清华大学物理课件-------力学.第7章.波动

1第七章波动2§7.1机械波的形成和特征§7.2行波，简谐波§7.4波动方程△§7.3物体的弹性形变§7.6惠更斯原理§7.5波的能量§7.7波的叠加和驻波△§7.8声波§7.9多普勒效应*§7.10复波，群速度△*§7.11孤子第七章波动3§7.1机械波的形成和特征一.机械波的形成t=T/4t=T/2t=3T/4t=Tt=004816201224弹性绳上的横波质元振动方向4▲弹性媒质的质元受外界扰动而发生振动时，媒质各部分间的弹性联系，会使振动传播，这就形成了波动—机械波。▲波动是振动状态的传播，不是媒质的传播，振动质元并未“随波逐流”。▲形成机械波的条件：波源＋弹性媒质▲“上游”质元依次带动“下游”质元振动。▲某时刻某质元的振动状态将在较晚的时刻在“下游”某处出现。5二.波的几何描述波线：表示波的传播方向的射线（波射线）波面：媒质中振动相位相同的点组成的面（等相面）波阵面：某时刻波到达的各点所构成的面（波前）球面波平面波波线波面6三.波的分类按波的性质：机械波，电磁波等按波线与振动方向关系：横波，纵波按波面形状：平面波，球面波，柱面波按复杂程度：简谐波，复波按持续时间：连续波，脉冲波按波形是否传播：行波，驻波.....7水的流动性和不可压缩性水波中水质元作2维运动纵向运动横向运动水表面的波既非横波又非纵波：横波模型、纵波模型、细弹簧纵波圆运动【演示】81.波速u：振动状态传播的速度一般由媒质的性质和波的类型决定，在色散媒质中，还与频率有关。2.周期T：一个完整波通过波线上某点所需时间，由波源决定（波源、观测者均不动时）。频率1T角频率π2四.波的特征量注意：波速u不是媒质质元运动速度。93.波长：波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距离，由波源和媒质共同决定，反映波的空间周期。uTxu—波数波矢量k方向：波的传播方向π2uk大小：10§7.2行波，简谐波设物理量沿x轴传播，波速为u，则)(uxtf代表沿+x方向传播的行波。某种物理量的扰动的传播称为行波。)ΔΔ(uxxttfξxxx+xt+t时刻ξxxft时刻u一.行波)(uxtftuxΔΔ=11具有沿+x方向传播的性质。)(uxtf同理具有沿–x方向传播的性质。)(uxtf)(),(uxtftx是行波波函数。即),()Δ,Δ(txttxx),(tx的函数形式称为波函数，它也是波传播时媒质质元的运动函数。t时刻x处的扰动在t+t时刻传到x+x处。12二.简谐波如果波传播的扰动是简谐振动，这样的波称为简谐波（余弦波，单色波）。1.一维平面简谐波的波函数以在均匀、无限大、无吸收的（振幅不变）媒质中的机械横波为例，设：波沿+x方向传播波速为utAtycos),0(x=0处质元振动方程13)(cos),(uxtAtxy波函数为：)π2cos(),(xtAtxy)π2,π2,(kTTu)cos(),(kxtAtxy14)π(2cos),(xTtAtxy)(cos),(xtukAtxy),()(kxtiAetxytiikxeAe空间因子振动因子（复振幅）（Re）沿-x方向传播的波函数是什么？【思考】注意：上面波函数都假设了x=0处质元振动的初相位为0。15简谐波函数中的)(uxt是波的相位。波在某点的相位反映该点质元的“运动状态”，所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。设t时刻x处的相位经dt传到x+dx处，有：]d)d[()(uxxttuxttxupdd简谐波的波速就是相速度。相速度upuup162.波函数的意义▲x一定，yt给出x点的振动方程。