常微分方程期末模拟试题

实用标准文案精彩文档《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分）1、n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是n个。2、一阶微分方程2dyxdx的通解为2yxC（C为任意常数），方程与通过点（2，3）的特解为21yx，与直线y=2x+3相切的解是24yx，满足条件303ydx的解为22yx。3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的必要条件。4、对方程2()dyxydx作变换uxy，可将其化为变量可分离方程，其通解为tan()yxCx。5、方程过点共有无数个解。6、方程''21yx的通解为4212122xxyCxC，满足初始条件13|2,|5xxyy的特解为421912264xxyx。7、方程无奇解。8、微分方程2260dydyydxdx可化为一阶线性微分方程组6dyzdxdzzydx。9、方程的奇解是y=0。10、35323dydyxdxdx是3阶常微分方程。11、方程22dyxydx满足解得存在唯一性定理条件的区域是xoy平面。12、微分方程22450dydyydxdx通解为512xxyCeCe，该方程可化为一阶线性微分方程组21ddyxy)1,2(xxyxyddyxydd实用标准文案精彩文档45dyzdxdzzydx。13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()yxyx成为其基本解组的充要条件是线性无关。14、设1342A，则线性微分方程组dXAXdt有基解矩阵25253()4tttteetee。二、解方程（每个小题8分，共120分）1、答案：方程化为令，则，代入上式，得分离变量，积分，通解为∴原方程通解为2、答案：特征方程为即。特征根为，对应特征向量应满足可确定出同样可算出对应的特征向量为∴原方程组的通解为。3、0dd)2(yxxyxxyxy21ddxuyxuxuxydddduxux1dd1CxuxCxy2yxtyyxtx4dddd01411EA032231120031413111ba2111ba122122battttCCyx2ee2ee2331xyxy2e3dd实用标准文案精彩文档答案：齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+4、2xydydx；答案：2xydydx是一个变量分离方程变量分离得22yxdydx两边同时积分得22yxc（其中c为任意常数）5、答案：积分：故通解为：6、0)(22xdydxyxxy答案：0)(22dxyxxxdyydx两边同除以22yx得022xdxyxxdyydx，即021)(2dxyxarctgd，故原方程的解为Cxyxarctg2217、2453dxxydtdyxydt.答案：方程组的特征方程为203AE45即(2)(3)(4)(5)0，即25140xCy3exxCy3e)(CxCx5e51)(xCy3ex2e51xyexydxdyxyxexyedxdyxyxydxyxexdyxy)(dxxeydxxdyxydxxedxyxyxdxedxyxycxexy2210212cexxy实用标准文案精彩文档特征根为17，22对应特征向量应满足1127405370ab，可得1145ab同样可算出22时，对应特征向量为2211ab∴原方程组的通解为72127245ttttxeeCCyee8、答案：线性方程的特征方程故特征根是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0所以原方程的解为9、0)2()122(dyyxdxyx答案：，令z=x+y，则所以–z+3ln|z+1|=x+，ln=x+z+即10、220dxdxxdtdt答案：所给方程是二阶常系数齐线性方程。其特征方程为210特征根为11322i，21322isincos2xxtt0xx210i1()sinftti(cossin)xtAtBt122()cos2ftt2icos2sin2xAtBt13A1211cossincoscos223xctctttt2)(1)(2yxyxdxdydxdydxdz1,212121zzzzdxdzdxdzzz121C3|1|z1CyxCeyx23)1(实用标准文案精彩文档∴方程的通解为13131()()22222121233(cossin)22itittxcecectcte11、312yxyxdxdy答案：(x-y+1)dx-(x++3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0即d-d(xy)+dx--3dy=0所以三、证明题（共160分）1、（12分）证明如果满足初始条件的解，那么。证明：设的形式为=（1）（C为待定的常向量）则由初始条件得=又=所以C==代入（1）得=即命题得证。2、（12分）设在区间上连续．试证明方程的所有解的存在区间必为。