数值分析-李庆扬

数值分析数值分析数值分析NumericalAnalysis计算的目的不在于数据，而在于洞察事物。－－理查德·哈明Thepurposeofcomputingisinsight，notnumbers.－－RichardWesleyHamming()数值分析数值分析第一章引论一、数值分析的概念、地位和特点§1数值分析的研究对象（课程简介）数值分析是研究各种数学问题的数值方法的设计、分析、有关的数学理论和具体实现的一门学科。实际上就是介绍用计算机解决数学问题的计算方法及其理论。这门课程又称为(数值)计算方法、科学与工程计算等。1.数值分析的概念数值分析数值分析数值分析输入复杂问题或运算......),(,)(,,ln,,xfdxddxxfbxAxaxbax计算机近似解利用计算机高速的简单运算去实现各种复杂的功能数值分析数值分析科学计算的核心内容是以现代化的计算机及数学软件（Matlab,Mathematica,Maple,MathCADetc.）为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。现代科学的三个组成部分:科学理论,科学实验,科学计算2.数值分析的地位促使一些边缘学科的相继出现：计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学,计算地质学,计算经济学,等等数值分析数值分析实际问题建立数学模型数值分析提出算法程序设计编程上机计算分析结果并对实际问题进行解释说明在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机直接求解，还必须寻找用计算机计算这些数学模型的数值方法，即将数学模型中的连续变量离散化，转化成一系列相应的算法步骤，编制出正确的计算程序，再上机计算得出满意的数值结果。数值分析数值分析总的来看，数值分析这门课具有以下几个特点：(1)数值分析是一门与计算机应用密切结合的实用性很强的学科；(2)数值分析这门课程即要讨论连续变量问题又要讨论离散变量问题，关心的是数值结果；(3)数值分析这门课程已成为近代数学的一个重要分支，专门研究数学问题的数值解法。3.数值分析的特点数值分析数值分析二、数值分析的研究内容和研究方法方法◆插值问题（Ch2）◆线性代数方程组的数值解法(Ch5,Ch6)◆非线性方程组的数值解法(Ch7)◆数值积分与数值微分(Ch4)◆常微分方程的数值解法(Ch9)◆函数逼近(Ch3)◆代数特征值问题(Ch8)研究内容数值分析数值分析研究方法:1.数值方法的特点（支撑理论）2.如何评价数值方法的好坏（评价标准）递推性(迭代),近似代替,离散化,外推法本课程的基本目的，是使大家通过学习和实验，初步建立并理解数值计算，特别是科学与工程计算的基本概念，为进一步深入的学习打下坚实基础。误差、稳定性、收敛性、计算量、存贮量和自适应性数值分析数值分析用到的编程语言:MatlabMatlab几个特点：1Matlab处理矩阵——容易2Matlab绘图——轻松3Matlab编程——简洁4Matlab具有丰富的工具箱内容多！任务重！难度大！数值分析数值分析考试评分：平时作业+考勤+程序占总成绩的30%，期末考试占总成绩的70%，闭卷考试。三、基本要求作业要求：每周有课外练习，两周交一次作业，完成1个综合程序课题设计。数值分析数值分析实际问题建立数学模型确定数值计算方法编制程序上机算出结果§2数值计算的误差2.1误差的来源与分类用计算机解决科学计算问题时，需要经历以下几个环节：数值结果是指在选择某种数值方法之后，编制程序正确，输入初始数据正确的情形下所获得的结果。实际问题的精确解与用计算机计算出来的数值结果之间就有差异，这种差异在数学上称为误差。数值分析数值分析模型误差/*ModelingError*/——从实际问题中抽象出数学模型时产生的误差观测误差/*MeasurementError*/——通过测量得到模型中参数的值导致输入数据的误差方法误差(截断误差/*TruncationError*/)——近似求解时产生的误差舍入误差/*RoundoffError*/——由于计算机字长有限而在数值运算的每一步所产生的误差数值分析数值分析dxex102近似计算:例大家一起猜？dxe2x1011/e解法之一：将作Taylor展开后再积分2xe91!4171!3151!21311)!4!3!21(10864210dxxxxxdxe2xS4R4/*Remainder*/,104Sdxe2x取则111!5191!414R称为截断误差/*TruncationError*/005091!414.R这里7430024010333014211013114....S0010200050..|舍入误差/*RoundoffError*/|006000100050102...dxe-x的总体误差计算=0.747……由截去部分/*excludedterms*/引起由留下部分/*includedterms*/引起数值分析数值分析设是某实数的精确值,是它的一个近似值，则称为近似值的绝对误差，简称误差.2.2误差与有效数字定义2.1绝对误差、相对误差AxxAxxAx定义2.2绝对误差界、相对误差界AAxx若，则称为绝对误差界，简称误差界AAAx称为相对误差界,记为.rAxxx称为的相对误差,常用表示.AxAAxxx数值分析数值分析定义2.3有效数字/*significantdigits*/用科学计数法，记（其中）.