02-降次-一元二次方程的解法

主讲：蓝豆降次——一元二次方程的解法中小学数学精品视频课程xuetong.com直接开平方法解一元二次方程中小学数学精品视频课程xuetong.com直接开平方法解一元二次方程如果方程能化成𝑥2=𝑝或𝑚𝑥+𝑛2=𝑝𝑝≥0的形式，那么可得𝑥=±𝑝或𝑚𝑥+𝑛=±𝑝【知识点】直接开平方法解一元二次方程提示：当𝑝0时，方程无实数根中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】解方程3𝑥−12=6【答案】𝑥1=1+63,𝑥2=1−63直接开平方法解一元二次方程中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】解方程𝑥+2𝑥−2=−2【答案】𝑥1=𝑥2=0直接开平方法解一元二次方程中小学数学精品视频课程xuetong.com配方法解一元二次方程中小学数学精品视频课程xuetong.com配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解【知识点】配方法解一元二次方程中小学数学精品视频课程xuetong.com用配方法解一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0𝑎≠0的一般步骤：（1）移项：将常数项移到方程的右边，即𝑎𝑥2+𝑏𝑥=−𝑐（2）把二次项系数化为1：方程的左右两边同时除以二次项系数，即𝑥2+𝑏𝑎𝑥=−𝑐𝑎（3）配方：方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化为𝑥+𝑚2=𝑛的形式，即𝑥2+𝑏𝑎𝑥+𝑏2𝑎2=−𝑐𝑎+𝑏2𝑎2，整理得𝑥+𝑏2𝑎2=𝑏2−4𝑎𝑐4𝑎2（4）当𝑏2−4𝑎𝑐≥0时，用直接开平方法解变形后的方程【知识点】配方法解一元二次方程中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】用配方法解方程2𝑥2−𝑥−1=0【答案】𝑥1=1,𝑥2=−12配方法解一元二次方程中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】用配方法解方程𝑥2+4𝑥+4=0【答案】𝑥1=𝑥2=−2配方法解一元二次方程中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】用配方法解方程2𝑥2−3𝑥+2=0【答案】方程无实数根配方法解一元二次方程中小学数学精品视频课程xuetong.com一元二次方程根的判别式中小学数学精品视频课程xuetong.com将𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0𝑎≠0配方成𝑥+𝑏2𝑎2=𝑏2−4𝑎𝑐4𝑎2后，可以看出，只有当𝑏2−4𝑎𝑐≥0时，方程才有实数根，这样𝑏2−4𝑎𝑐的值就决定着一元二次方程根的情况.一般地，式子𝑏2−4𝑎𝑐叫做方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0𝑎≠0根的判别式，通常用希腊字母𝛥表示它，即𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐.【知识点】一元二次方程根的判别式中小学数学精品视频课程xuetong.com一元二次方程根的判别式【知识点】一元二次方程根的判别式𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐的符号方程根的情况𝛥0方程有两个不相等的实数根，即𝑥=−𝑏±𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎𝛥=0方程有两个相等的实数根，即𝑥1=𝑥2=−𝑏2𝑎𝛥0方程无实数根中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】不解方程，判断下列方程根的情况（1）𝑥2−3𝑥−2=0【答案】𝛥0，方程有两个不相等的实数根一元二次方程根的判别式中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】不解方程，判断下列方程根的情况（2）2𝑥2+3=0【答案】𝛥0，方程无实数根一元二次方程根的判别式中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】不解方程，判断下列方程根的情况（3）𝑚2−𝑚𝑥2−2𝑚−1𝑥+1=0（关于𝑥的方程）【答案】（1）方程为一元一次方程时，有唯一实数根（2）方程为二元一次方程时，𝛥0，方程有两个不相等的实数根一元二次方程根的判别式中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】当𝑚为何值时，关于𝑥的一元二次方程𝑥2−4𝑥+𝑚−12=0有两个相等的实数根？此时两个实数根是多少？【答案】𝑚=92，𝑥1=𝑥2=2一元二次方程根的判别式中小学数学精品视频课程xuetong.com公式法解一元二次方程中小学数学精品视频课程xuetong.com解一元二次方程时可以先将方程化为一般形式𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0𝑎≠0，当𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐≥0时，方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0𝑎≠0的实数根可写为𝑥=−𝑏±𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎的形式，这个式子叫做一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0𝑎≠0的求根公式.利用求根公式𝑥=−𝑏±𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎解一元二次方程的方法叫做公式法.