第二章逻辑代数基础

1/64第二章逻辑代数基础主讲教师：栾庆磊2/64本章学习内容第2章1.逻辑代数的公式和定理2.逻辑函数的表示方法3.逻辑函数的化简方法（重点）3/64第2章逻辑代数基础2-2．逻辑代数中的三种基本运算2-3．逻辑代数中的基本公式和定理2-4．逻辑函数及其表示方法返回第2章2-5、逻辑函数的化简方法2-6、具有无关项的逻辑函数及其化简2-1．概述4/64前面已讨论，利用二值数字逻辑中的1（逻辑1）和0（逻辑0）不仅可以表示二进制数，还可以表示事物的两种对立的逻辑状态。在逻辑代数中可以抽象地表示为0和1，称为逻辑0状态和逻辑1状态。1－1．概述逻辑代数（又称布尔代数【BooleanAlgebra】）第2章是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分析和设计数字电路的数学工具。回顾“二值数字逻辑”参与逻辑运算的变量称为逻辑变量，用字母A，B……表示。每个变量的取值非0即1。0、1不表示数的大小，而是代表两种不同的逻辑状态。逻辑变量【BooleanVariableOrLogicVariable】返回5/64基本逻辑运算包括：三种基本逻辑运算：与【AND】、或【OR】、非【NOT】几种导出逻辑运算：与或【AND-OR】与非【NAND】与或非【AND-OR-Invert(AND-OR-I)】异或【Exclusive-OR(XOR)】同或【Exclusive-NOR(XNOR)】第2章描述这些运算常见的方法有4种：①用语句【Statement】描述；②用逻辑表达式【LogicalExpression】描述③用真值表【TruthTable】描述④用逻辑符号【LogicalSymbol】描述2-2．逻辑代数中的三种基本运算6/64灯灭B断开A断开1.与运算【ANDOperation】VABL功能表逻辑表达式：L=A•B=ABABL000010100111真值表约定：开关A、B断开时为逻辑0，合上时为逻辑1；灯灭时为逻辑0，灯亮时为逻辑1。逻辑符号旧法：用∧或∩表示与运算实现与逻辑的电路称为与门＆ABL=AB旧符号ABYABY返回描述：只有条件都具备，结果才发生。（逻辑乘）VABLVABLABL开开灭开合灭合开灭合合亮7/64B闭合1.与运算【ANDOperation】VABLABL开开灭开合灭合开灭合合亮功能表逻辑表达式：L=A•B=ABABL000010100111真值表约定：开关A、B断开时为逻辑0，合上时为逻辑1；灯灭时为逻辑0，灯亮时为逻辑1。逻辑符号旧法：用∧或∩表示与运算实现与逻辑的电路称为与门＆ABL=AB旧符号ABYABYA仍断返回描述：只有条件都具备，结果才发生。（逻辑乘）VABLVABL灯灭8/64B断开1.与运算【ANDOperation】VABL功能表逻辑表达式：L=A•B=ABABL000010100111真值表约定：开关A、B断开时为逻辑0，合上时为逻辑1；灯灭时为逻辑0，灯亮时为逻辑1。逻辑符号旧法：用∧或∩表示与运算实现与逻辑的电路称为与门＆ABL=AB旧符号ABYABYA闭合返回描述：只有条件都具备，结果才发生。（逻辑乘）VABLVABL灯灭ABL开开灭开合灭合开灭合合亮9/64A闭合1.与运算【ANDOperation】VABLABL开开灭开合灭合开灭合合亮功能表逻辑表达式：L=A•B=ABABL000010100111真值表约定：开关A、B断开时为逻辑0，合上时为逻辑1；灯灭时为逻辑0，灯亮时为逻辑1。逻辑符号旧法：用∧或∩表示与运算实现与逻辑的电路称为与门＆ABL=AB旧符号ABYABY返回描述：只有条件都具备，结果才发生。（逻辑乘）VABLVABL灯亮B闭合10/642.或运算【OROperation】第2章ABL开开灭开合亮合开亮合合亮功能表逻辑表达式：L=A+BABL000011101111真值表约定：开关A、B断开时为逻辑0，合上时为逻辑1；灯灭时为逻辑0，灯亮时为逻辑1。