【高考冲刺押题】2013高考数学三轮-基础技能闯关夺分必备-充分条件和必要条件(含解析)

第1页共5页充分条件和必要条件【考点导读】1.理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．2.从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：若集合PQ，则P是Q的充分条件；若集合PQ，则P是Q的必要条件；若集合PQ，则P是Q的充要条件．3.会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力．【基础练习】1.若pq，则p是q的充分条件．若qp，则p是q的必要条件．若pq，则p是q的充要条件．2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.[来源:学_科_网Z_X_X_K]（1）已知:2px，:2qx，那么p是q的_____充分不必要___条件．（2）已知:p两直线平行，:q内错角相等，那么p是q的____充要_____条件．（3）已知:p四边形的四条边相等，:q四边形是正方形，那么p是q的_____必要不充分___条件．（4）已知:pab，22:qacbc，那么p是q的____必要不充分___条件．3.函数2yaxbxc(0)a过原点的充要条件是0c．4.对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“ba”是“bcac”充要条件；②“5a是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“ab”是“a2b2”的充分条件；④“a5”是“a3”的必要条件.其中真命题的序号是____②_④___．5.若xR，则1x的一个必要不充分条件是0x．【范例解析】例1.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）2,2.xy是4,4.xyxy的___________________条件；（2）(4)(1)0xx是401xx的___________________条件；（3）是tantan的___________________条件；（4）3xy是1x或2y的___________________条件.第2页共5页分析：从集合观点“小范围大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.解：（1）因为2,2.xy结合不等式性质易得4,4.xyxy，反之不成立，若12x，10y，有4,4.xyxy，但2,2.xy不成立，所以2,2.xy是4,4.xyxy的充分不必要条件.（2）因为(4)(1)0xx的解集为[1,4]，401xx的解集为(1,4]，故(4)(1)0xx是401xx的必要不充分条件.（3）当2时，tan,tan均不存在；当tantan时，取4，54，但，所以是tantan的既不充分也不必要条件.（4）原问题等价其逆否形式，即判断“1x且2y是3xy的____条件”，故3xy是1x或2y的充分不必要条件.点评：①判断p是q的什么条件，实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若q则p”的真假.例2.已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则p是s的_________条件.分析：将各个命题间的关系用符号连接，易解答.解：[来源:学科网ZXXK]故p是s的的充要条件.点评：将语言符号化，可以起到简化推理过程的作用.例3.已知20:100xpxx，:{11,0}qxmxmm，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.分析：若p是q的必要不充分条件等价其逆否形式，即q是p的必要不充分条件.解：由题知：:210pPxx，:{11,0}qQxmxmmp是q的必要不充分条件，q是p的必要不充分条件.prqs第3页共5页PQØ，即12,110,0.mmm得9m.故m的取值范围为9m.点评：对于充分必要条件的判断，除了直接使用定义及其等价命题进行判断外，还可以根据集合的包含关系来判断条件与结论之间的逻辑关系：若集合PQ，则P是Q的充分条件；若集合PQ，则P是Q的必要条件；若集合PQ，则P是Q的充要条件．例4.求证：关于x的方程20axbxc有一个根为－1的充要条件是0abc．分析：充要条件的证明既要证充分性，也要证必要性．[来源:学科网ZXXK]证明：必要性：若1x是方程20axbxc的根，求证：0abc．1x是方程20axbxc的根，2(1)(1)0abc，即0abc．充分性：关于x的方程20axbxc的系数满足0abc，求证：方程有一根为－1．0abc，bac，代入方程得：2()0axacxc，得()(1)0axcx，1x是方程20axbxc的一个根．故原命题成立．点评：在代数论证中，充要条件的证明要证两方面：充分性和必要性，缺一不可．【反馈演练】1．设集合}30|{xxM，}20|{xxN，则“Ma”是“Na”的_必要不充分条件．2．已知p：1＜x＜2，q：x(x－3)＜0，则p是q的条件．3．设()fx，()gx是定义在R上的函数，()()()hxfxgx，则“()fx，()gx均为偶函数”是“()hx为偶函数”的______充分不必要______条件．4．已知:0pa，:0qab，则p是q的_____必要不充分_______条件．5．集合A＝{x|11xx＜0}，B＝｛x||x－b|＜a}，若“a＝1”是“A∩B≠”的充分条件，则b的取值范围是22b．6．设集合{2}Mxx，{3}Pxx，则“()xMP”是“()xMP”的______________条件．必要不充分充分不必要第4页共5页7．设全集{(,),}UxyxRyR，子集{(,)20}Axyxym，{(,)0}Bxyxyn，那么点(2,3)()UPABð的充要条件为1,5mn．8．已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件。现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要条件而不是充分条件；④sp是的必要条件而不是充分条件；⑤r是s的充分条件而不是必要条件，其中正确命题序号是______①②④____．9．有限集合S中元素个数记作cardS，设A、B都为有限集合，给出下列命题：①BA的充要条件是cardBA=cardA+cardB；②BA的必要条件是cardAcardB；③BA的充分条件是cardAcardB；④BA的充要条件是cardAcardB.其中真命题的序号是_①②__．10．已知函数2()fxxxab()xR，求证：函数()fx是偶函数的充要条件为0a．证：充分性：定义域关于原点对称．0a，2()fxxxb，22()()fxxxbxxb，所以()()fxfx，所以()fx为偶函数．必要性：因为()fx是偶函数，则对任意x有()()fxfx，得22()xxabxxab，即xaxa，所以0a．综上所述，原命题得证．11．已知条件2:{10}pAxRxax，条件2:{320}qBxRxx．若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：:{12}qBxRx，若q是p的充分不必要条件，则AB．若A，则240a，即22a；若A，则22240,44,22aaaaax解得522a．综上所述，522a．12．已知关于x的方程2(1)(2)40axax，aR．求：（1）方程有两个正根的充要条件；（2）方程至少有一个正根的充要条件．解：（1）方程2(1)(2)40axax有两个正根的充要条件10,0.a1,210.aa或第5页共5页设此时方程的两实根为1x，2x，则1x，2x的正数的充要条件是12120,0.xxxx1a．综上，方程有两个正根的充要条件为12a或10a．（2）①方程有两个正根，由（1）知12a或10a．②当1a时，方程化为340x，有一个正根43x．[来源:学科网ZXXK][来源:Z§xx§k.Com]③方程无零根，故方程有一正根，一负根的充要条件是1210,0,0.axx即1a．综上，方程至少有一正根的充要条件是2a或10a．