【知识点】公式法解一元二次方程中小学数学精品视频课程xuetong.com一元二次方程求根公式的推导过程【知识点】公式法解一元二次方程中小学数学精品视频课程xuetong.com用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化为一般形式，确定𝑎,𝑏,𝑐的值（2）求出𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐的值（3）当𝑏2−4𝑎𝑐0时，方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0𝑎≠0有两个不相等的实数根，即𝑥1=−𝑏+𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎,𝑥2=−𝑏−𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎；当𝑏2−4𝑎𝑐=0时，方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0𝑎≠0有两个相等的实数根，即𝑥1=𝑥2=−𝑏2𝑎当𝑏2−4𝑎𝑐0时，方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0𝑎≠0无实数根【知识点】公式法解一元二次方程中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】用公式法解下列方程𝑥2−22𝑥+1=0【答案】𝑥1=2+1,𝑥2=2−1公式法解一元二次方程中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】用公式法解下列方程4𝑥2+4𝑥−1=−10−8𝑥【答案】𝑥1=𝑥2=−32公式法解一元二次方程中小学数学精品视频课程xuetong.com因式分解法解一元二次方程中小学数学精品视频课程xuetong.com因式分解法解一元二次方程通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.【知识点】因式分解法解一元二次方程中小学数学精品视频课程xuetong.com用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程的左边分解为两个一次式的乘积；（3）令每个一次式分别为零，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.【知识点】因式分解法解一元二次方程提示用因式分解法解一元二次方程的关键有两点：（1）要将方程的右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法.中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】用因式分解法解一元二次方程3𝑥2𝑥+1=4𝑥+2.【答案】𝑥1=−12,𝑥2=23因式分解法解一元二次方程中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】用因式分解法解一元二次方程3𝑥−22=43−𝑥2【答案】𝑥1=85,𝑥2=−4因式分解法解一元二次方程中小学数学精品视频课程xuetong.com一元二次方程根与系数的关系中小学数学精品视频课程xuetong.com若一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0𝑎≠0有实数根，设这两个实数根分别为𝑥1,𝑥2，由求根公式得𝑥=−𝑏±𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎𝑏2−4𝑎𝑐≥0即𝑥1=−𝑏+𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎,𝑥2=−𝑏−𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎.【知识点】一元二次方程根与系数的关系中小学数学精品视频课程xuetong.com探索一元二次方程根与系数的关系𝑥1=−𝑏+𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎,𝑥2=−𝑏−𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎.【知识点】一元二次方程根与系数的关系中小学数学精品视频课程xuetong.com𝒙𝟏+𝒙𝟐=−𝒃𝒂,𝒙𝟏𝒙𝟐=𝒄𝒂此结论称为一元二次方程根与系数的关系.例如：设一元二次方程3𝑥2−7𝑥+2=0的两个实数根为𝑥1,𝑥2，则有𝑥1+𝑥2=73,𝑥1𝑥2=23.【知识点】一元二次方程根与系数的关系中小学数学精品视频课程xuetong.com一元二次方程根与系数的关系两个重要推论：（1）以𝑥1,𝑥2为实数根的一元二次方程（二次项系数为1）的表达式是𝑥2−𝑥1+𝑥2𝑥+𝑥1𝑥2=0；（2）如果方程𝑥2+𝑚𝑥+𝑛=0的两个实数根是𝑥1,𝑥2，那么𝑥1+𝑥2=−𝑚,𝑥1𝑥2=𝑛.【知识点】一元二次方程根与系数的关系中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】已知关于𝑥的方程𝑘2𝑥2−2𝑘+1𝑥+1=0有两个实数根.（1）求𝑘的取值范围；（2）当𝑘=1时，设所给方程的两个实数根为𝑥1,𝑥2，求𝑥2𝑥1+𝑥1𝑥2的值.【答案】（1）𝑘≥−12,𝑘≠0（2）14一元二次方程根与系数的关系中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】已知一元二次方程𝑥2+3𝑥−1=0的两根是𝑥1,𝑥2，请利用根与系数的关系求（1）𝑥12+𝑥22；（2）1𝑥1+1𝑥2【答案】（1）11（2）3一元二次方程根与系数的关系中小学数学精品视频课程xuetong.comPracticemakesperfect!基础知识提前学熟能生巧！中小学数学精品视频课程xuetong.com