逻辑符号实现或逻辑的电路称为或门≥1ABL=A＋B旧符号ABY断开A返回ABY＋描述：只要任一条件具备，结果就会发生。（逻辑加）VABL断开B11/642.或运算【OROperation】第2章ABL开开灭开合亮合开亮合合亮功能表逻辑表达式：L=A+BABL000011101111真值表约定：开关A、B断开时为逻辑0，合上时为逻辑1；灯灭时为逻辑0，灯亮时为逻辑1。逻辑符号实现或逻辑的电路称为或门≥1ABL=A＋B旧符号ABY断开A返回ABY＋描述：只要任一条件具备，结果就会发生。（逻辑加）VABL合上B12/642.或运算【OROperation】第2章ABL开开灭开合亮合开亮合合亮功能表逻辑表达式：L=A+BABL000011101111真值表约定：开关A、B断开时为逻辑0，合上时为逻辑1；灯灭时为逻辑0，灯亮时为逻辑1。逻辑符号实现或逻辑的电路称为或门≥1ABL=A＋B旧符号ABY合上A返回ABY＋描述：只要任一条件具备，结果就会发生。（逻辑加）VABL断开B13/642.或运算【OROperation】第2章ABL开开灭开合亮合开亮合合亮功能表逻辑表达式：L=A+BABL000011101111真值表约定：开关A、B断开时为逻辑0，合上时为逻辑1；灯灭时为逻辑0，灯亮时为逻辑1。逻辑符号实现或逻辑的电路称为或门≥1ABL=A＋B旧符号合上A返回ABY＋描述：只要任一条件具备，结果就会发生。（逻辑加）VABL合上BY14/64第2章3.非运算【NOTOperation】AL开亮合灭功能表AL0110真值表逻辑符号实现非逻辑的电路称为非门旧符号合上A描述：条件具备，结果不发生；条件不具备，结果必发生。（逻辑求反）逻辑表达式：L=A1AL=A约定：开关A断开时为逻辑0，合上时为逻辑1；灯灭时为逻辑0，灯亮时为逻辑1。ALV15/64与非运算逻辑表达式：第2章ABL001011101110真值表：ABL符号：4、其他一些常用的逻辑运算都可以由与、或、非组合而成。常用的如下：＆ABABLAB旧符号：16/64或非运算BAL第2章逻辑表达式：真值表：ABL001010100110符号：17/64与或非运算逻辑表达式：第2章DCBAL符号：18/64异或运算逻辑表达式：BABABAL真值表：ABL000011101110第2章符号：19/64同或运算逻辑表达式：真值表：ABL001010100111符号：第2章BAABBAL⊙20/64各种逻辑运算汇总表返回21/642－3逻辑代数的基本公式和定理序号公式序号公式1010·A=01=00=1111+A=121·A=A120+A=A3A·A=A13A+A=A4145A·B=B·A15A+B=B+A6A·(B·C)=(A·B)·C16A+(B+C)=(A+B)+C7A·(B+C)=A·B+A·C17A+B·C=(A+B)·(A+C)8189A·A=0A+A=1A·B=A+BA+B=A·BA=A19A+A·B=A+B22/64试证明：A+AB=A1)列真值表证明2)利用基本公式证明1、A+AB=A+B的推广A+ABC=A+BCAB+ABC=AB+CA+AB=A+BAB+ABC=AB+C=A+B+C2、AB=A+B的推广ABC=A+B+C同理：A+B+C=ABC二、推广举例AB00011011A+AB0+0·0=00+0·1=01+1·0=11+1·1=1A0011A+AB=A(1+B)=A·1=A常用公式的证明与推广一、证明举例返回23/642-4逻辑函数及其表示方法例：某一逻辑电路，对输入两路信号A、B进行比较，一、真值表表示法ABY000110110110真值表表示法、逻辑函数式表示法、逻辑图表示法、波形图表示法、卡诺图表示法等。试表示其逻辑关系。A、B相异时，输出为1；相同时，输出0。