高中数学【排列组合】

§10.2排列、组合及其应用要点梳理1.排列（1）排列的定义：从n个的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列.（2）排列数的定义：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的的个数叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用A表示.不同顺序所有不同排列mn基础知识自主学习（3）排列数公式：A=.（4）全排列：n个不同的元素全部取出的，叫做n个不同元素的一个全排列，A=n·(n-1）·（n-2）·…·2·1=.于是排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定0！=.2.组合（1）组合的定义：从n个的元素中取出m（m≤n）个元素叫做从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的一个组合.nnmnn(n-1)(n-2)…(n-m+1)排列n！1)!(!Amnnmn不同合成一组（2）组合数的定义：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的的个数，叫做从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的组合数，用C表示.（3）组合数的计算公式：=，由于0！=，所以C=.（4）组合数的性质：①C=；②C=+.所有不同组合mnmmmnmnAAC)!(!!mnmn110n12)1()1()2)(1(mmmnnnnmnmn1mnnCmnC1Cmn基础自测1.从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（）A.9个B.24个C.36个D.54个解析选出符合题意的三个数有=9种方法，每三个数可排成=6个三位数，∴共有9×6=54个符合题意的三位数.D2313CC33A2.已知{1，2}X{1,2,3,4,5}，满足这个关系式的集合X共有（）A.2个B.6个C.4个D.8个解析由题意知集合X中的元素1，2必取，另外，从3，4，5中可以不取，取1个，取2个，取3个.故有=8（个）.D33231303CCCC3.某中学要从4名男生和3名女生中选派4人担任奥运会志愿者，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有（）A.25种B.35种C.840种D.820种解析若选男生甲，则有=10种不同的选法；同理，选女生乙也有10种不同的选法；两人都不选有=5种不同的选法，所以共有25种不同的选派方案.A45C35C4.（2009·湖南理，5）从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A.85B.56C.49D.28解析丙不入选的选法有=84（种）,甲乙丙都不入选的选法有=35（种）.所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法有84-35=49种.C123789C39123567C375.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A.36种B.48种C.72种D.96种解析恰有两个空位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空.从而共·=72种排法.C33A24A题型一排列问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻；（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.题型分类深度剖析思维启迪无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式即可.但要看清是全排列还是选排列；有限制条件的排列问题，常见类型是“在与不在”、“邻与不邻”问题，可分别用相应方法.解（1）从7个人中选5个人来排列，有=7×6×5×4×3=2520种.（2）分两步完成，先选3人排在前排，有种方法，余下4人排在后排，有种方法，故共有·=5040种.事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件.37A44A37A44A57A（3）（优先法）方法一甲为特殊元素.先排甲，有5种方法；其余6人有种方法，故共有5×=3600种.方法二排头与排尾为特殊位置.排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列有种方法，共有×=3600种.（4）（捆绑法）将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有种方法，再将4名女生进行全排列,也有种方法,故共有=576种.66A66A26A55A26A55A44A4444AA44A（5）（插空法）男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有种方法，故共有×=1440种.（6）把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人有种方法，再从剩下的5人中选3人排到中间，有种方法，最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人全排列，有种方法，故共有··=720种.44A35A44A35A22A35A33A22A35A33A探究提高排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”.对于这类问题在分析时，主要按“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子.演示文稿后等卷板机、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：（1）奇数；（2）偶数；（3）大于3125的数.解（1）先排个位，再排首位，共有··=144（个）.（2）以0结尾的四位偶数有个，以2或4结尾的四位偶数有··个，则共有··=156（个）.（3）要比3125大，4、5作千位时有2个，3作千位，2、4、5作百位时有3个，3作千位，1作百位时有2个，所以共有2=162(个).13A14A24A35A12A14A24A1235AA14A24A35A24A13A132435A2A3A题型二组合问题【例2】（12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.思维启迪（1）分步.（2）可分类也可用间接法.（3）可分类也可用间接法.（4）分类.解题示范解（1）第一步：选3名男运动员，有种选法.第二步：选2名女运动员，有种选法.共有·=120种选法.[3分]（2）方法一至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为=246种.[6分]36C24C36C24C1644263436244614CCCCCCCC方法二“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.从10人中任选5人有种选法，其中全是男运动员的选法有种.所以“至少有1名女运动员”的选法为=246种.[6分]（3）方法一可分类求解：“只有男队长”的选法为；“只有女队长”的选法为；“男、女队长都入选”的选法为；所以共有2+=196种选法.[9分]510C56C56510CC48C48C38C38C48C方法二间接法：从10人中任选5人有种选法.其中不选队长的方法有种.所以“至少1名队长”的选法为-=196种.[9分]（4）当有女队长时，其他人任意选，共有种选法.不选女队长时，必选男队长，共有种选法.其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时的选法共有-种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有+-=191种.[12分]510C510C58C58C49C48C45C48C45C49C48C45C探究提高解组合题时，常遇到“至多”、“至少”问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求解以减少运算量.当限制条件较多时，要恰当分类，逐一满足.知能迁移2在7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？（1）A，B必须当选；（2）A，B必不当选；（3）A，B不全当选；（4）至少有2名女生当选；（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.解（1）由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，∴有=120种.（2）从除去的A，B两人的10人中选5人即可，∴有=252种.（3）全部选法有种，A，B全当选有种，故A，B不全当选有-=672种.310C510C512C310C512C310C（4）注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行，∴有=596种选法.（5）分三步进行：第一步：选1男1女分别担任两个职务为·；第二步：选2男1女补足5人有·种；第三步：为这3人安排工作有.由分步计数原理共有=12600种选法.574715512CCCC17C15C26C14C33A3314261517ACCCC题型三排列、组合的综合应用【例3】4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空.解（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有×=144种.思维启迪22A132414CCC（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有种方法.4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有种方法；第二类有序均匀分组有种方法.故共有（）=84种.24C221134ACC22222224AACC24C22222224221134AACCACC探究提高排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出（组合）或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.知能迁移3已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试,直至找出所有4件次品为止.（1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？解（1）先排前4次测试，只能取正品，有种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有·=种测法，再排余下4件的测试位置，有种测法.所以共有不同排法··=103680种.（2）第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现.所以不同测试方法共有·（·）=576种.46A24C22A24A44A46A24A44A14A16C33C44A方法与技巧1.解排列、组合混合题一般是先选元素、后排元素、或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本原理作最后处理.2.对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏.3.对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析答案的形式，错误的答案都是犯有重复或遗漏的错误.思想方法感悟提高4.对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.失误与防范要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不要重复计数.一、选择题1.（2009·辽宁理，5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A.70种B.80种C.100种D.140种解析对此问题可分类：男2女1和男1女2，故总共有=70种不