风险资产的定价——资本资产定价模型

2019/8/255•1964－1966年夏普（WilliamEsharp）林内特、莫辛分别独立提出，CAPM实质上要解决的是，假定所有投资者都运用前一章的马氏证券组合选择方法，在有效边界上寻求有效组合，从而在所有的投资者都厌恶风险的情况，最终每个人都投资于一个有效组合，那么将如何测定组合中每单个证券的风险，以及风险与投资者们的预期和要求的收益率之间是什么关系。可见，该模型是建立在一定理想化假设下，研究风险的合理测定和定价问题。并认为每种证券的收益率只与市场收益率和无风险收益率有关。WilliamSharpe,(1934-)资本资产定价模型（CAPM)2019/8/256第一节无风险借贷对有马科维兹有效集的影响一、无风险资产的定义二、允许无风险贷款下的投资组合三、允许无风险借入下的投资组合四、允许同时进行无风险借贷——无风险借入和贷出对有效集的影响2019/8/257一、无风险资产的定义在单一投资期的情况下，无风险资产的回报率是确定的无风险资产的标准差为零无风险资产的回报率与风险资产的回报率之间的协方差也是零2019/8/258根据定义无风险资产具有确定的回报率，因此：首先，无风险资产必定是某种具有固定收益，并且没有任何违约的可能的证券。其次，无风险资产应当没有市场风险。2019/8/259二、允许无风险贷款下的投资组合1.投资于一个无风险资产和一个风险资产的情形假设风险资产和无风险资产再投资组合中的比例分别为X1和X2,它们的预期收益率分别为R1和rf，标准差分别为σ1和σ2，它们之间的协方差为σ12。根据X1和X2的定义可知X1+X2=1，且X1和X20。根据无风险资产的定义，有σ1和σ12都等于0。那么，该组合的预期收益率为：RP=X1R1+X2rf组合的标准差为：σp=X1σ12019/8/2510考虑以下5种组合：组合A组合B组合C组合D组合EX10.000.250.50.751.00X21.000.750.50.250.00假设风险资产的回报率为16.2%，无风险资产的回报率为4%，那么根据上面的公式，5种组合的回报率和标准差如下：2019/8/2511组合X1X2期望回报率标准差A0.001.004.00%0.00%B0.250.757.053.02C0.500.5010.106.04D0.750.2513.159.06E1.000.0016.1012.082019/8/2512可以发现，这些点都位于连接代表无风险资产和风险资产的两个点的直线上。尽管这里仅对5个特定的组合进行了分析，但可以证明：有无风险资产和风险资产构成的任何一种组合都将落在连接它们的直线上；其在直线上的确切位置将取决于投资于这两种资产的相对比例。不仅如此，这一结论还可以被推广到任意无风险资产与风险资产的组合上。这意味着，对于任意一个有无风险资产和风险资产所构成的组合，其相应的预期回报率和标准差都将落在连接无风险资产和风险资产的直线上。2019/8/2513r=4%E(RP)σ(RP)2019/8/25142.投资于一个无风险资产和一个风险组合的情形假设风险资产组合P是由风险资产C和D组成的。经过前面的分析可知，P一定位于经过C、D两点的向上凸出的弧线上。如果我们仍然用R1和σ1代表风险资产组合的预期收益率和标准差，用X1代表该组合在整个投资组合中所占的比重，则前面的结论同样适用于由无风险和风险资产组合构成的投资组合的情形。这种投资组合的预期收益率和标准差一定落在A、P线段上。2019/8/2515AE(RP)σ(RP)CDP2019/8/25163.无风险贷出对有效集的影响如前所述，引入无风险贷款后，有效集将发生重大变化。图中，弧线CD代表马科维兹有效集，A点表示无风险资产。我们可以在马科维兹有效集中找到一点T，使AT直线与弧线CD相切于T点。T点所代表的组合称为切点处的投资组合。2019/8/2517•T点代表马科维兹有效集中众多的有效组合中的一个，但它却是一个很特殊的组合。