三角形全等证明专题2(截长补短法)

全等三角形应用专题2南宁市25中林成山2016年11月17日教学目标•理解截长补短法构造全等三角形的方法•会应用截长补短法构造全等三角形并进行相关证明知识点拨•应用全等三角形性质：对应边相等、对应角相等，来证明线段相等、角相等以及线段和差关系时，证三角形全等是最常用的方法之一，但在一些情况下，需要通过添加辅助线来构造全等三角形，“截长补短”法是一种有效的构造全等三角形的方法。•“截长”是在较长的线段上截取一线段等于较短的一条线段，“补短”是将较短的一条线段延长与较长的线段相等，从而构造出全等三角形。典型例题•如图1，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，点P、Q分别在BC，AC上，AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的平分线，求证：AB+BP=AC•(问：AB+BP=AQ+BQ是否成立？）ABCPQ•如图1，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，点P、Q分•别在BC，AC上，AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的平分线，求证：AB+BP=AC•证法一：延长AB至点D，使得AD=AC，连接PD•∵AD=AC，∠DAP=∠CAP，AP=AP•∴△DAP≌△CAP(SAS）•∴∠D=∠C=40°•∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°•∴∠ABC=180°-60°-40°=80°•∵∠ABC=∠D+∠BPD•∴∠BPD=80°-40°=40°•∴∠D=∠BPD•∴BP=BD•∴AB+BP=AB+BD=AD=ACABCPQD•如图1，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，点P、Q分别在BC，AC上，AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的平分线，求证：AB+BP=AC•证法二：在AC上截取AD=AB，连接PD•∵AD=AB，∠DAP=∠BAP，AP=AP•∴△DAP≌△BAP(SAS）•∴∠ADP=∠ABC,BP=DP•∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°•∴∠ABC=180°-60°-40°=80°•∴∠ADP=∠ABC=80°•∵∠ADP=∠C+∠CPD•∴∠CPD=80°-40°=40°•∴∠C=∠CPD•∴DC=DP=BP•∴AB+BP=AD+DC=ACABCPQD巩固练习•如图2，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F。当点E是BC上任意一点（B，C除外）时，求证AE=EF。ABECF思维拓展•如果上题中的点E在BC的延长线上时，结论成立吗？请在备用图中画出图形并证明。ABC备战中考•（09南宁）如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，AE⊥EF，延长EF交正方形外角平分线CP于点P，试判断AE与EP的大小关系，并说明理由。图3BCEDAFP课堂小结•三角形全等是证明线段和角相等的常用方法•当需要证明的线段和角没有全等三角形的时候可以通过“截长补短”方法构造全等的三角形，从而通过三角形全等来进行证明•教学反思