正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用作者：袁亮（西安财经大学）摘要:本文从正定矩阵的的定义出发，给出了正定矩阵的若干判定定理及推论，并给出了正定矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用.关键词:正定矩阵，判定，不等式，应用Abstract:Inthispaper,wemainlyintroducesomedecisiontheoremandinferencebasedonthedefinitionofpositivedefinitematricesandgivetheapplicationofpositivedefinitematricesintheprovingonCauchy、Holder、andMinkowskiinequality.Keywords:positivedefinitematrix,determine,inequality,application目录1引言…………………………………………………………………42正定矩阵的判定方法………………………………………………42.1定义判定…………………………………………………………52.2定理判定…………………………………………………………62.3正定矩阵的一些重要推论………………………………………113正定矩阵在三个不等式证明中的应用…………………………153.1证明柯西不等式………………………………………………153.2证明Holder不等式……………………………………………163.3证明Minkowski不等式…………………………………………18结束语…………………………………………………………………21参考文献………………………………………………………………221引言代数学是数学中的一个重要的分支，而正定矩阵又是高等代数中的重要部分．特别是正定矩阵部分的应用很广泛，n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中，占有十分重要的地位．它在物理学、概率论以及优化控制理论2中都得到了重要的应用，而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法，并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用.正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵，若对任意nRx，且0x，都有0MxxT成立2.本文从正定矩阵的定义，给出正定矩阵的判定定理，并给出正定矩阵的重要推论，这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用，并在矩阵对策，经济均衡，障碍问题3的研究中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用，其一是用正定矩阵证明著名的柯西不等式，其二是用正定矩阵的性质给出Holder不等式的一个新的证明，其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式，这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘.2正定矩阵的判定方法2.1定义判定设A=ija,(其中ijaC,i,j=1,2,…，n),A的共轭转置记为A=jia定义11对于实对称矩阵A=ija,（其中ijaR,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有TXAX0,则称A是正定矩阵.定义21对于复对称矩阵A=ija,（其中ijaC,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有XAX0,则称A是正定矩阵．例1设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，TB为B的转置矩阵，试证ABBT为正定矩阵的充要条件是B的秩r（B）=n.证[必要性]设ABBT为正定矩阵，则对任意的实n维列向量0x，有0xABBxTT，即0BxABxT.于是0Bx，因此，0Bx只有零解，从而nBr.[充分性]因ABBBABABBTTTTT,即ABBT为实对称矩阵.若秩nBr，则线性方程组0Bx只有零解，从而对任意实n维向量0x有0Bx.又A为正定矩阵，所以对于0Bx，有0ABxBxT,于是当0x时，0xABBxTT.故ABBT为正定矩阵.例23设A是n阶正定矩阵，B是n×m实矩阵，B的秩为m，证明：B'AB是正定矩阵.证因为（B'AB）'=B'A'B=B'AB,故B'AB是实对称矩阵，其次，由于秩B=m，m≤n.故BX=0只有零解，因此，若任取非零实列向量X必有BX≠0，因A是正定矩阵，故对任取的非零实列向量X，必有X'（B'AB）X=(BX)'A(BX)0.因此B'AB是正定矩阵.注意以上两个例子，是运用正定矩阵的定义来证明的.还提供了利用实矩阵来构造正定矩阵的方法.具体是，若A不是方阵，也不对称时，A'A，AA'是正定矩阵，若A是方阵，但不对称，则A+A'是正定矩阵，同时，在证明的过程中，我们也看到了齐次线性方程组解的理论在正定二次型的理论中的应用.2.2定理判定定理11n阶实对称矩阵A正定，当且仅当实二次f(1x,2x,…,nx)=TXAX的正惯性指数为n．证设实二次型f(1x,2x,…,nx)经过非退化线性变换得1a21x+2a22x+…+na2nx.