因为对于所有由风险资产构成的组合来说，没有哪个点与无风险资产相连接形成的直线会落在T点与无风险资产的连线的西北方。换句话说，在所有从无风险资产出发到风险资产或是风险资产组合的连线中，没有哪一条线能比到T点的线更陡。由于马科维兹有效集的一部分是由这条线所控制，因而这条线就显得很重要。2019/8/2518•从图中可以看出，在引入AT线段之后，即投资者可以投资于无风险资产时，CT弧将不再是有效集。因为对于T点左边的有效集而言，在预期收益率相等的情况下，AT线段上风险均小于马科维兹有效集上的组合的风险，而在风险相同的情况下，AT线段上的预期收益率均大于马科维兹有效集上组合的预期收益率。按照有效集的定义，CT弧线的有效集将不再是有效集。由于AT线段上的组合是可行的，因此引入无风险贷款后，新的有效集由AT线段和TD弧线构成，其中直线段AT代表无风险资产和T以各种比例结合形成的一些组合。2019/8/2519AE(RP)σ(RP)CDT2019/8/25204.无风险贷出对投资组合选择的影响对于不同的投资者而言，无风险贷款的引入对他们的投资组合选择有不同的影响。对于风险厌恶程度较轻，从而其选择的投资组合位于DT弧线上的投资者而言，其投资组合的选择将不受影响。因为只有DT弧线上的组合才能获得最大的满足程度。对于该投资者而言，他仍将把所有资金投资于风险资产，而不会把部分资金投资于无风险资产。2019/8/2521AOE(RP)σ(RP)I1CDT2019/8/2522•对于较厌恶风险的投资者而言，该投资者将选择其无差异曲线与AT线段的切点O’所代表的投资组合。如图所示，对于该投资者而言，他将把部分资金投资于风险资产，而把另一部分资金投资于无风险资产。2019/8/2523AOE(RP)σ(RP)I1CD2019/8/2524三、允许无风险借入下的投资组合•在现实生活中，投资者可以借入资金并用于购买风险资产。如果允许投资者借入资金，那么投资者在决定将多少资金投资于风险资产时，将不再受初始财富的限制。当投资者借入资金时，他必须为这笔贷款付出利息。由于利率是已知的，而且偿还贷款也没有任何不确定性，投资者的这种行为常常被称为“无风险借入”。同时，为方便起见，我们假定，为贷款而支付的利率与投资于无风险资产而赢得的利率相等。2019/8/2525•在前面的例子中，我们用X2表示投资于无风险资产的比例，而且X2限定为从0到1之间的非负值。现在，由于投资者有机会以相同的利率借入贷款，X2便失去了这个限制。如果投资者借入资金，X2可以被看作是负值，然而比例的总和仍等于1。这意味着，如果投资者借入了资金，那么投资于风险资产各部分的比例总和将大于1。2019/8/25261.无风险借款并投资于一种风险资产的情形仍然用前面的例子，此时X10，X20在前例中5种组合的基础上，我们再加入4种组合：组合F组合G组合H组合IX11.251.501.752.00X2-0.25-0.50-0.75-1.002019/8/2527组合X1X2期望回报率标准差A0.001.004.00%0.00%B0.250.757.053.02C0.500.5010.106.04D0.750.2513.159.06E1.000.0016.1012.08F1.25-0.2519.2515.10G1.50-0.5022.3018.12H1.75-0.7525.3521.14I2.00-1.0028.4024.162019/8/2528•通过作图可以发现，4个包含无风险借入的组合和5个包含无风险贷出的组合是在同一条直线上，而包含无风险借入的组合在AB线段的延长线上，这个延长线再次大大扩展了可行集的范围。不仅如此，还可以看到，借入的资金越多，这个组合在直线上的位置就越靠外。2019/8/2529AE(RP)σ(RP)B2019/8/25302.