一阶线性微分方程的概念与解的结构

一、一阶线性微分方程的概念与解的结构第六章微分方程初步第三节一阶线性微分方程二、伯努利方程定义一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y)=0.一、一阶线性微分方程的概念与解的结构一、一阶线性微分方程一阶微分方程的下列形式)()(xQyxPy称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程.其中P(x)、Q(x)都是自变量的已知连续函数.左边的每项中仅含y或y，且均为y或y的一次项.①它的特点是：右边是已知函数，称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程，0，则称方程①为一阶线性非齐次微分方程，简称线性非齐次方程.通常方程②称为方程①所对应的线性齐次方程.,0)(yxPy②若Q(x)若Q(x)0，则方程成为1.一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程0)(yxPy是可分离变量方程.,d)(dxxPyy两边积分，得,lnd)(lnCxxPy所以，方程的通解公式为.ed)(xxPCy分离变量，得例6求方程y+(sinx)y=0的通解.解所给方程是一阶线性齐次方程，且P(x)=sinx，,cosdsind)(xxxxxP由通解公式即可得到方程的通解为.ecosxCy则例7求方程(y-2xy)dx+x2dy=0满足初始条件y|x=1=e的特解.解将所给方程化为如下形式：,021dd2yxxxy这是一个线性齐次方程，,21)(2xxxP且则,1lnd12d)(22xxxxxxxP由通解公式得该方程的通解,e12xCxy将初始条件y(1)=e代入通解，.e12xxy得C=1.故所求特解为2.一阶线性非齐次方程的解法设y=C(x)y1是非齐次方程的解，将y=C(x)y1(其中y1是齐次方程y+P(x)y=0的解)及其导数y=C(x)y1+C(x)y1代入方程).()(xQyxPy则有),()()()()(111xQyxCxPyxCyxC即),())()(()(111xQyxPyxCyxC因y1是对应的线性齐次方程的解，因此有,0)(11yxPy故),()(1xQyxC其中y1与Q(x)均为已知函数，,d)()(1CxyxQxC代入y=C(x)y1中，得.d)(111xyxQyCyy容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程),()(xQyxPy所以可以通过积分求得且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程)()(xQyxPy的通解在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为,ed)(1xxPy于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：.de)(ed)(d)(xxQCyxxPxxP上述讨论中所用的方法，是将常数C变为待定函数C(x)，再通过确定C(x)而求得方程解的方法，称为常数变易法.例8求方程2y-y=ex的通解.解法一使用常数变易法求解．将所给的方程改写成下列形式：,e2121xyy这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程的通解为,e2xCy将y及y代入该方程，得设所给线性非齐次方程的解为,e)(2xxCy,e21e)(2xxxC于是，有,ede21)(22CxxCxx因此，原方程的通解为.eee)(22xxxCxCy解法二运用通解公式求解．将所给的方程改写成下列形式：,e2121xyy,e21)(,21)(xxQxP则则,2d21d)(xxxxP,edee21de)(22d)(xxxxxPxxxQ代入通解公式，得原方程的通解为.eee)e(222xxxxCCy,ee2d)(xxxP例9求解初值问题．.1)(,cosyxyyx解使用常数变易法求解．将所给的方程改写成下列形式：,cos11xxyxy则与其对应的线性齐次方程01yxy的通解为.xCy设所给线性非齐次方程的通解为.1)(xxCy于是，有.sindcos)(CxxxxC将y及y代入该方程，得,cos11)(xxxxC因此，原方程的通解为.sin11)(sinxxxCxCxy将初始条件y()=1代入，得C=，).sin(1xxy所以，所求的特解，即初值问题的解为例10求方程y2dx+(x-2xy-y2)dy=0的通解.解将原方程改写为,121dd2xyyyx这是一个关于未知函数x=x(y)的一阶线性非齐次方程，,21)(2yyyP其中它的自由项Q(y)=1.代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有yCxyyyyyydeed21d2122),e1()e(e12112yyyCyCy即所求通解为).e1(12yCyx二、伯努利方程称为伯努利方程。当n=0或1时，该方程是线性方程；当n≠0或1时，该方程不是线性的，但是通过变量替换，可以把它化为线性的。方程nyxQyxpdxdy)()(如以yn除以方程两边，得则),()(1xQyxpdxdyynnnyz1令dxdyyndxdzn)1()()1()()1(xQnzxpndxdz化简为例求方程2)(lnyxaxydxdy的通解.