（2.1）由于非退化实线性变换保持正定性不变，那么A正定当且仅当（2.1）是正定的，由定义3知（3.1）正定当且仅当ia0(ni,,2,1)，因此，正惯性指数为n..定理21实对角矩阵nddd21正定的充分必要条件是id0，(ni,,2,1).证由定理3.1得，实对称矩阵正定当且仅当二次型f(1x,2x,…，nx)=1d21x+2d22x+…+nd2nx.的正惯性指数为n，因此，id0（i=1,2,…,n,）．例3设A为n阶实对称矩阵，证明：秩（A）=n的充分必要条件为存在一个n阶实矩阵B，使ABABT是正定矩阵.证[充分性]（反证法）反设nAr，则0A.于是0是A的特征值，假设相应的特征向量为x，即00xAx,所以0TTAx.所以0AxBxABxxxABABxTTTTT，和ABABT是正定矩阵矛盾.[必要性]因为nAr，所以A的特征值n,,,21全不为0.取B=A，则22AAAAAABABT.它的特征值为222212,2,2n全部为正，所以ABABT是正定矩阵.定义3在实二次型nxxxf,,,21的规范形中，正平方项的个数p称为nxxxf,,,21的正惯性指数，负平方项的个数pr称为nxxxf,,21的负惯性指数，它们的差rpprp2称为nxxxf,,,21的符号差.定理31实对称矩阵A是正定的充要条件矩阵A的秩与符号差n．定理41实对称矩阵A是正定的充要条件是二次型f(1x,2x,…nx)=TXAX的系数矩阵A的所有特征值都是正数，即大于零.证由文献[1]知，实对称矩阵A可对角化为naaa21其中1a，,,2ana恰好是A的特征值，则二次型TXAX的标准形为：1a21x+2a22x+…+na2nx,而非退化实线性变换保持正定性不变，由f(1x,2x,…，nx)=1a21x+2a22x+…+na2nx.正定得ia0(ni,,2,1)．例4设A为实对称矩阵，则当t充分大时，A+tE为正定矩阵.证设A的特征值为为实数in,...,,21，取init1max，则tEA的特征值niti,...,2,1全部大于零，因此当init1max时，tEA是正定矩阵.例5设A为n阶实对称矩阵，且035323EAAA.证明：A正定.证设是A的任一特征值，对应特征向量为0x，即xAx，代入已知等式035323EAAA,有03533532323xxEAAA，因为0x，故满足.035323得i211或，因A为实对称矩阵，其特征值一定为实数，故只有1，即A的全部特征值就是01，这就证明A是正定矩阵.定理51实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同．证实正定二次型的规范形为21x+22x+2nx.(2.2.1)而（2.2.1）的系数矩阵为单位矩阵，非退化实线性变换保持正定性不变，而且新二次型的系数矩阵与原二次型的系数矩阵是合同的，故实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同．定理62实对称矩阵A是正定的充要条件是存在可逆矩阵C使得A=TCC．证设A为一正定矩阵，当切仅当A与单位矩阵合同，因此，存在可逆矩阵C，使得A=TCEC=TCC.定理71实对称矩阵A正定的充分必要条件是矩阵A的顺序主子式全大于零．证[必要性]实对称矩阵A正定，则二次型f(1x,2x,…,nx)=TXAX=ninjjiijxxa11是正定的，对于每一个k,1kn,令kf（1x,2x,…，kx）=kikjjiijxxa11，我们来证kf是一个k元正定二次型，对于一组不全为零的数1c，2c，…，kc，有kf（1c，2c，…，kc）=kf（1c，2c，…，kc，0，…,0）0,因此，kf是一个k元正定二次型.由充要条件2得kf的矩阵行列式kkkkaaaa11110,（k=1,2,…,n）.[充分性]对n作数学归纳法当n=1时，f(1x)=11a21x,由条件11a0，显然f(1x)是正定的．假定此论断对n-1元二次型成立，下证n元的情形.令1A=1,12,11,11,222121,11211nnnnnnaaaaaaaaa，X=nnnnaaa,121，则A=nnTaXXA1.由A的顺序主子式全大于零可知1A的顺序主子式全大于零，由假设1A是正定矩阵，有n-1阶可逆矩阵G，使得TG1AG=1nE,令1C=100G,则TC1A1C=100TGnnTaXXA1100G=nnTTnaGXXGE1.令2C=101XGETn,则TC2TC1A1C2C=101GXETnnnTTnaGXXGE1101XGETn=XGGXaETTnnn001.令C=1C2C,a=nna-TXGTGX,则有TCAC=a11.两边取行列式得2CA=a,由条件A0知a0.由于a11=a1111111a111.因此，A与单位矩阵合同.由定理5得，A是正定矩阵．定理82n阶实对称阵A为正定的充要条件是存在对称正定阵B，使A=B2.证[必要性]存在正交阵Q，使A=QQT=QQT=QQTQQT6=B2,其中记B=QQT,以及),...2,1,).(,...,,(21nidiagin,为A的特征值.[充分性]对任给0,02XBXAXXXTT，因为B正定，所以A正定.定理93A是正定矩阵的充要条件是：存在非退化的上(下)三角矩阵Q，使A=QTQ.证不妨以下三角矩阵为例来证明，上三角矩阵的情况同理可证.[必要性]若A=(aij)是n阶正定矩阵，则A的任意k阶主子式大于零．特别的有annO．将A的第n列乘适当的倍数，分别加到第1,2……n—l列上，再施同样的行变化，可使A变成为nnaA001,的形式．即存在非退化的下三角矩阵T1，使nnTaAATT00111,再令.100),1,1,...,1,1(121122ATATTTadiagTTTnn故因为A正定，故A1作为A的n-1阶顺序主子式，也是正定的.对A1做同样处理，最终可得到nTTTTERRTAT