yTt0振动曲线x一定xy0波动曲线t一定▲t一定，yx给出t时刻空间各点位移分布。173.如何求一维简谐波函数π21tx2Δ1txxxΔπ2)(π2Δ12波沿传播方向每增加的距离，相位落后2：▲相位关系：某时刻某质元的相位（振动状态）将在较晚时刻于“下游”某处出现。x11tu18▲还需3条件：③波的传播方向②波长（或k,或u）①某参考点p的振动方程：)cos(),(tAtxypA—振幅—角频率—初相位xp—参考点坐标19【例1】),cos(aatAy对a点左方的上游点，上式成立吗？波长，沿+x方向传播，已知x=d处的参考点a的振动方程为波函数任一点xudx0参考点a【思考】—任一点x的振动方程：)](π2cos[),(dxtAtxya20【例2】求：反射波函数y(x,t)解：全反射，A不变。如图示，已知：x=0处点的振动方程y0=Acost，波长，在反射壁S处，反射波的相位突变。全反射壁入射波反射波S021π])2(π2cos[),(xltAtxyπ]π22π2cos[lxtA相位落后：再考虑在反射壁S处，反射波相位突变，l+(lx)=2lx)2(π2xll(l-x)x全反射壁入射波反射波S0波由0点经壁反射到x点传播的距离为：“+”表示沿x方向传播取+、均可22【例3】yx0已知：沿+x方向传播的波在x=0点解：yt-TTA0A-A0点初相位为-/2的振动曲线如图示。画t=0时的波形图。向+y方向运动较0点相位落后/2t=0t0yA0-A几何法23△§7.3物体的弹性形变自学中着重搞清：线变、切变和体变的概念，以及与三种变化相应的材料的弹性模量。24§7.4波动方程122222tyuxy一.1维波动方程u—波速都是波动方程的解，所以简谐波函数也是解。)(uxtfy任意以)(uxt为变量的波函数它是线性方程，所以由若干一维简谐波线性叠加组成的任一平面波也是解。25二.机械波波速u与媒质性质的关系MRTpu气体中—比热比，p、—无波时压强、密度M—摩尔质量，声音传播是绝热过程。液体中Ku—体积模量VVPK—无波时液体密度p+pV+V26弹性绳上的横波lFuF—绳的初始张力，l—绳的线密度固体中的横波GutSFG—切变模量F/S—切应力—切应变F切变FS27EulllSFE—杨氏模量llFF线变固体中的纵波F/S—应力l/l—线应变因为GE，所以固体中纵波横波uu举例：地震波传播（P波颠，S波晃）沙漠蝎子捕食*震源震中28§7.5波的能量一.波的能量振动有能量，振动的传播将导致能量的传播。重要问题：①媒质质元能量是如何变化的？②能量传播的规律如何？以弹性棒中的简谐横波为例来分析：29yx0yxy=Acos(t-x/u)0uxx+x“质元”能量=形变势能Wp+振动动能Wkyy+y定性分析：形变大的地方，质元的形变势能和振动动能都相对较大。3002dΔxSu“质元”的形变势能WpyFWydΔΔ0pVuΔ2122SuF2xFFSy,dΔdxyxyΔΔ,ΔΔxSV切变模量SFG/Gu横波波速VxyuΔΔΔ2122VxyuΔdd212231xuxtAxyd])(cosd[dd)(sinΔ21222uxtAV2kdd)Δ(21ΔtyVW)(sinΔ21222uxtAVkpΔΔWW)(sinuxtuAVxyuWΔdd21Δ22p“质元”的振动动能Wk32质元总能量kpVuxtA)(sin222振动系统：.constpkpkEEEE，系统与外界无能量交换。波动质元：.constpkpk，每个质元都与周围媒质交换能量—能量传播。33能量密度)(sinΔΔ222uxtAVWw22Aw特征22021d1AtTTww上面各结果也适用于弹性棒中简谐纵波。“动能与势能同相位”对弦上的波、声波等也成立。平均能量密度34平衡位置处（y=0），能量密度w最大，最大位移处（y=A），能量密度w为零。