系数多项式因式分解定理每个次数1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.定理10（高斯（Gauss）引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.定理12设110()nnnnfxaxaxaL是一个整系数多项式，而rs是它的有理根，其中,rs互素，那么必有0|,|nsara.特别地，如果()fx的首项系数1na，那么()fx的有理根是整根，而且是0a的因子.定理13（艾森斯坦（Eisenstein）判别法）设110()nnnnfxaxaxaL是一个整系数多项式，如果有一个素数p，使得1.|npa；2.120|,,,nnpaaaL；3.20|pa那么()fx在有理数域上是不可约的.第二章定理1对换改变排列的奇偶性.定理2任意一个n级排列与排列12nL都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.定理3设111212122212nnnnnnaaaaaadaaaLLMMML，ijA表示元素ija的代数余子式，则下列公式成立：1122,,0,.kikiknindkiaAaAaAkiL当当1122,,0,.ljljnlnjdjaAaAaAjL当l当l定理4（克拉默法则）如果线性方程组11112211211222221122,,nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbLLLLLLL的系数矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaaLLMMML的行列式0dA，那么该线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为1212,,,,nndddxxxdddL其中jd是把矩阵A中第j列换成方程组的常数项12,,,nbbbL所成的行列式，即1,11,111112,12,12122,1,11,1,2,,.jjnjjnjnjnjnnnnaaabaaaabadjnaaabaLLLLLMMMMMLL定理5如果齐次线性方程组1111221211222211220,0,0nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxaxLLLLLLL的系数矩阵的行列式0A，那么它只有零解.换句话说，如果该方程组有非零解，那么必有0A.定理6（拉普拉斯定理）设在行列式D中任意取定了(11)kkn个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.定理7两个n级行列式1112121222112nnnnnnaaaaaaDaaaLLMMML和1112121222212nnnnnnbbbbbbDbbbLLMMML的乘积等于一个n级行列式111212122212nnnnnnccccccCcccLLMMML，其中ijc是1D的第i行元素分别与2D的第j列的对应元素乘积之和：1122ijijijinnjcabababL.第三章定理1在齐次线性方程组1111221211222211220,0,0nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxaxLLLLLLL中，如果sn，那么它必有非零解.定理2设12,,raaaL与1,,,rbbbL2是两个向量组，如果1）向量组12,,raaaL可以经1,,,rbbbL2线性表出，2）rs，那么向量组12,,raaaL必线性相关.定理3一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量定理4矩阵的行秩与列秩相等.定理5nn´矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaaLLMMML的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n.定理6一矩阵的秩是r的充分必要条件为矩阵中有一个r级子式不为零，同时所有1r+级子式全为零.定理7（线性方程组有解判别定理）线性方程组11112211211222221122,,nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbLLLLLLL有解的充分必要条件为它的系数矩阵111212122212LLMMMLnnsssnaaaaaaAaaa与增广矩阵11121121222212LLMMMMLnnsssnsaaabaaabAaaab有相同的秩。定理8在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于nr-，这里r表示系数矩阵的秩.定理9如果0r是方程组11112211211222221122,,nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbLLLLLLL的一个特解，那么该方程组的任一个解r都可以表成0rrh=+，其中h是导出组1111221211222211220,0,0nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxaxLLLLLLL的一个解.因此，对于方程组的任一个特解0r，当h取遍它的导出组的全部解时，0rrh=+就给出本方程组的全部解.第四章定理1设,AB是数域P上的两个nn´矩阵，那么ABAB=，即矩阵的乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积.定理2设A是数域P上nm´矩阵，B是数域P上ms´矩阵，于是,£秩（AB）min[秩（A）秩（B）]，即乘积的秩不超过各因子的秩.定理3矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化，而11(0)AAdAd-*==?.定理4A是一个sn´矩阵，如果P是ss´可逆矩阵，Q是nn´可逆矩阵，那么秩(A)=秩(PA)=秩(AQ).定理5任意一个sn´矩阵A都与一形式为的矩阵等价，它称为矩阵A的标准形，主对角线上1的个数等于A的秩（1的个数可以是零）.定理6n级矩阵A为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：12mAQQQ=L第五章定理1数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122nndxdxdx++L.定理2在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.定理3任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的。定理4任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的。定理5（1）任一复对称矩阵A都合同于一个下述形式的对角矩阵;,其中，对角线上1的个数r等于A的秩.（2）任一实对称矩阵A都合同于一个下述形式的对角矩阵：，其中对角线上1的个数p及-1的个数rp-（r是A的秩）都是唯一确定的，分别称为A的正、负惯性指数.它们的差2pr-称为A的符号差.定理6n元实二次型1,2,(,)nfxxxL是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n.定理7实二次型1,2,11(,)nnnijijijfxxxaxxXAX==¢==邋L是正定的充分必要条件为矩阵A的顺序主子式全大于零.定理8对于实二次型1(,,)nfxxXAX，其中A是实对称的，下列条件等价：（1）1(,,)nfxx是半正定的，（2）它的正惯性指数与秩相等，（3）有可逆实矩阵C，使12nddCACd其中，0,1,2,,,idin（4）有实矩阵C使ACC，（5）A的所有主子式皆大于或等于零.第六章定理1如果在线性空间V中有n个线性无关的向量12,,n，且V中任一向量都可以用它们线性表出，那么V是n维的，而12,,n就是V的一组基.定理2如果线性空间V的非空子集合W对于V的两种运算是封闭的，那么W就是一个子空间.定理31）两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价.2）12(,,)rL的维数等于向量组12,,r的秩.定理4设W是数域P上n维线性空间V的一个m维子空间，12,,m是W的一组基，那么这组向量必定可扩充为整个空间的基.也就是说，在V中必定可以找到nm个向量12,,,mmn，使得12,,n是V的一组基.定理5如果12,VV是线性空间V的两个子空间，那么它们的交12VV也是V的子空间.定理6如果12,VV是V的子空间，那么它们的和12VV也是V的子空间.定理7（维数公式）如果12,VV是线性空间V的两个子空间，那么维（1V）+维（2V）=维（12VV）+维（12VV）.定理8和12VV是直和的充分必要条件是等式120,(1,2)iiVi只有在i全为零向量时才成立.定理9设12,VV是V的子空间，令12WVV，则12WVV的充分必要条件为维（W）=维（1V）+维（2V）.定理10设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W使VUW.定理1112,,,sVVV是V的一些子空间，下面这些条件是等价的：1）iWV是直和；2）零向量的表法唯一；3）0ijjiVV(1,2,,)is；4）维（W）=i维（V）.定理12数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.第七章定理1设12,,,n是线性空间V的一组基，12,,n是V中任意n个向量.存在唯一的线性变换使,1,2,,iiin.定理2设12,,,n是数域P上n维线性空间V的一组基，在这组基下，每个线性变换对应一个nn矩阵.这个对应具有以下的