输入输出（状态表表示法）2-4-124/64二、逻辑函数式表示法(一）最小项1、二变量的全部最小项AB最小项编号00011011ABm0ABABABm1m2m32、三变量的全部最小项ABC最小项编号000001010011100101110111m0ABCABCABCABCABCABCABCABCm1m2m3m4m5m6m73、四变量的全部最小项编号为m0~m15在n变量逻辑函数中，若m是包含n个因子的乘项积，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。（略）25/64在真值表中，将为“1”的输出逻辑值所对应的输入变量的最小项相加，即得对应的函数式。（二）逻辑函数式表示法ABY000110110110Y=AB+AB已知：所以：三、逻辑图表示法11&&≥1ABYABAB=m1+m2=（m1，m2）四、波形图表示法ABY五、卡诺图表示法（在本章第五节中讲）26/642-4-2逻辑函数的两种标准形式最小项之和形式、最大项之积形式。这里，重点介绍最小项之和形式。一、最小项标准形式：（已讲过）最小项的性质：2）全体最小项之和为1；3）任意两个最小项的乘积为0；1）在输入变量的任何取值下必有一个且仅有一个最小项的值为1；ABC+ABC=4）具有相邻性的两个最小项可以合并，并消去一对因子。ABC和ABC具有逻辑相邻性。例如:将它们合并，可消去因子:二变量全部最小项有m0~m3共4个；三变量全部最小项有m0~m7共8个；四变量全部最小项有m0~m15共16个；只有一个因子不同的两个最小项是具有相邻性的最小项。=BC（A+A）BC27/64例1：Y=AB+B可化为二、逻辑函数的最小项之和形式利用基本公式A+A=1可以把任何逻辑函数化为最小项之和的标准形式。=AB=∑（m0，m2，m3）例2：Y=AB+C可化为Y=AB(C+C)+(A+A)(B+B)C=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=∑（m1，m3，m5，m6，m7）+AB+AB=m3+m2+m0（A+A）B+Y=AB+m6+m7+m3+m5+m1=m728/64*三.最大项Mi（i取0~2n-1）定义：在n变量逻辑函数中，若Ｍ为n个变量之和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在Ｍ中必须且只能出现一次,则称Ｍ为该组变量的最大项。输入变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值为０．Mi的重要特性：①在输入变量的任何取值下必须有一个最大项且仅有一个最大项的值为0；②全体Mi之积为0；③任意两个Mi之和为1；④只有一个变量不同的两个Mi的乘积等于各相同变量之和。29/64【例】写出函数的最大项之积的标准形式。解:F=A(B+C)F=A(B+C)=(A+BB+CC)(AA+B+C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)利用公式A+B·C=(A+B)·(A+C)利用公式：A·A=0利用基本公式可以把任何逻辑函数化为最大项之积的标准形式。A·A=0也可以写成01236F(A,B,C)=M+M+M+M+MF(A,B,C)=M(0,1,2,3,6)F(A,B,C)=(0,1,2,3,6)或或返回30/642-5逻辑函数的化简方法2-5-1、最简标准一般来说，同一个逻辑函数可以写成不同的表达式。用基本逻辑门电路去实现某函数时，表达式越简单，需用门电路的个数就越少，因而也就越经济可靠。因此，实现逻辑函数之前，往往要对它进行化简，先求出其最简表达式，再根据最简表达式去实现逻辑函数。最简表达式有很多种，最常用的有最简与或表达式和最简或与表达式。不同类型的逻辑函数表达式，最简的定义也不同。函数的最简与或表达式必须满足的条件有:(1)与项个数最少。(2)与项中变量的个数最少。函数的最简或与表达式必须满足的条件有:(1)或项个数最少。(2)或项中变量的个数最少。31/64常见的化简方法有公式法和卡诺图法两种。2-5-2、常用的最简形式逻辑函数式中，包含的或运算