若（即的截取按四舍五入规则），则称为有n位有效数字，精确到。12100kAnx.aaa01a||0510knAxx.naAx10kn3141592653589793231416.;*.例：问：有几位有效数字？请证明你的结论.*14150314161005100510π*.,|ππ|..*证明：有5位有效数字，精确到小数点后第4位。注：0.2300有4位有效数字，而0.0023只有2位有效。12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字.数字末尾的0不可随意省去！数值分析数值分析例:设x1=1.73,x2=1.7321,x3=1.7320是其近似值,问它们分别有几位有效数字?...7320508.13x211130.00212:10ex解422130.00005102ex3331021000051.03xe3位5位4位1210.100,0,1,...,9)pnixaaanxna若近似值的绝对误差限不超过第位的半个单位，则数有位有效数字.(a结论:数值分析数值分析定理2.1有效数字与相对误差的关系有效数字相对误差限12111051010*010201102knnrknnε*.εx*.aaa.aa已知x*有n位有效数字，则其相对误差限为相对误差限有效数字1121111110|*|*|*|0102(1)10(1)1005102(1)nkrnkknxxεx.aaaa.a1110)1(21*nraε已知x*的相对误差限可写为则可见x*至少有n位有效数字。数值分析数值分析2.3求函数值和算术运算的误差估计的近似值为，设多元函数nnnxxxxxxxxxfA,,,,,,),,,(212121，的近似值则),,,(:21nxxxfAAA初始数据引起计算函数值的误差nxxx,,,21函数值A*的绝对误差11((,,),,)nnAAffxxxx考察,),,,(21展开式的在点Taylorxxxxn(1,2,,)iixxin设都很小；或)()()(1jnjjxexxfAe.)()()(1jnjjxexxfAe略去高阶项：11((,,),,)nnAAffxxxx1()()njjjjfxxxx数值分析数值分析浮点数：36.83=0.3683×102=0.03683×103这种允许小数点位置浮动的表示法称为数的浮点形式。机器数x的二进制浮点形式为:2.4计算机的浮点数表示和舍入误差计算机所能表示的数系不是一个连续统而是一个特殊的离散集合（部分有理数），此集合的数称为机器数.尾数阶1220.ktx12({0,1})sjk其中，阶的位数数值分析数值分析§3病态问题、数值稳定性与避免误差危害问题：对于y=f(x)，若用x*取代x，将对y产生什么影响？3.1病态问题与条件数()()(*)|()|(*)(*)reyfxfxeyfxfx()(*)**()()*()()()()rfxfxxxxxxfxxxfxxxxfxexfxxfx条件数/*conditionnumber*/条件数很大时，初始数据的微小误差可能引起结果A的很大误差.数值分析数值分析对数学问题而言，如果输入数据有微小扰动，引起输出数据（即数学问题的解）有很大扰动，则称数学问题是病态问题，否则称为良态问题。28)33(,34.0|333100|||fx变化不大2100()11503fxxxx求在例：处的值10050()5.639f解：,33,xxxx有误差若却很大的误差而4.22|6.528||)()(|)3100(xfxxff数值分析数值分析dxxxxnn10155?例1的近似值。时，求积分1058,,1,0dxxxynnn解15nnyy0y,516.0541,083.0531,05.0521,09.05134231201yyyyyyyyn1.511nnyny)3(182.0位留保3216….51511nnyny改用：;017.0)1(9109yyy选初值：020.00)2(910yy,025.05351,021.05401,019.05451768798yyyyyy失之毫厘,差之千里！5ln6ln510xdx原因——误差的传播与积累,043.05201,034.05251,028.05301435465yyyyyy,182.0551,088.05101,058.05151102132yyyyyy3.2数值方法的稳定性数值分析数值分析......210110,,,n,dxexeIxnn例：计算11nnInI公式一：注意此公式精确成立632120560111100.edxeeIx记为*0I80001050.IIE则初始误差111111110010nI)e(ndxexeIdxexennnn391414231519594249414122764807131632896000121030592000111088128000101............367879440111415*13*14*12*13*11*12*10*11*9*10*0*1.II.II.II.II.II.II.II????!!!Whathappened?!数值分析数值分析考察第n步的误差nE|)1()1(|||||*11*nnnnnnInIIIE||!01En||Enn我们有责任改变。造成这种情况的是不稳定的算法/*unstablealgorithm*/迅速积累，误差呈递增。可见初始的小扰动801050||.E)1(1111nnnnInIInI公式注意此公式与公式一在理论上等价。方法：先估计一个IN,再反推要求的In(nN)。11)1(1NINeNN