高中数学公式大全

高中数学公式大全(简化版)目录1集合与简易逻辑………………………012函数……………………………………023导数及其应用…………………………074三角函数………………………………095平面向量………………………………106数列……………………………………117不等式…………………………………128立体几何与空间向量…………………139直线与圆………………………………1610圆锥曲线………………………………1811排列组合与二项式定理………………1912统计与概率……………………………2013复数与推理证明………………………23§01.集合与简易逻辑1．元素与集合的关系UxAxCA∈⇔∉,UxCAxA∈⇔∉2．集合运算全集U：如U=R交集：}{BxAxxBA∈∈=且并集：}{BxAxxBA∈∈=∪或补集：}{AxUxxACU∉∈=且3．集合关系空集A⊆φ子集:BA⊆任意BxAx∈⇒∈BABBABAABA⊆⇔=⊆⇔=注：数形结合---文氏图、数轴4.包含关系ABAABB=⇔=UUABCBCA⇔⊆⇔⊆UCABR⇔=5．集合的子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有–1个；非空的真子集有–2个.6.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假7.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于(小于等于)至少有个n至多有(1n−)个小于不小于(大于等于)至多有n个至少有(1n+)个对所有x，成立存在某x，不成立p或qp¬且q¬对任何x，不成立存在某x，成立p且qp¬或q¬8.四种命题原命题：若p则q逆命题：若q则p否命题：若则逆否命题：若则原命题与逆否命题真假相同否命题与逆命题真假相同9.充要条件(1)充分条件：若pq⇒，则p是q充分条件.(2)必要条件：若qp⇒，则p是必要条件.(3)充要条件：pq⇒，且qp⇒，则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.§02.函数1.函数的单调性(1)设[]2121,,xxbaxx≠∈⋅那么[]1212()()()0xxfxfx−−[]baxfxxxfxf,)(0)()(2121在⇔−−上是增函数；[]1212()()()0xxfxfx−−⇔[]baxfxxxfxf,)(0)()(2121在⇔−−上是减函数.对于复合函数的单调性：()fgx同增异减(即()fgx与()gx的增减性相同，那么符合函数就是增函数(同增)；()fx与()gx的增减性相反，那么符合函数就是减函数(异减))(2)设函数)(xfy=在某个区间内可导，如果，0)(′xf则v)(xf为增函数；如果0)(′xf，则)(xf为减函数.2．函数的奇偶性判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称。f(x)偶函数⇔f()()fxfx−=图象关于y轴对称　f(x)奇函数⇔()()fxfx−=−f(x)图象关于原点对称注：①f(x)有奇偶性⇒定义域关于原点对称②f(x)奇函数,在x=0有定义⇒f(0)=0对于复合函数：()fgx内偶则偶，两奇为奇奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．若函数)(xfy=是偶函数，则)()(axfaxf−−=+；若函数)(axfy+=是偶函数，则)()(axfaxf+−=+对于函数)(xfy=（Rx∈）)()(xbfaxf−=+,恒成立,则函数)(xf的对称轴是函数2bax+=;两个函数)(axfy+=与)(xbfy−=的图象关于直线2bax+=对称.若)()(axfxf+−−=,则)(xfy=函数的图象关于点)0,2(a对称;若)()(axfxf+−−=,则函数)(xfy=为周期为a2的周期函数.多项式函数110()nnnnPxaxaxa−−=+++的奇偶性多项式函数t()Px是奇函数⇔()Px的偶次项的系数全为零.(常数按偶次项看待)多项式函数()Px是偶函数⇔()Px的奇次项的系数全为零.3.函数的周期性T是()fx周期⇔()()fxTfx+=恒成立(常数0≠T)(1))()(axfxf+=，则)(xf的周期T=a；(2)0)()(=+=axfxf，或)0)(()(1)(≠=+xfxfaxf，或1()()fxafx+=−,4.函数的图象的对称性(1)函数()yfx=的图象关于直线xa=对称(2)()faxfx⇔−=.(2)函数()yfx=的图象关于直线2abx+=对称两个函数图象的对称性(1)函数()yfx=与函数()yfx=−的图象关于直线0x=(即轴)对称.(2)函数)(xfy=和)(1xfy−=的图象关于直线y=x对称.若将函数)(xfy=的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy+−=)(的图象；若将曲线0),(=yxf的图象右移a、上移b个单位，得到曲线0),(=−−byaxf的图象.互为反函数的两个函数的关系abfbaf=⇔=−)()(1.几中常见抽象函数原型(1).()()(),(1)fxyfxfyfc+=+=正比例函数()fxcx=(2).()()(),(1)0fxyfxfyfa+==≠指数函数()logafxx=(3).()()(),()1(0,1)fxyfxfyfaaa=+=≠对数函数()logafxx=(4).'()()(),(1)fxyfxfyfα==幂函数(5)()()()()()fxyfxfygxgy−=+，0()(0)1,lim1xgxfx→==，.余弦函数()cosfxx=,正弦函数()singxx=5.二次函数解析式的三种形式(1)一般式2()(0)fxaxbxca=++≠;(2)顶点式2()()(0)fxaxhka=−+≠;(3)零点式12()()()(0)fxaxxxxa=−−≠;闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=acbxaxxf在闭区间[]qp,上的最值只能在abx2−=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a0时，若[]qpabx,2∈−=，则{}minmaxmax()(),()(),()2bfxffxfpfqa=−=；，[]qpabx,2∉−=，{}maxmax()(),()fxfpfq=.