第二类曲线和曲面积分的对称性

第18期33武燕张丽李靖：第二类曲线和曲面积分的对称性1前言1前言在学习重积分中第一类曲线、曲面积分（即对弧长的曲线积分，对面积的曲面积分）时[1]，经常用到对称性[2]，它可以大大减少运算量，简化计算。因此，一些学生在计算第二类曲线、曲面积分时，也类比地使用对称性，结果造成错误。事实上第二类曲线、曲面积分的对称性与第一类曲线、曲面积分的对称性有区别，为了正确应用这一对称性，分析如下。2第二类曲面积分2第二类曲面积分设Σ为光滑的有向曲面，Σ上点(,,)xyz处的单位法向量为，,,αβγ为方向角。1）(,,)PxyzdydzΣ∫∫设Σ在yOz面上的投影为yzD，P在Σ上连续，Σ由方程(,)xxyz=给出，且在yzD上具有一阶连续偏导数，满足：①Σ关于yOz平面对称；②12coscosαα=−。其中12,αα分别为点(,,)xyz，点(,,)xyz−处的指定侧的方向角，其中Σ在x轴正半轴的一侧记为Σ1，另一侧记为Σ2。若(,,)Pxyz关于x为奇函数，即(,,)(,,)PxyzPxyz−=−，则有：（其中1cos0α，当1cos0α时，可得同样的结果）第二类曲线和曲面积分的对称性武燕张丽李靖西安电子科技大学理学院西安710071摘要为了简化计算，详细讨论第二类曲线、曲面积分的对称性，根据对称性进行积分计算，并应用例子进行分析计算。关键词第二类曲线积分；第二类曲面积分；对称性中图分类号O172.2文献标识码B文章编号1671-489X（2008）18-0033-02若(,,)Pxyz关于x为偶函数，即(,,)(,,)PxyzPxyz−=，则有：（其中1cos0α，当1cos0α时，可得同样的结果）同理可得到另外两种情况。2）满足：①Σ关于zOx平面对称；②cosβ1=-cosβ2；其中β1，β2分别为点(,,)xyz，点(,,)xyz−处的指定侧的方向角。若(,,)Qxyz关于y为奇函数，即(,,)(,,)QxyzQxyz−=−，则：若(,,)Qxyz关于y为偶函数，即(,,)(,,)QxyzQxyz−=，则：3）满足：①Σ关于xOy平面对称；②；其中分别为点(,,)xyz，点(,,)xyz−处的指定侧的方向角。若(,,)Rxyz关于z为奇函数，即(,,)(,,)RxyzRxyz−=−，则：若(,,)Rxyz关于z为偶函数，即(,,)(,,)RxyzRxyz−=，则：第18期34第二类曲面积分的对称性较重积分的对称性条件要多，但在实际计算中，这些条件都很好判断。例1例1计算，其中Σ为锥面22zxy=+与球面221zxy=−−所围成的封闭曲面的外侧。解由对称性；所以：原式例2例2计算曲面积分其中Σ为锥面222(0)zxyzh=+≤≤的下侧。解法1：由对称性知：所以：其中xyD为：222xyh+≤法2：补一块Σ1：222,zhxyh=+≤，Σ1取上侧，Σ与Σ1在xOy面的投影同为xyD：222xyh+≤。故有：由高斯公式得：（利用了Ω的对称性）此例可以看出，应用对称性，有时比应用高斯公式还要简单得多，故可用来简化计算。3第二类曲线积分3第二类曲线积分给出第二类曲线积分的另一种计算方法，它与第二类曲面积分的计算方法思路相同。武燕张丽李靖：第二类曲线和曲面积分的对称性设L是有向曲线弧，是与曲线的方向一致的切线向量，α,β为方向角，弧L在x轴上的投影区间为[,]ab，在y轴上的投影区间为[,]cd则：当时当时同理：当时当时所以可以得到对称性如下：1）满足：①L关于x轴对称；②；其中分别为点(x,y)，点(x,-y)的方向角。若(,)Pxy关于y为奇函数，即(,)(,)PxyPxy−=−，则有：（其中1L为L在0y≥的部分）。若(,)Pxy关于y为偶函数，即(,)(,)PxyPxy−=，则有：2）满足：①L关于y轴对称；②；其中分别为点(x,y)，点(-x,y)的方向角。若(,)Qxy关于x为奇函数，即(,)(,)QxyQxy−=−，则有：（其中L1为L在0x≥的部分）。若(,)Qxy关于x为偶函数，即(,)(,)QxyQxy−=，则有：。例3例3计算，其中L为抛物线2yx=上从点(1,1)A−到点(1,1)B的一段弧。解由对称性可知：参考文献参考文献[1]同济大学数学教研室.高等数学（下册）[M].北京:高等教育出版社,1996[2]王金金,李广民,于力.新编高等数学学习辅导——配合同济高等数学四版（下册)[M].西安:西安电子科技大学出版社,1999