外文文献数学问题解决第二版几何P45-P54-代数P27-P28部分翻译

首都师范大学本科生外文文献翻译文献、资料名称MathematicsasProblemSolving文献、资料出处图书馆资源Springer电子图书库翻译部分页码：几何P45-P54,代数P27-P28目录几何....................................................................................................14.1轨迹.........................................................................................1问题.........................................................................................34.2对称性和其他变换................................................................3对称性.....................................................................................3位似.........................................................................................6问题.........................................................................................8代数....................................................................................................93.1等式与不等式的证明............................................................9附录：外文文献原文......................................................................101数学问题解决几何在这一章中，我们将使用以下常见的符号：AB是指线段AB的长度；是)(M指的角的度数；是)(ABCS指一个三角形ABC的面积.4.1轨迹我们从平面上常见的四种轨迹开始.4.1.给定点O和一个正实数r,则所有到点O的距离为r的点(记为P)的轨迹是一个以为O圆心、以为O半径的圆.（并证明之）4.2.到两个不同点A、B的距离相等的点的轨迹是线段AB的垂直平分线.（详见问题1.16）4.3.到两条给定的相交直线距离相等的点的轨迹是这两条相交直线所成角的互相垂直的两条角平分线.（证明之）设是F一个几何图形，P是一个点.过点P做F的两条切线在的夹角是，我们就说在点P以角看几何图形F4.4.给定线段AB和角，0.所有以角看AB的点P（即：APB）的轨迹是一种对称于AB而不包括两个端点A、B的双圆弧.解：我们先只考虑线段AB以上的半个平面，我们可以画一个等腰三角形AOB，且该三角形满足：OBAO、2AOB（图4.1（a）），和以点为圆心、以OA为半径的圆.对于圆弧AxB上任意一点P，角APB.这是因为它由圆弧AyB一半测量得到（请查阅并参考你的几何教科书中的这个定理，并且不要着急把书合上哦！)如果我们去圆外任意一点P（图4.1（b）），那么APB小于角，这是因为它是由不同于圆弧AyB和圆弧AzB之间的测量的.（教科书！）如果我们任意取圆内的一点P（图4.2（a）），那么APB将会大于角，这是因为2它对应的是圆弧AyB和圆弧DzC总和的一半（现在你可以合上你的课本啦！）.(a)(b)图4.1最后，线段AB下方的半个平面的情况与线段AB上方的情况相同，于是我们就得到了两个对称的圆弧AyB和圆弧AxB，其中不包括两个端点A、B（图4.2（b））.(a)(b)图4.24.5.给定一个点O和一条直线L，找到P点的轨迹S，其中P点是一个端点在直线L上并以O为中点的线段的另一个端点.3解：如果点'P在直线L上，并且点O是的线段PP'中点，那么点P是点'P以点O为中心以角旋转得到的像.因此轨迹S是直线L以点O为中心旋转角度得到的结果.当然，轨迹S是到点O的距离与直线到点O的距离相等的直线L的平行线.（图4.3）图4.3问题4.6.找到所有到两条给定平行线的距离相等的点的轨迹.4.7.找到所有的到给定直线L的距离等于给定距离r(0r)的所有点P形成的轨迹S．4.8.给定线段AB，圆X，角和角.找出所有点P形成的轨迹S，其中从点P以角看线段AB，以角看圆X，集合S有多少个元素？4.9.给定正方形X和角度20，找到所有以角度看正方形X的点P的轨迹S，当角的范围是2时解决相同问题.4.10.给出了线段AB和线段XY，其中aAB、bXY(ba)，求出所有满足222aPYPX的点P所形成的轨迹S.4.11.证明一个任意三角形的三条边上的垂直平分线相交于一点.4.2对称性和其他变换对称性4.12.在社区A居住并且在公司B工作的人（见图4.4（a）），通常会选择开车送孩子完孩子就去上班的方式.那么为了尽量减少驾驶我们应该将学校S修建在公路L上何处？（一旦学校的地址S选定，公路SA和SB也将被建成.）分析：设点'A是点A关于直线L对称的图像.所以有BSSABSAS'''''（见图44.4（b））.所有破碎的线BSA''，线段BA'是最短路线.解：画出点A关于直线L对称的图像点'A和直线BA'，直线BA'和直线L的交点S即为学校的最佳选址.