无风险借入并投资于一个风险组合的情形同样，由无风险借款和风险资产组合构成的投资组合，其预期收益率和风险的关系与由无风险贷款和一种风险资产构成的投资组合相似。我们仍然假设风险资产组合P是由风险资产C和D组成的，则由风险资产组合P和无风险借款A构成的投资组合的预期收益率和标准差一定落在AP线段向右边的延长线上:2019/8/2531AE(RP)σ(RP)CDT2019/8/25323.无风险借入对有效集的影响引入无风险借款后，有效集也将发生重大变化。图中，弧线CD仍然代表马科维兹有效集，T点仍表示CD弧与过A点直线的相切点。在允许无风险借款的情形下，投资者可以通过无风险借款并投资于风险资产或风险资产组合T使有效集由TD弧线变成AT线段向右边的延长线。这样，在允许无风险借入的情况下，马科维兹有效集由CTD弧线变成CT弧线和过A、T点的直线在T点右边的部分。2019/8/2533AE(RP)σ(RP)P2019/8/25344.无风险借入对投资组合的影响对于不同的投资者而言，无风险借入的引入对他们的投资组合选择的影响也不同。对于风险厌恶程度较轻，从而其选择的投资组合位于DT弧线上的投资者而言，由于代表其原来最大满足程度的无差异曲线I1与AT直线相交，因此不再符合效用最大化的条件。因此该投资者将选择其无差异曲线与AT线段的切点O’所代表的投资组合。如图所示，对于该投资者而言，他将进行无风险借入并投资于风险资产。2019/8/2535AOE(RP)σ(RP)I1CDT2019/8/2536•对于较厌恶风险从而其选择的投资组合位于CT弧线上的投资者而言，其投资组合的选择将不受影响。因为只有CT弧线上的组合才能获得最大的满足程度。对于该投资者而言，他只会用自有资产投资于风险资产，而不会进行无风险借入。2019/8/2537四、允许同时进行无风险借贷——无风险借入和贷出对有效集的影响1.同时进行无风险借贷对有效集的影响当既允许无风险借入又允许无风险贷出时，有效集也将变成一条直线（该直线经过无风险资产A点并与马科维兹有效集相切），相应地降低了系统风险。切点T是最优风险资产组合，因为它是酬报波动比最大的风险资产组合。2019/8/2538该直线上的任意一点所代表的投资组合，都可以由一定比例的无风险资产和由T点所代表的有风险资产组合生成。因此得出一个在金融上有很大意义的结果。对于从事投资服务的金融机构来说，不管投资者的收益/风险偏好如何，只需要找到切点T所代表的有风险投资组合，再加上无风险资产，就能为所有投资者提供最佳的投资方案。投资者的收益/风险偏好，就只需反映在组合中无风险资产所占的比重。2019/8/25392、切点组合T的各项风险资产比例（两种风险证券）切点组合在斜率最大的配置线上，即这个风险资产组合的权重使风险资产的酬报波动比最大，所以目标是最大化下列目标函数:由此可以求得T组合中的各项风险资产的比例。()pfTpErrs2019/8/25403、在风险资产加无风险资产的组合中，切点T最优风险资产组合在其中的投资比例计算对具有一定风险厌恶程度投资者的地投资组合的效用值是：若设风险资产投资比例是y，则对具有一定风险厌恶程度的投资者来说，最优风险资产的投资比例是：20.005rUEA2()0.01pfpErryA2019/8/2541五、加入无风险资产对有效集影响的数学推导（不做要求）•假设无摩擦的市场证券市场有N种风险资产和一种无风险资产。以rf表示无风险资产的利率，设p是由N+1资产组成的前沿证券组合，wp是N种风险资产的投资比例，则wp是如下规划的解：1min2(11)()TTTfpwVwwrwrEr使得2019/8/2542•求解有以下有关投资组合的收益与风险的关系：()()pfpErrrH()()pfpErrrH()pfErr()pfErr如果2019/8/2543•这里•A、B、C是推导马氏双曲线的变量22ffHBArCr111111TTTAVrBrVrCV2019/8/2544即所有N+1种资产的证券