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第1页共6页第十一讲二项式定理课程类型:□复习□预习□习题针对学员基础:□基础□中等□优秀本章主要内容:1.二项式定理的定义;2.二项式定理的通项公式;3.二项式定理的应用.本章教学目标:1.能用计数原理证明二项式定理(重点);2.能记住二项式定理和二项展开式的通项公式(重点);3.能解决与二项式定理有关的简单问题(重点、难点).【知识与方法】一.二项式定理的定义在个nnbabababa)())(()(中,每个括号都能拿出a或b,所以每个括号有2种选择,n个括号授课班级授课日期学员月日组杨辉三角历史北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。13世纪中国宋代数学家杨辉在《详解九章算术》里讨论这种形式的数表,并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》,并绘画了“古法七乘方图”。故此,杨辉三角又被称为“贾宪三角”。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303年)扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。意大利人称之为“塔塔利亚三角形”以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。在欧洲直到1623年以后,法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。布莱士·帕斯卡的著作Traitédutrianglearithmétique(1655年)介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果,并以此解决一些概率论上的问题,影响面广泛,PierreRaymonddeMontmort(1708年)和亚伯拉罕·棣·美弗(1730年)都用帕斯卡来称呼这个三角形。近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinesetriangle)。课外拓展第2页共6页就是n2种情况.22nba这一项,表达的意思是_________________________;所以,22nba共有________个.(a+b)n的二项展开式本来共有_______项,合并之后共有_______项,其中各项的系数______________叫做二项式系数.二.二项展开式的通项(a+b)n的二项展开式的通项公式为__________..注意:1.rnrCT与1的关系,例如第5项,应该是4nC;2.二项式的展开式是按照前项降幂排列,例如10)1(x与10)1(x中的第4项是不同的;3.a的指数从n逐项减到0,是降幂排列。b的指数从0逐项减到n,是升幂排列。各项的次数和等于n;4.注意正确区分二项式系数与项的系数.三.二项式系数的基本性质四.展开式的二项式系数和1.(a+b)n展开式的各二项式系数和:C0n+C1n+C2n+…+Cnn=_______.2.偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n+…=_______.五.展开式的系数和若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为_______,奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=2)1()1(ff,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=________________.【例题与变式】题型一通项公式及其应用类型一二项式定理的原理应用【例1】(2015·全国卷Ⅰ)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()例如:7)(yx中43yx表示的就是,有3个括号拿x,剩下的4个括号拿y,所以43yx共有4437CC项,即37C项.第3页共6页A.10B.20C.30D.60【例2】(2018•滨州二模)52)32(xx的展开式中,x的系数为________.【变式1】(2018•濮阳一模)82017)11(xx的展开式中,x3的系数为________.【变式2】(2018•龙岩模拟)已知二项式4)211(xx,则展开式的常数项为()A.-1B.1C.-47D.49类型二单括号型【例4】(2018•内江三模)4)2(xx展开式中的常数项为()A.6B.-6C.24D.-24【例5】设(x-2)n展开式中,第二项与第四项的系数之比为12,则含x2的项是________.【例6】(2018•成都模拟)若6)(xax的展开式中含23x项的系数为160,则实数a的值为()A.2B.2C.22D.22【例7】(2017·东北四校联考)若nxxx)1(6的展开式中含有常数项,则正整数n的最小值等于()A.3B.4C.5D.6【变式3】(2018•河北区二模)二项式6)2(xx的展开式的第二项为()A.46xB.46xC.412xD.412x【变式4】(2018•四川模拟)6)1(xx展开式中的常数项为()A.-20B.-15C.15D.20【变式5】(2016·全国卷Ⅰ)(2x+x)5的展开式中,x3的系数是________.(用数字填写答案)【变式6】(2018•上海二模)nxx)1(的展开式中的第3项为常数项,则正整数n=_______.【变式7】(2018•普陀区二模)若nxx)1(23的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值为_______.类型三双括号型【例8】(2018•肇庆三模)已知5)1)(1(xax的展开式中x2的系数为5,则a=()A.1B.2C.-1D.-2第4页共6页【例9】(2018•信阳二模)52)21)(1(xx的展开式的常数项是()A.5B.-10C.-32D.-42【例10】(2018•泉州模拟)44)11()1(xx的展开式中,常数项是_______.【例11】43)11()1(xx的展开式中,常数项是_______.【变式8】(2018•枣庄二模)若102)1)((xxax的展开式x6的系数为30,则a等于()A.31B.21C.1D.2【变式9】(2018•咸阳二模)8))((yxyx的展开式中,72yx的系数为_______.【变式10】(1+2x)3(1-x)4展开式中x项的系数为.题型二展开式中的二项式系数【例1】(2018•广州一模)已知二项式nxx)12(2的所有二项式系数之和等于128,那么其展开式中含x1项的系数是()A.-84B.-14C.14D.84【例2】(2018•綦江区模拟)二项式nxax)2(的展开式中所有二项式系数和为64,则展开式中的常数项为-160,则a=_______.【变式1】(2018•宝山区一模)在nxx)3(2的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为1024,则常数项的值等于_______.【例3】(2018•唐山一模)6)12(x的展开式中,二项式系数最大的项的系数是_______.【例4】(2018•马鞍山二模)二项式nxx)13(3的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则展开式中x的指数为整数的项的个数为()A.3B.5C.6D.7【变式2】(2018•湖北模拟)在nxx)2(3的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则二项展开式常数项等于_______.【变式3】(2018•芜湖模拟)已知nx)21(展开式中只有第4项的二项式系数最大,则nxx)21)(11(2展开式中常数项为_______.【变式4】nba)(二项展开式中,二项式系数最大项为第7项和第8项,则n=_______.题型三展开式中的系数【例1】(2018•石家庄二模)已知nx)1(的展开式各项系数之和为256,则展开式中含2x项的系第5页共6页数为_______.【例2】(2018•朝阳三模)在二项式nxx)3(的展开式中,各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且A+B=72,则展开式中常数项的值为()A.6B.9C.12D.18【例3】5)12)((xxxax的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为()A.-40B.-20C.20D.40【例4】(2015•新课标Ⅱ)4)1)((xxa的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=________.【例5】已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)7210aaaa.【例6】(2018•湖南三模)若99108)21)(1(xaxaaxx,x∈R,则99221222aaa的值为()A.92B.129C.93D.139【变式1】(2018•赣州一模)若nxx)21(22展开式中各项系数之和为64,则展开式中的常数项是()A.10B.20C.30D.40【变式2】(2018•烟台模拟)已知nxx)2(3的展开式的各项系数和为243,则展开式中7x的系数为()A.5B.40C.20D.10【变式3】(2018•河西区三模)设5522105)1()1()1()2(xaxaxaax,则521aaa_______.1.7)1(x的展开式中x2的系数是()A.42B.35C.28D.21第6页共6页2.(2015•大连模拟)(2-x)8的展开式中不含x4项的系数的和为()A.-1B.0C.1D.23.(2015•南昌质检)在nxx)12(3的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是()A.-7B.7C.-28D.284.(2014•石家庄二模)设(x2+1)(x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a1+a2+…+a11=()A.5B.4C.3D.25.(2015•安徽)73)1(xx的展开式中x5的系数是______.(用数字填写答案)6.(2015•温州十校联考)已知nxxxx)1)(1(32(n∈N*)的展开式中没有常数项,且2≤n≤8,则n=________.1.实际完成情况:□按计划完成;□超额完成,原因分析________________________________________________________________________;□未完成计划内容,原因分析__________________________________________________________________.2.授课及学员问题总结:
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