武警院校招生考试数学模拟试卷1

2013年武警院校招生考试数学模拟（1）1．已知全集U＝R，集合A＝{x|3≤x7}，B＝{x|x2－7x＋100}，则∁R(A∩B)等于()A．(－∞，3)∪(5，＋∞)B．(－∞，3)∪[5，＋∞)C．(－∞，3]∪[5，＋∞)D．(－∞，3]∪(5，＋∞)2．不等式4x－2≤x－2的解集是()A.(－∞，0］∪(2,4］B.［0,2)∪［4，＋∞)C.［2,4)D.(－∞，2］∪(4，＋∞)3．复数z＝i1＋i在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限４．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形５．设向量a＝(3，3)，b为单位向量，且a∥b，则b等于()A.32，－12或－32，12B.32，12C.－32，－12D.32，12或－32，－12６．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为()A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n－2７．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm，则这个几何体的总高度为()A.29cmB.30cmC.32cmD.48cm８．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为A.1010B.3010C.21510D.31010９．已知直线l1的方向向量为a＝(1,3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)．若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为_______________１０．若点O和点F分别为椭圆13422yx的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则FPOP的最大值为_______________１１．一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有________种不同的选法．1２．若二项式x2－2xn的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为_______________１３．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是__________．１４．已知函数f(x)＝ax＋bx－b，其图象关于点(－3,2)对称，则f(2)的值是________．１５．设x1，x2为y＝f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0；③fx1－fx2x1－x20；④fx1－fx2x1－x20.其中能推出函数y＝f(x)为增函数的命题为_______________．1６．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数之和为5的概率；(2)两数中至少有一个奇数的概率；(3)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15内部的概率．1７．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝BC＝1，A1B＝2.(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；(2)如果D为AB中点，求证：BC1∥平面A1CD.1８．已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列nS1的前n项和为nT，求证：8361nT．1９．已知向量)sin,sin(　　　　BAm,)cos,cos(　　　　ABn,Cnm2sin　，且A、B、C分别为ABC的三边a、b、c所对的角，(1)求角C的大小；(2)若CBAsin,sin,sin成等差数列，且18)(ACABCA，求c边的长及△ABC的面积。２０．已知不等式x2－logax0，当x∈0，12时恒成立，求实数a的取值范围．２１.已知ABC中，点A、B的坐标分别为(2,0),(2,0)B，点C在x轴上方。（1）若点C坐标为(2,1)，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；（2）过点P（m，0）作倾角为34的直线l交（1）中曲线于M、N两点，若点Q（1，0）恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值。BBACDCAB９．x＋3y－15＝0１０．6１１。20１２．240１３．[0,1)１４.15１５．①③1６．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数之和为5的概率；(2)两数中至少有一个奇数的概率；(3)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15内部的概率．１６。解将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件．(1)记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件，所以P(A)＝436＝19.答两数之和为5的概率为19.(2)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，所以P(B)＝1－936＝34.答两数中至少有一个奇数的概率为34.(3)基本事件总数为36，点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部记为事件C，则C包含8个事件，所以P(C)＝836＝29.答点(x，y)在圆x2＋y2＝15内部的概率为29.1７．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝BC＝1，A1B＝2.(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；(2)如果D为AB中点，求证：BC1∥平面A1CD.1７.证明(1)因为∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝1，所以△A1AC为等边三角形.所以A1C＝1.因为BC＝1，A1B＝2，所以A1C2＋BC2＝A1B2.所以∠A1CB＝90°，即A1C⊥BC.因为BC⊥A1A，BC⊥A1C，AA1∩A1C＝A1，所以BC⊥平面ACC1A1.因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面ACC1A1.(2)连接AC1交A1C于点O，连接OD.因为ACC1A1为平行四边形，所以O为AC1的中点.因为D为AB的中点，所以OD∥BC1.因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.1８．已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列nS1的前n项和为nT，求证：8361nT．1８．（Ⅰ）解：依题意，有22227570aaaS，即)21)(()6(7010511211dadadada…2分解得a1=6，d=4．……………………………………………………………………4分∴数列na的通项公式为42nan（*nN）．……………………………5分（Ⅱ）证明：由（1）可得224nSnn．………………………………………6分∴21112422nSnnnn11142nn．………………………………7分∴nnnSSSSST1111113211111111111111114342443541142nnnn…………8分111114212nn31118412nn……………………………9分∵311108412nTnn，∴38nT．………………………………10分∵11110413nnTTnn，所以数列nT是递增数列．∴116nTT．∴1368nT．……………………………………………………………………12分1９．已知向量)sin,sin(　　　　BAm,)cos,cos(　　　　ABn,Cnm2sin　，且A、B、C分别为ABC的三边a、b、c所对的角，(1)求角C的大小；(2)若CBAsin,sin,sin成等差数列，且18)(ACABCA，求c边的长及△ABC的面积。1９、解：（1）sincossincossin()sinmnABBAABC，又∵sin2mnC，∴sinsin22sincosCCCC∴1cos,2C又0,C∴.3C（2）由已知得sinsin2sinABC，由正弦定理可知2abc,又∵()18CAABAC，∴18CACB，36ab即由余弦定理得：2222cos36cababC∴6.c∴39233621sin21CabSABC２０．已知不等式x2－logax0，当x∈0，12时恒成立，求实数a的取值范围．２０．解由x2－logax0，得x2logax.设f(x)＝x2，g(x)＝logax.由题意知，当x∈0，12时，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方，，可知0a1，f12≤g12，即0a1，122≤loga12，解得116≤a1.∴实数a的取值范围是116，1.２１.已知ABC中，点A、B的坐标分别为(2,0),(2,0)B，点C在x轴上方。（1）若点C坐标为(2,1)，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；（2）过点P（m，0）作倾角为34的直线l交（1）中曲线于M、N两点，若点Q（1，0）恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值。２１.【解析】（Ⅰ）设椭圆方程为22221xyab，c=2,2a=4ACBC,b=2椭圆方程为22142xy5分即212121(1)()20mmxxxx，22193450,3mmm解得．