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数学理科试卷,第页(共5页)12012杭州二中高三第五次月考数学试卷(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.卷面共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知R是实数集,11,12xyyNxxM,则MCNR(A))2,1((B)2,0(C)D2,12.设nS为等比数列{}na的前n项和,0852aa,则24SS(A)5(B)8(C)8(D)153.已知函数)62sin()(xxf,若存在),0(a,使得)()(axfaxf恒成立,则a的值是(A)6(B)3(C)4(D)24.下列四个条件中,p是q的必要不充分条件的是(A)22:,:baqbap(B)baqbap22:,:(C)cbyaxp22:为双曲线,0:abq(D)0:2cbxaxp,0:2axbxcq5.已知函数()fx的导函数为()fx,且满足xefxxfln)(2)(,则)(ef(A)1(B)1(C)1e(D)e6.若等边ABC的边长为2,平面内一点M满足CACBCM2131,则MBMA(A)98(B)913(C)98(D)9137.在平面直角坐标系中,有两个区域NM,,M是由三个不等式xyxyy2,,0确数学理科试卷,第页(共5页)2定的;N是随t变化的区域,它由不等式)10(1ttxt所确定.设NM,的公共部分的面积为)(tf,则)(tf等于(A)tt222(B)2)2(21t(C)2211t(D)212tt8.已知椭圆:)0,(12222babyax和圆O:222byx,过椭圆上一点P引圆O的两条切线,切点分别为BA,.若椭圆上存在点P,使得0PBPA,则椭圆离心率e的取值范围是(A))1,21[(B)]22,0((C)]22,21[(D))1,22[9.从正方体的棱和各个面的面对角线中选出k条,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线,则k的最大值是(A)3(B)4(C)5(D)610.在等差数列}{na中,nS表示其前n项和,若)(,nmnmSmnSmn,则4nmS的符号是(A)正(B)负(C)非负(D)非正二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.复数ii121(i是虚数单位)的虚部..是▲12.在总体中抽取了一个样本,为了便于计算,将样本中的每个数据除以100后进行分析,得出新样本的方差..为9,则估计总体的标准差...为▲13.已知ba,为直线,,为平面.在下列四个命题中,①若ba,,则ba//;②若//,//ba,则ba//;③若aa,,则//;④若//,//ba,则//.正确命题的个数是▲数学理科试卷,第页(共5页)314.定义:ba的运算原理如图所示,设)2()0()(xxxxf,则)(xf在区间]2,2[上的最小值为▲.15.将2个相同的a和2个相同的b共4个字母填在33的方格内,每个小方格内至多填1个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法共有▲种(用数字作答)16.已知1l和2l是平面内互相垂直的两条直线,它们的交点为A,动点CB,分别在1l和2l上,且23BC,则过CBA,,三点的动圆..扫过的区域的面积为▲.17.若0x时,不等式2)1(axexx恒成立,则a的取值范围是▲.数学理科试卷,第页(共5页)418.(本小题满分14分)已知),1(),cos23sin21,21(ybxxa,且ba//.设函数)(xfy(1)求函数)(xfy的解析式;(2)若在锐角ABC中,3)3(Af,边3BC,求ABC周长的最大值.19.(本小题满分14分)四枚不同的金属纪念币DCBA,,,,投掷时,BA,两枚正面向上的概率均为21,另两枚DC,(质地不均匀)正面向上的概率均为a(10a).将这四枚纪念币同时投掷一次,设ξ表示出现正面向上的枚数.(1)求ξ的分布列(用a表示);(2)若恰有一枚纪念币正面向上对应的概率最大,求a的取值范围.20.(本题满分14分)已知,如图四棱锥ABCDP中,底面ABCD是平行四边形,PG平面ABCD,垂足为G,G在线段AD上,且GDAG31,GCBG,2GCBG,E是BC的中点,四面体BCGP的体积为38.(1)求异面直线GE与PC所成角的余弦值;(2)若F点是棱PC上一点,且GCDF,求FCPF的值.数学理科试卷,第页(共5页)5ABPyxF1F2O21.(本小题满分15分)如图,椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别为)0,()0,(21cFcF,,已知点),1(e和)23,(e都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设BA,是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线1AF与直线2BF平行,2AF与1BF交于点P,(I)若2621BFAF,求直线1AF的斜率;(II)求证:21PFPF是定值.22.(本小题满分15分)设函数38)(2xaxxf).(Ra(1)若)(),()(xfxxfxg与)(xg在x为同一个值时都取得极值,求a的值.(2)对于给定..的负数..a,有一个最大的正数)(aM,使得)](,0[aMx时,恒有.5|)(|xf求①)(aM的表达式;②)(aM的最大值及相应的a值.