(a)(b)图4.44.13.设一条河的两边是平行的两条直线，城市A和B分别位于河的两边（见图4.5（a））.为了减少城市A和B之间的行驶距离，我们应该在河的什么地方建桥（当然，所建的桥必须垂直于河流两侧）？(a)地图(b)图4.5分析：设点'B是点B以河的宽度W为平移距离，以向着河流并垂直于河流的方向平移所得到的结果.（参见图4.5（b））.那么:WBTATBSSTAT'''''''.而在所有的折线''BAT之间，线段AB是最短的线段5解决方案:做点B以河的宽度W为平移距离，以向着河流并垂直于河流的方向平移所得到的结果点'B，并连接A和B.河的下游侧与AB的交点T就是建造这座桥的最好的地方.4.14.两个任意的圆有且仅有两个共同的点A和点B.找到过点A且使得在两圆中所形成的弦的长度相等的直线L.这个问题能有多少中解决方案？分析：至少有一个解决方案：直线AB.假设直线L线不过点B，并且ADAC（见图4.6）.图4.6由于点D是点C关于点A的对称点，所以，给定的过点D圆1R的对称圆'1R必须过点C.解决方案：做给定的过点D圆1R的对称圆'1R，每一个圆1R的对称圆'1R与另一个给定圆2R的交点C决定了所要找的直线CA.此证明过程显然基本上是过程的重复。研究：由于A点在圆2R上，圆1R上的点中必有点X在圆2R内（不要忘了，圆1R和圆2R有且仅有两个不同的公共点！），圆'1R必有有一点'X在圆2R外（也就是指点X关于点A的对称点'X）.因此，'1R、2R必将有且仅有一个除点A以外的交点，于是问题的解决方案总是能找到两个（不要忘了这第一个解决方案就是AB）.我毫不怀疑我的读者有一定的关于平移，旋转，中心对称，镜面对称等常用的转换类型的良好知识基础.这里我想对另一个重要的转化类型—同位有一个更详细的介绍.6位似给定一个点O和一个非零的数k，位似变换或者说位似H，是指以点O为位似中心以k为位似系数的的变换映射，这个映射将任意点P映射成在直线OP上满足:kOPOP1的点1P，记PHP1.请注意，不像仅仅代表线段的长度那样，向量OP和1OP是也包含着方向的.当方向向量的方向与一个单位方向向量的方向相同时，对于该方向向量a的||a的测量结果等于对应图4.7位似系数23k线段a的长度a，如果方向不同，那么测量结果为a.若为一个负的位似系数，就将暗示着点P和点1P将会位于位似中心O的相反的两端.图4.8位似系数1k位似变换所得的图像FHF1是几何图形F在位似变换H下形成的.而这个位似变换H是由构成几何图形F上的点P到得到的几何图形1F上的点的位似变换PHP1组成的.请注意（并证明！）一下问题：（a）线段I的位似变换图像IHI1是一段平行于线段I的线段1I，且线段1I满足kII1，其中k是位似变换的系数.（b）两个位似的多边形PH和多边形P是相似的.（c）任意两个圆1K、2K都是位似的（即，一定存在一个位似变换H满足12KHK）.（d）相对于一个点对称性是一种特殊的情况下的位似变换，其中位似变换的系数1k.4.15.给定的锐角三角形内的内接正方形.7分析：要使得正方形MNPQ内接于锐角三角形ABC内，正方形有两个点如点P和点Q必须在三角形的同一条边上如AC，另外两个点分别位于三角形的另外两条边上（见图4.9）.图4.9如果我们放弃关于顶点N必须在三角形的边BC上，那么我们就能得到很多（事实上，无限多的）满足其他条件所有条件（即，边PQ在边AC上，顶点P在边AB上）的正方形.让我们取其中的一个正方形1111QPNM，就会发现正方形1111QPNM和正方形MNPQ是位似的！构造：（1）构造正方形1111QPNM：其中正方形的边11QP在三角形的边AB上，顶点1M在边AB上；取在边AB上的点1M，过点1M作ACQM11，满足的1111QMQP点记为点1P，过点1P向边AC引垂线，然后过点1M做边11QM的垂线，所得两条垂线的交点即为点1N.（2）通过点A和点1N画直线，记线1AN和线BC的交点为点N（3）以ANANk1为位似系数，以点A为位似变换中心的位似变换H可以总结这一构造:MNPQQPNMH11118证明.:一个正方形的经过位似变换后所得的结果还是一个正方形.选择在边BC上的点1NHN，在边1AM上的点1MHM，类似的，还有边AC上的点1PHP以及点1QHQ.于是，由于ACNM//且点N是边BC上的一点，点M是边1AM上的一点，类似可以证得点P和点Q是线段AC上的点.研究.在假设正方形的两个顶点在三角形的边AC上的前提下，在我们的构造中点N的存在性和唯一性总能给我们一个确切的解决方案，如果假设条件改变，即正方形的两个顶点在边BC上，我们可以得到另一个解决方案，当正方形的两个顶点在边AB上，我们又能得到一个方案.这样，这个问题总是有三种解决方案的.问题4.16.果一条河的两条分流隔断了城市A和城市B（见图4.10），这两条分流是两边平行的直边河，为了使从城市A到城市B的旅程最短,应该在两河的何处建桥？图4.104.17.给定三条平行线1L，2L，3L.请找到一个等边三角形ABC，其中三角形的三个顶点A、B、C分别位于1L，2L，3L这三条平行线上.4.18.给定的三个同心圆1K，2K，3K.请找到一个等边三角形ABC满足其三个顶点A、B、C分别位于1K，2K，3K这三个同心圆上4.19.给定一个点A和以点O为中心的圆K，连接点A和圆K上任意点B，找出角AOB的角平分线与直线AB所有的交点P的轨迹。9代数3.1等式与不等式的证明3.1.证明：对于任意的实数a、b、c，cba是abccba3333的一个除数解析：通过使用两次公式：)(3)(333yxxyyxyx可得：abccba3333abcbaabcba3)(3)(33)(3)()(3)(3cbaabcbacbacba))((222bcacabcbacba所