1.3.1空间几何体的表面积与体积

一、柱体、锥体、台体的表面积•(1)矩形面积公式：__________。•(2)三角形面积公式：_________。•正三角形面积公式：_______。•(3)圆面积面积公式：_________。•(4)圆周长公式：_________。•(5)扇形面积公式：__________。•(6)梯形面积公式：__________abSahS21243aS2rS2CrhbaS)(21复习回顾12slr柱体锥体台体球几何体的分类多面体旋转体在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的表面积怎样得到的几何体表面积展开图平面图形面积空间问题平面问题把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？chhcbaS)＝（直棱拄侧habcabchh底侧表面积SSS2正棱锥的侧面展开图是什么？h'h'侧面展开正棱锥的侧面积如何计算？表面积如何计算？'21chS＝正棱锥侧正棱台的侧面展开图是什么？侧面展开h'h'正棱台的侧面积如何计算？表面积如何计算？')'21hccS（＝正棱台侧棱柱、棱锥、棱台的表面积h'h'一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和表面积=侧面积+底面积小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键；2、对应的面积公式')'cc21hS＋（＝正棱台C’=0'21chS＝三棱锥C’=CchchS'＝直棱柱例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．BCAS例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．DBCASaaaBDSBSD2322222所以：243232121aaaSDBCSSBC因此，四面体S-ABC的表面积．交BC于点D．解：先求的面积，过点S作SBCBCSD典型例题223434aaS因为aBC•求多面体的表面积可以通过求各个平面多边形的面积和得到,那么旋转体的表面积该如何求呢?思考)(2222lrrrlrS圆柱表面积rlr2)(2lrrrlrS圆锥表面积r2lOr)(22rllrrrSr2lOrO’'r'2rlrrrrS222122lOrO’'rlOrlOOr)(2lrrS柱)(lrrS)(22rllrrrSr’＝r上底扩大r’＝0上底缩小三者之间关系圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？例2如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（取3.14，结果精确到1）？2cmcm15cm20cm15解：由圆台的表面积公式得花盆的表面积：2225.11522015215215S)(9992cm答：花盆的表面积约是999．2cm典型例题)(22rllrrrS圆台表面积各面面积之和rr0r小结：展开图22()Srrrlrl圆台圆柱)(2lrrS)(lrrS圆锥空间问题转化成平面问题棱柱、棱锥、棱台圆柱、圆锥、圆台所用的数学思想：柱体、锥体、台体的表面积二、柱体、锥体、台体的体积长方体体积：正方体体积：圆柱的体积：Vabh3Va2VrhVShabhaaah底面积高柱体体积aa2以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：柱体体积柱体（棱柱、圆柱）的体积公式：ShV（其中S为底面面积，h为柱体的高）VSh3.1．锥体（棱锥、圆锥）的体积（底面积S，高h）注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离问题:锥体(棱锥、圆锥）的体积shV31三棱锥椎体（圆锥、棱锥）的体积公式：ShV31锥体体积（其中S为底面面积，h为高）h由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的．13ss/ss/hx四.台体的体积V台体=1h(s+ss'+s')3上下底面积分别是s/,s,高是h，则VVV大锥小锥1133113313ShShSSSSShSSShhSSSSShxSS11=33SxhSx11=33ShSSx2xSxhSxSxhSShxSSSShx台体（棱台、圆台）的体积公式hSSSSV)(31台体体积柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？hSSSSV)(31S为底面面积，h为柱体高ShVSS分别为上、下底面面积，h为台体高ShV310SS为底面面积，h为锥体高上底扩大上底缩小,SS21.,am已知圆锥的表面积且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径。例2如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米？cm15cm20cm15例3有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（取3.14）？3/8.7cmg解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:10)210(14.3106124322V)(29563mm)(956.23cm所以螺帽的个数为252)956.28.7(10008.5（个）答：这堆螺帽大约有252个．典型例题RROORR球的体积：一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等。探究球1V=232=πR33球4V=πR3RROORR221πRR-πRR3半径为R的球的体积343VR第一步：分割O球面被分割成n个网格，表面积分别为：nSSSS...321，，则球的表面积：nSSSSS...321则球的体积为：设“小锥体”的体积为：iViVnVVVVV...321iSO知识点三、球的表面积和体积（O第二步：求近似和Oih由第一步得：nVVVVV...321nnhShShShSV31313131332211...iiihSV31iSiV第三步：转化为球的表面积RSVii31如果网格分的越细,则:RSRSRSRSVni3131313132...RSSSSSRni313132)...(①由①②得:334RV②球的体积:24πRSiSiVih的值就趋向于球的半径RRihiSOiV“小锥体”就越接近小棱锥。半径为R的球的表面积公式24SR设球的半径为R，则球的体积公式为V球＝.4∕3πR3例1．(2009年高考上海卷)若球O1、O2表面积之比＝4，则它们的半径之比＝______.解析：S球＝4πR2，故R1R2＝S1S2＝4＝2.答案：2(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—倍。(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的—倍。(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是———。(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是———。例2：2422:134:1例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：2222211113423,)2()2(22:aRSaRaaRaDBRDBDDBRt得：，中变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。2a22a关键：找正方体的棱长a与球半径R之间的关系OABCO例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，r332AB2332AO是正三角形，ABCROO,2题型一旋转体的表面积及其体积如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状,再求表面积.【例2】思维启迪解如图所示,过C作CO1⊥AB于O1,在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,∴AC=,BC=R,∴S球=4πR2,R3,231RCO,π2311π23π23π4,π2323π,π23323π2222112121RRRRSSSSRRRSRRRSBOAOBOAO侧圆锥侧圆锥球几何体表侧圆锥侧圆锥.π23112R表面积为旋转所得到的几何体的解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算..π65π21π34)(π41π31π41π31,π34333111221111221113RRRVVVVBORCOBOVAORCOAOVRVBOAOBOAO圆锥圆锥球几何体圆锥圆锥球又探究提高知能迁移2已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？解如图为轴截面.设圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，则,)2(222Rrh.π241π4,,2,22,21.41)21(π4)(π4π4π2.2242242222222222RRRhRrRrRRrrRrrRrrhSrRh最大值是最大圆柱侧面积时即当且仅当即知能迁移2已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？解如图为轴截面.设圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，则,)2(222Rrh.π241π4,,2,22,21.41)21(π4)(π4π4π2.2242242222222222RRRhRrRrRRrrRrrRrrhSrRh最大值是最大圆柱侧面积时即当且仅当即题型二多面体的表面积及其体积一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥的体积.本题为求棱锥的体积问题.已知底面边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积和高，再根据体积公式求出其体积.解如图所示，正三棱锥S—ABC.设H为正△ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高.【例3】思维启迪15连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC.∵△ABC是边长为6的正三角形，,33623AE.93393131312153215,Rt.393362121,.323222SHSV，AHSASH，，AHSASHAAEBCSABCAEAHABCABC正三棱锥中在中在求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式进行计算即可.常用方法：割补法和等积变换法.（1）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积，从而得出几何体的体积.（2）等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面.①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积性”可求“点到面的距离”.探究提高ShV31题型三组合体的表面积及其体积(12分)如图所示,在等腰梯形A