{}minmin()(),()fxfpfq=(2)当a0时，若[]qpabx,2∈−=，则{}min()min(),()fxfpfq=，[]qpabx,2∉−=，则{}max()max(),()fxfpfq=，{}min()min(),()fxfpfq=.6.指数函数与对数函数y=ax与y=logax定义域、值域、过定点、单调性？注：y=ax与y=logax图象关于y=x对称(互为反函数)分数、指数、有理数幂1mnnmaa=(0,,amnN∗∈，且1n)；1mnmnaa−=(0,,amnN∗∈，且1n）()nnaa=当n为奇数时，nnaa=；当n为偶数时，,0||,0nnaaaaaa≥==−.有理指数幂的运算性质(0,,)rsrsaaaarsQ+⋅=∈.()(0,,)rsrsaaarsQ=∈.()(0,0,)rrrabababrQ=∈.注：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.指数式与对数式的互化式logbaNbaN=⇔=.(0,1,0)aaN≠对数的换底公式logloglogmamNNa=(0a,且1a≠,,0m且1m≠,).推论loglogmnaanbbm=(0a,且1a,,0mn,且1m≠,1n≠,0N).对数的四则运算法则若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)log()loglogaaaMNMN=+;(2)logloglogaaaMMNN=−;(3).loglog()naaMnMnR=∈注：性质01log=a1log=aaNaNa=log常用对数NN10loglg=，15lg2lg=+自然对数NNelogln=，1ln=e7.函数图像与方程描点法函数化简→定义域→讨论性质(奇偶、单调)取特殊点如零点、最值点等　图象变换平移：“左加右减，上正下负”)()(hxfyxfy+=→=伸缩：)1()(xfyxfyϖϖ=→=倍来的每一点的横坐标变为原对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(xfyxfyxfyxfyxfyxfyyx−−=→=−=→=−=→=原点轴轴注：)(xfy=ax=→直线)2(xafy−=翻折：→=)(xfy|()|yfx=保留x轴上方部分，并将下方部分沿x轴翻折到上方y=f(x)cbaoyxy=|f(x)|cbaoyx→=)(xfy(||)yfx=保留y轴右边部分，并将右边部分沿轴翻折到左边y=f(x)cbaoyxy=f(|x|)cbaoyx零点定理若0)()(bfaf，则)(xfy=在内有零点(条件：)(xf在],[ba上图象连续不间断)注：①)(xf零点：0)(=xf的实根②在],[ba上连续的单调函数)(xf，0)()(bfaf则)(xf在),(ba上有且仅有一个零点③二分法判断函数零点---0)()(bfaf？§03.导数及其应用1．导数几何意义)(xf在点x0处导数)(0'xf：指点x0处切线斜率2．导数公式0)(=′C(C为常数)1)(−⋅=′nnxnxxxcos)(sin=′　　xxsin)(cos−=′　xxee=′)(　xx/1)(ln=′.)('''vuvu±=±.)('''uvvuuv+=/vu=2''vuvvu−'xy='uy.'xu3．导数应用单调性：如果0)('xf，则)(xf为增函数如果0)('xf，则)(xf为减函数极大值点：在x0附近)(xf“左增右减↗↘”极小值点：在x0附近)(xf“左减右增↘↗”注0)(0'=xf求极值：)(xf定义域→)('xf→)('xf零点→列表：x范围、)('xf符号、)(xf增减、)(xf极值求[a，b]上最值：)(xf在(a，b)内极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较4．三次函数dcxbxaxxf+++=23)(cbxaxxf++=23)(2/图象特征：“↗↘↗”“↘↗↘”0,0∆a0,0∆a极值情况:)(0xf⇔∆有极值)(0xf⇔≤∆无极值5．定积分定理：)()()(aFbFdxxfba−=∫其中)()('xfxF=性质：∫∫=babadxxfkdxxkf)()((k为常数)应用：∫∫∫±=±bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(②直线x＝a，x＝b，x轴及曲线y＝f(x)(f(x)≥0)围成曲边梯形面积∫=badxxfS)(②如图，曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)在[a，b]上围成图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝∫∫−babadxxfdxxf)()(21§04.三角函数1．特殊角的三角函数值α06π4π3π2ππ23πsin021222310cos123222100tg03313/0/2．弧长rl⋅=α扇形面积lrS21=3.同角三角函数的基本关系式22sincos1θθ+=，tanθθθcossin=tan1cotθθ⋅=，.4.正弦、余弦的诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限)；符号：“一正全、二正弦、三正切、四余弦”5.和差角公式sin()sincoscossinαβαβαβ±=±;cos()coscossinsinαβαβαβ±=;tantantan()1tantanαβαβαβ±±=6.二倍角公式sin2sincosααα=2222cos2cossin2cos112sinααααα=−=−=−.22tantan21tanααα=−7.辅助角公式sincosabαα+=22sin()abαϕ++(其中tanbaϕ=，a要为正).8.正弦定理2sinsinsinabcRABC===9.余弦定理2222c