证明：由已知条件，该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件。显然是方程的两个常数解。任取初值，其中,。记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾；故该解的存在区间必为。3、（12分）设，是方程的解，且满足==0，，2y2y212x331dyCyyxxyx3312132Axxt/）是（)(0t)(t)(0ttAe)(t)(tCeAt)(0tCeAt01)(0Ate0Ate1)(0Ate0Ate)(t)(00ttAAtAteee)(x),(yxxysin)(dd),(xoy1y),(00yx),(0x10y)(xyy)(xyy1y1y),()(1xy)(2xy0)()(yxqyxpy)(01xy)(02xy0)(1xy实用标准文案精彩文档这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C．证明：设，是方程的两个解，则它们在上有定义，其朗斯基行列式为由已知条件，得故这两个解是线性相关的；由线性相关定义，存在不全为零的常数，使得，由于，可知．否则，若，则有，而，则，这与，线性相关矛盾．故4、（12分）叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容，并给出唯一性的证明。定理：设00:||,||Rxxayyb.（1）(,)fxy在R上连续，（2）(,)fxy在R上关于y满足利普希茨条件：120,(,),(,)LxyxyR，总有1212|(,)(,)|||fxyfxyLyy.则初值问题00(,)()dyfxydxyxy存在唯一的解()yx，定义于区间0||xxh上，连续且满足初值条件00()xy，这里(,)min(,),max|(,)|xyRbhaMfxyM.唯一性：设()x是积分方程在区间00[,]xhxh上的解，则()()xx.证明：00()(,())xxxyfd，001()(,())xnnxxyfd，1,2,......n首先估计0xx.000|()()||(,())|()xxxxfdMxx，)(),(xqxp),(),(0x)(2xy)(1xy)(1xy)(2xy),()()()()()(2121xyxyxyxyxW0)()(00)()()()()(0201020102010xyxyxyxyxyxyxW21，0)()(2211xyxy),(x0)(1xy02020)(11xy0)(1xy01)(1xy)(2xy)()()(11212xCyxyxy实用标准文案精彩文档010|()()||(,())(,())|xxxxffd002000|()()|()()2!xxxxMLLdLMxdxx设10|()()|()(1)!nnnMLxxxxn成立，则001210|()()||(,())(,())||()()|()(2)!nxxnnnnxxMLxxffddxxn这就证明了对任意的n，总成立估计式：110|()()|()(1)!(1)!nnnnnMLMLxxxxhnn.因此，{()}nx一致收敛于()x，由极限的唯一性，必有00()(),[,]xxxxhxh.5、（10分）求解方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。解：令，得，即奇点为（2，-3）令，代入原方程组得，因为，又由，解得，为两个相异的实根，所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。6、（12分）求方程组313dxxydtdyydt满足初始条件1(0)1的解.解：方程组的特征方程为231(3)003，所以特征根为3（二重），51yxdtdyyxdtdx0501yxyx32yx32yYxXYXdtdYYXdtdX02111102111122122实用标准文案精彩文档对应齐次方程组的基解矩阵331exp((3))01tttAteIAEte，满足初始条件的特解0()expexpexp()()ttAtAtAsfsds33301111101101010tttsttseeeds3331111331010ttttteee3332133tttteee7、（10分）假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组有一解形如其中，是常数向量。证明：设方程有形如的解，则是可以确定出来的。事实上，将代入方程得，因为，所以，（1）又不是矩阵的特征值，所以存在，于是由（1）得存在。故方程有一解8、（12分）试求方程组'xAx的一个基解矩阵，并计算expAt，其中2112A.解：12()det()0,3,3pEA，均为单根，设1对应的特征向量为1v，则由11()0EAv，得1(23)v，0.取1123v，同理可得1对应的特征向量为2123v，则331122(),()tttevtev，均为方程组的解，令12()((),())ttt，又11(0)det(0)302323w，mAmtceAxx'mtpet)(cpmtpet)(pmtpemtmtmtceApempe0mtecApempcPAmE)(mA