数学理科试卷,第页(共5页)6杭州二中2012学年第二学期开学考数学试卷答案1.D2.A3.B4.C5.C6.C7.D8.D解析:∵PA→·PB→=0PA⊥PB.又PA,PB为圆O切线,∴OA⊥PA,OB⊥PB.∴四边形OAPB为正方形.∴OP=2b≤a,即a2≥2b2=2(a2-c2)a2≤2c2,∴22≤e1.9.B10.A解析:∵Sn=na1+nn-12d=nm(1),Sm=ma1+mm-12d=mn(2),∴由(1)(2)得d=2mn,a1=1mn.故Sm+n-4=(m+n)a1+m+nm+n-12d-4=m-n2mn>0.(m≠n)112112.30013.214.-6解析:f(x)=-x2+x,-2≤x≤0-x,0x≤2,画出其图象易知:f(x)min=-6.15.19816.18π解析:分别以l1、l2为x轴、y轴建立直角坐标系,设线段BC中点为E,则过A、B、C三点的圆即为以E为圆心、322为半径的圆,∵B、C分别在l1和l2上运动,∴圆心E在以A为圆心、AE=322为半径的圆上运动,所以,过A、B、C三点的动圆所形成的面积为以A为圆心、32为半径的圆的面积为18π.数学理科试卷,第页(共5页)717.]1,(18.(本小题满分14分)解:(1),//ba)3sin(2cos3sinxxxy(4分)(2)由(1)及3)3(Af知:2sinA=3,sinA=32.∵0Aπ2,∴A=60°.(8分)由余弦定理得3=b2+c2-2bccos60°,即(b+c)2=3+bc,(10分)∴(b+c)2=3+bc≤3+2)2(cbb+c≤2,(12分)∴△ABC周长l=a+b+c=b+c+3≤33,所以,△ABC周长最大值为2+3.(14分)19.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)由题意可得ξ的可能取值为4,3,2,1,0.222)1(411)211()0(aaP)1(21)211)(1(1)211(21)1(212212aaaCaCP)221(41)211()211(21)1(1)21()2(222121222aaaCaaCaP2)211(211)21()3(122122aCaaaCP22241)21()4(aaP数学理科试卷,第页(共5页)8∴ξ的分布列为……………………………7分(Ⅱ)∵10a∴)3()4(,)1()0(PPPP…10分∴aaaaa21)1(21)221(41)1(212,解得21222222aaa或…13分∴a的取值范)222,0(.……………14分20.(本题满分14分)解法一:(1)由已知38213131PGGCBGPGSVBCGBGCP∴PG=4如图所示,以G点为原点建立空间直角坐标系o—xyz,则B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,4)故E(1,1,0)(1,1,0),(0,2,4)GEPCξξξ02122334PP2)1(41a2)1(41a)1(21a)1(21a)221(412aaa21a21241a241a数学理科试卷,第页(共5页)9210cos,10||||220GEPCGEPCGEPC(2)设F(0,y,z)3333(0,,)(,,0)(,,)(0,2,0)2222,03333(,,0)(0,2,0)2()02222DFOFODyzyzGCDFGCDFGCyyy则在平面PGC内过F点作FM⊥GC,M为垂足,则21,23MCGM3MCGMFCPF解法二:(1)由已知38213131PGGCBGPGSVBCGBGCP∴PG=4在平面ABCD内,过C点作CH//EG交AD于H,连结PH,则∠PCH(或其补角)就是异面直线GE与PC所成的角.在△PCH中,18,20,2PHPCCH由余弦定理得,cos∠PCH=1010(2)在平面ABCD内,过D作DM⊥GC,M为垂足,连结MF,又因为DF⊥GC∴GC⊥平面MFD,∴GC⊥FM由平面PGC⊥平面ABCD,∴FM⊥平面ABCD∴FM//PG由GM⊥MD得:GM=GD·cos45°=23332123FCPFGCDFMCGMFCPF可得由数学理科试卷,第页(共5页)1021.(本小题满分15分)解(1)由题设知acecba,222.由点(1,e)在椭圆上,得112222baca解得12b,于是122ac,又点)(23,e在椭圆上,所以143222bae,即143142aa,解得22a因此,所求椭圆的方程是1222yx.....................4分(2)由(1)知)0,1(),0,1(21FF,又直线1AF与2BF平行,所以可设直线1AF的方程为myx1,直线2BF的方程为myx1.设0,0),,(),,(212211yyyxByxA由112121112myxyx得012)2(1212myym,解得222221mmmy故21)1(2)()1(222212121211mmmmymyyxAF①同理,21)1(22222mmmmBF②(ⅰ)由①②得262122221mmmBFAF解得22m,..........9分因为0m,故2m,所以直线1AF的斜率为221m(ⅱ)因为直线1AF与2BF平行,所以121AFBFPFPB,于是11211AFAFBFPFPFPB故12111BFBFAFAFPF.由点B在椭圆上知2221BFBF从而)22(22111BFBFAFAFPF.同理)22(12122AFBFAFBFPF因此)22()22(1212221121AFBFAFBFBFBFAFAFPFPF数学理科试卷,第页(共5页)112121222BFAFBFAF又由①②知21,2)1(2222212221mmBFAFmmBFAF所以223222221PFPF.因此21
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