线性代数1-矩阵概念

矩阵是线性代数中一个重要的数学概念，它广泛地运用于自然科学、工程技术、现代经济管理等各个领域。本章将引进矩阵的概念，并讨论矩阵和线性变换的关系，以及矩阵的运算。重点是矩阵的概念及运算、矩阵的初等行变换及逆矩阵。第二章矩阵§2.1矩阵的概念【学习本节要达到的目标】1、理解矩阵概念。2、了解常见的矩阵类型。在某些问题中所有数据可以用一个矩形表完整表示比如线性方程组可以对应一个矩形表mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111mnmmnnaaaaaaaaa212222111211这个矩形表就称为矩阵一、矩阵概念的引入例1设有线性方程组7739183332154321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个4行5列的矩形阵列如下77391111833312111151这个阵列决定着给定方程组是否有解以及如果有解解是什么等问题因此对这个阵列的研究就很有必要由此得到排成4行4列的产值阵列80827088909075908485709878755880它具体描述了这家企业各种产品各季度的产值同时也揭示了产值随季节变化规律的季增长率及年产量等情况例2某企业生产4种产品各种产品的季度产值(单位万元)如下表由此得到一个m行n列阵列mnmmnnaaaaaaaaa212222111211它描述了生产过程中产出的产品与投入材料的数量关系例3生产m种产品需用n种材料如果以aij表示生产第i种产品(i12m)耗用第j种材料(j12n)的定额则消耗定额可以用一个矩形表表示例4.某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B.ABCD四城市间的航班图情况可用表格来表示:ABCDABCD其中表示有航班.到站发站为了便于计算,把表中的改成1,空白地方填上0,就得到一个数表:这个数表反映了四城市间交通联接情况.ABCDABCD0010100101010110定义(矩阵)由mn个数aij(i12mj12n)排成的一个m行n列的矩形表称为一个mn矩阵（matrix）记作mnmmnnaaaaaaaaa212222111211其中aij称为矩阵的第i行第j列的元素一般情况下我们用大写黑体字母ABC等表示矩阵也可以记作Amn或(aij)mn.77391111833312111151如上述例1所得的矩形阵列就是一个4×5矩阵，可记为A4×5或(aij)45，即A4×5=定义(矩阵相等)如果两个矩阵AB有相同的行数与相同的列数并且对应位置上的元素均相等则称矩阵A与矩阵B相等记为AB即如果A(aij)mnB(bij)mn且aijbij(i12mj12n)则AB二、矩阵的基本关系例如,530221A.fedcbaB它们都是2×3矩阵。仅当a=1,b=2,c=2,d=0,e=3,f=5时，矩阵A和矩阵B才是相等的，即A=B.定义：对于矩阵A=(aij)m×n：当m=1时，表示只有一行的矩阵，叫做行矩阵(rowmatrix)，记为A=[a1a2…an]maaaA21所有元素都是零的矩阵称作零矩阵(zeromatrix)，记作Om×n或O.当n=1时，表示只有一列的矩阵，叫做列矩阵(columnmatrix)，记为.00000000000000000000注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.例如当m=n时，称为n阶矩阵或n阶方阵(squarematrix).记为An,即定义：对于矩阵A=(aij)m×n：nnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211对于n阶方阵，当n=1时，即一阶方阵就是表示一个数a11.在n阶方阵中，从左上角到右下角的n个元素称为主对角线元素（diagonal）.nnaaa,,2211主对角线一侧的元素全为0的n阶方阵称为三角矩阵。上三角矩阵（uppertriangularmatrix）：非零元素只出现在对角线及其上方。下三角矩阵（lowertriangularmatrix）:非零元素只出现在对角线及其下方。nnnnaaaaaa00022211211nnnnaaaaaa21222111000对角矩阵（diagonalmatrix）：既是上三角矩阵又是下三角矩阵。),,,(diag2211nnaaaD可记为单位矩阵（identitymatrix）：主对角线元素全为1，其余元素都为0的n阶方阵。nnaaa0000002211100010001记为En或E.小结(1)矩阵的概念mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211列的一个数表行nm(2)矩阵相等如果A(aij)mnB(bij)mn且aijbij(i12mj12n)则AB(3)特殊矩阵方阵;时的矩阵nm行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;零矩阵..100010001,21naaaB,,,,21naaaAn00000021Om×n练习：P22.A组1、2、3§2.2矩阵的运算1、掌握矩阵的加法、数乘矩阵的运算；2、掌握矩阵乘法、矩阵转置的运算；3、理解并掌握以下重要结论：AB≠BA；(AB)T=BTAT.【学习本节要达到的目标】定义(矩阵加法)mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111一、矩阵的加法两个mn矩阵A(aij)mnB(bij)mn将它们的对应位置元素相加，得到的mn矩阵称为矩阵A与矩阵B的和记为AB即AB(aij)mn(bij)mn(aijbij)mn例1设有矩阵A与矩阵B，321034022753BA846075120231320501742233111A111A111A111B1203162540783+15+37+22+20+14+53+72+00+01+62+43+8111A111C111C111B44081799621011解求A+B注意只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.在这里我们把两个行列分别相等的矩阵称为同型矩阵.矩阵加法的运算规律设A,B,C,O都是m×n矩阵，容易验证下列运算规律：;1ABBA;2CBACBA.3AOA09050301OA9531解,9531A例2设有矩阵求A+O.解根据矩阵加法的定义，.212222111211的负矩阵称为矩阵则AaaaaaaaaaAmnmmnn对于矩阵A=(aij)m×n，我们称矩阵(-aij)m×n为矩阵A的负矩阵，记作-A.mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211即若利用矩阵的加法和负矩阵，可以定义矩阵的减法：mnmnmmmmnnnnbababababababababaBABA221122222221211112121111)(OAA显然，有例3已知求A-B.解根据矩阵减法的定义，32112321)1(012BA.121111,213102A312211B例4设有矩阵A与矩阵B，,2452A3586B求满足矩阵方程A+X=B的矩阵X.解由A+X=B得X=B-A，所以5934)2(3455826ABX定义(数乘矩阵)以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵称为数k与矩阵A的数乘矩阵记为kA即如果A(aij)mn那么kAk(aij)mn(kaij)mn.212222111211mnmmnnkakakakakakakakakaAkkA二、数乘矩阵例5设有矩阵A，105951901355040130809080175120A1059519013550401308090801751205.15.1A1055.1955.11905.11355.1505.1405.11305.1805.1905.1805.11755.11205.15.1575.1422855.20275601951201351205.262180解求1.5A.例3已知230412301321A052110351234B求3A2B解0521103512342230412301321323BA06109402122306691002349668361941016151055011解解0521103512342230412301321323BA例6练习：设140213A043203B求3A-2B.BA230432032140213308640631206393206233解;3AkllAk;2lAkAAlk;1kBkABAk数乘矩阵的运算规律设k和l是两个常数，A和B均是m×n阶矩阵，容易验证下列运算规律：矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算。.0,14OAAA例7已知864297510213A612379154257B且A2XB求X)(21ABX27212244446421解由A2XB得到)(21ABX27212244446421)(21ABX2721224