能量的传播0Awxywu222A能量“一堆堆”地传播35二.波的强度单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能量。波的强度I：u单位面积xuw22222121AzAuIuz—媒质的“特性阻抗”SI等于平均能流密度，（单位：W/m2）平均能流密度：S2221AuuSw36平面波.constA球面波rAAr1.const，柱面波rArA1.const，▲I2，超声波比普通声波的强度大得多。利用和能量守恒，2221AzI可以证明，对无吸收媒质有：▲IA2，*波源场点r.▲,uzI21zzz1—波密媒质z2—波疏媒质2211uu波密波疏37*三.波的吸收由于内摩擦、热传导、分子碰撞不可逆因素，波通过媒质时，一部分能量要被媒质吸收。定义吸收系数xAAddxeAA0设=const.，对平面波：xeII2038空气：，21211m102气钢：，17m104钢空气中，低频波吸收弱，传播距离长，超声波吸收强，传播距离短。超声波探伤对的声波，强度如果要衰减到1％，zH1056只需通过4.6mm的空气，而钢则需1.15m。钢件超声波探测器39§7.6惠更斯原理波在传播中，其传播方向、频率和振幅都可能改变。惠更斯原理给出的方法（惠更斯作图法）是一种处理波传播方向的普遍方法。一.惠更斯原理（1690）媒质中任意波面上的各点，都可看作是发射子波（次级波）的波源（点源），其后的任一时刻，这些子波面的包络面（包迹）就是波在该时刻的新的波面。40惠更斯原理应用由t时刻波面导出t+t时刻波面，进一步给出波的传播方向。t+t时刻波面ut波传播方向t时刻波面平面波球面波例如，均匀各向同性媒质内波的传播：ut+tt41二.波的衍射衍射指波传播遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘而偏离直线传播的现象。相对波长而言，障碍物线度越小，衍射现象越明显，线度越大越不明显。波通过小孔··入射波衍射波障碍物a·入射波衍射波障碍物42广播和电视哪个更容易收到?更容易听到男的还是女的说话的声音？障碍物（声音强度相同的情况下）43三.波的折射u2t媒质1、折射率n1媒质2、折射率n2i法线B入射波A··E·Cu1u1t··FDu2折射波传播方向rsinsin21rnin—折射定律iACtuBCsin1rACtuADsin221sinsinuuri1221nnncnc若n1n2，n1—光密媒质，n2—光疏媒质。44从光密媒质到光疏媒质，折射角r入射角i，sin12Cnni当入射角i临界角iC时，产生全反射。iC—临界角irn1(大)光密媒质n2(小)光疏媒质i=iCr=90˚n1(大)光密媒质n2(小)光疏媒质45全反射应用：光导纤维光缆电缆图中细光缆和粗电缆的通信容量相同46对X光，玻璃的折射率1，故X光从真空或空气射向玻璃时会发生全反射。色散曲线n玻璃100可见光X射线反常色散区（吸收带）r光的色散同一种介质对不同频率（或波长）的光具有不同的折射率，称为光的色散现象。47应用毛细的X管束可制成X光透镜。聚焦提高光束功率密度将发散光变为平行光四.惠更斯原理的局限性惠更斯原理可以解释波的衍射、反射和折射，但存在不足：不能解释波为何不能倒退；波的强度及其分布；不能正确说明某些波动现象，如干涉等。48§7.7波的叠加和驻波一.波的叠加原理波传播的独立性：两不同形状的正脉冲大小形状相同的正负脉冲?49现象：红、绿光束空间交叉相遇，红仍是红、绿仍是绿；听乐队演奏，仍可辨出不同乐器的音色、旋律。波的叠加原理：在几列波相遇而互相交叠的区域中，某点的振动是各列波单独传播时在该点引起的振动的合成。波