【高考冲刺押题】2013高考数学三轮-基础技能闯关夺分必备-不等式综合(含解析)

第1页共7页不等式综合【考点导读】能利用不等式性质、定理、不等式解法及证明解决有关数学问题和实际问题，如最值问题、恒成立问题、最优化问题等.【基础练习】1.若函数22112,022xfxxxgxxx，则fx与gx的大小关系是fxgx2.函数22fxaxa在区间0,1上恒为正，则a的取值范围是0＜a＜23.当点,xy在直线320xy上移动时，3271xyz的最小值是74.已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a2，b)，g(x)＞0的解集是(22a，2b)，则f(x)·g(x)＞0的解集是22,,22bbaa5.对于0≤m≤4的m，不等式x2+mx＞4x+m－3恒成立，则x的取值范围是x＞3或x＜－1【范例导析】例1、已知集合2,21P，函数22log22xaxy的定义域为Q（1）若QP，求实数a的取值范围。（2）若方程222log22xax在2,21内有解，求实数a的取值范围。分析：问题（1）可转化为2220axx在2,21内有有解；从而和问题（2）是同一类型的问题，既可以直接构造函数角度分析，亦可以采用分离参数.解：（1）若QP，0222xax在2,21内有有解xxa222令2121122222xxxu第2页共7页当2,21x时，21,4u[来源:学科网ZXXK]所以a-4,所以a的取值范围是4aa（2）方程222log22xax在2,21内有解则0222xax在2,21内有解2121122222xxxa当2,21x时，12,23a所以12,23a时，222log22xax在2,21内有解点拨：本题用的是参数分离的思想例2.已知f(x)是定义在[—1，1]上的奇函数，且f(1)=1，若m、n∈[—1，1]，m+n≠0时有.0nmnfmf[来源:学,科,网Z,X,X,K]（1）判断f(x)在[—1，1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式:1121xfxf；（3）若f(x)≤122att对所有x∈[—1，1]，a∈[—1，1]恒成立，求实数t的取值范围．[来源:学科网]分析：可利用定义法判断单调性，再利用单调性解决问题（2），问题（3）只要f(x)max≤2min21tat解：(1)任取—1≤x1x2≤1，则f(x1)—f(x2)=f(x1)+f(－x2)=212121xxxxxfxf∵—1≤x1x2≤1，∴x1+（－x2）≠0，由已知2121xxxfxf＞0，又x1－x2＜0，∴f(x1)—f(x2)＜0，即f(x)在[—1，1]上为增函数．（2）∵f(x)在[—1，1]上为增函数，故有第3页共7页123,1121,1111,1211xxxxxx由此解得（3）由(1)可知：f（x）在[—1，1]上是增函数，且f(1)=1，故对x∈[—l，1]，恒有f（x）≤1．所以要使f（x）≤122att，对所有x∈[—1，1]，a∈[—1，1]恒成立，即要122att≥1成立，故att22≥0成立．记g(a)=att22对a∈[—1，1]，g(a)≥0恒成立，只需g(a)在[—1，1]上的最小值大于等于零．故.010010gtgt，或，，解得：t≤—2或t=0．点拨：一般地，若,,yfxxab与,,ygttmn若分别存在最大值和最小值，则()fxgt恒成立等价于maxminfxgx.例3.甲、乙两地相距kms，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过km/hc，已知汽车每小时的运输成本．．．．．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度km/hv的平方成正比，且比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y元表示为速度km/hv的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：需由实际问题构造函数模型，转化为函数问题求解解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为hvs，全程运输成本为)(2bvvasvsbvvsay．故所求函数为)(bvbasy，定义域为)0(cv，．（2）由于vbas、、、都为正数，故有bvbasbvvas2)(，第4页共7页即absbvvas2)(．当且仅当bvva，即bav时上式中等号成立．若cba时，则bav时，全程运输成本y最小；当cba，易证cv0，函数)()(bvvasvfy单调递减，即cv时，)(minbccasy．[来源:学科网ZXXK]综上可知，为使全程运输成本y最小，在cba时，行驶速度应为bav；在cba时，行驶速度应为cv．点拨：本题主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用．也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题．反馈练习：1.设10a，函数)22(log)(2xxaaaxf，则使0)(xf的x的取值范围是),0([来源:Zxxk.Com]2.一个直角三角形的周长为2P，其斜边长的最小值122P3.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是833d4.如果函数213log(23)yxx的单调递增区间是(-∞，a]，那么实数a的取值范围是____a-1____5.若关于x的不等式mxx42对任意]1,0[x恒成立，则实数m的取值范围为(,3]6.设实数m,n,x,y满足nymxbyxanm则,,2222的最大值ab7．已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是［－2，2］8.对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式342pxpxx都成立的x的取值范围13xx或第5页共7页9..三个同学对问题“关于x的不等式2x＋25＋|3x－52x|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是a≤1010.设曲线cxbxaxy23213在点x处的切线斜率为xk，且01k,对一切实数x，不等式1212xxkx恒成立（0a）.(1)求1k的值；(2)求函数xk的表达式.解：（1）设cbxaxxk2，1212xxkx,1112111k,11k(2)解：1)1(0)1(kk10cbacba2121cabxcxax212,161,0441,0212acaccxax，又16142caac，即41,161,161161caacac22141412141xxxxk11.已知二次函数f(x)=0,,12aRbabxax且,设方程f(x)=x的两个实根为x1和x2．（1）如果x12＜x24，且函数f(x)的对称轴为x=x0，求证：x0＞—1；（2）如果∣x1∣2，∣x2—x1∣=2，求b的取值范围．解：(1)设g(x)=f(x)—x=0242.011212gxxaxbax得，由，且，且g(4)0，即,81,221443,221443,03416,0124aaaabababa得由∴.1814112,4112832abxaaba故第6页共7页（2）由g(x)=同号、可知2121,01,011xxaxxxbax．①若0x12，则x2一x1=2，即x2=x1+22，∴g(2)=4a+2b—10，又，负根舍去，得01112441222212abaaabxx，代入上式得;41,231122bbb解得②若-2x10，则x2=－2+x1-2，∴g（-2）0，即4a－2b+30，同理可求得47b．故当0x12时，41b；当-2x10时，47b．12.已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h(8v0v)，若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，当v=12km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度v0应为多少？分析：本题是应用不等式知识解决实际问题的应用题，中间体现了分类讨论这一重要的数学思想，本题中的分类讨论思想很隐蔽，它是由均值不等式中“等号”能否成立引起的，解题中要重视。解：设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k0)，则21kvy当v=12时，y1=720212720k得k=5设全程燃料费为y，依题意有3200016864810008648100081000820021vvvvvvvyy当8648vv，即v=16时取等号8v0v所以当16v时，v=16时全程燃料费最省当16v时，令8648vvt任取0218vvv则80,88021vv08864121vv第7页共7页088641212121vvvvtt即8648vvt在v,8上为减函数，当v=v0时，y取最小值810002vv综合得：当16v时，v=16km/h，全程燃料费最省，32000为元，当16v时，当v=v0时，全程燃料费最省，为810002vv元。另解：当16v时，令8648vvt2'8641vt1680vv6480,8802vv086412'vt0,88648vvvt在上为减函数以下相同点拨：注意基本不等式应用条件和分类讨论；判断函数单调性用导数是很有效的方法