二次型

第六章二次型§1.二次型的定义二次型就是一个二次齐次多项式，其来源是平面解析几何中的有心二次曲线和空间解析几何中的二次曲面。一个系数取自数域F含有n个变量nxxx,,,21的二次齐次多项式：),,,(21nxxxfnnxxaxxaxxaxa11311321122111222nnxxaxxaxxaxa224224322322222222nnnxa称为数域F上的一个n元二次型，简称二次型。令jiijaa，则上述二次型可以写成对称的形式：),,,(21nxxxfninjjiijxxa11把上式的系数排成一个n阶方阵：nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211称这矩阵为二次型),,,(21nxxxf的矩阵。由于jiijaa，所以矩阵A是对称矩阵，因此二次型的矩阵都是对称的。由此二次型可以写成矩阵的形式：AXXxxxfTn),,,(21式中TnxxxX,,,21。定理1：若A、B为n阶对称方阵，且AXXTBXXT，则A=B。这定理说明二次型和它的矩阵是相互唯一确定的。例1：设23322221213214422),,(xxxxxxxxxxf，则它的矩阵为：420221011A例2：设323121321224),,(xxxxxxxxxf，则它的矩阵为：011102120A例3：设二次型的矩阵031331111A，则对应的二次型为：32223121213216322),,(xxxxxxxxxxxf和在几何中一样，在处理许多其它问题时也经常希望通过变量的线性替换来简化有关的二次型。为此引入：定义1：设nxxx,,,21和nyyy,,,21是两组变量，它们之间有关系式：nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111称这关系式为由nxxx,,,21到nyyy,,,21的一个线性替换，简称线性替换。可以用矩阵的形式表示这线性替换：Xnxxx21nnnnnnnyyyccccccccc21212222111211CYˆ如果系数行列式0C，则称线性替换为非退化的。经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型。下面研究替换后的二次型与原二次型之间的关系，即找出替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵之间的关系。设二次型),,,(21nxxxfAXXT经过非退化线性变换CYX得到一个关于nyyy,,,21的二次型BYYT，下面寻找矩阵A、B之间的关系。把变换CYX代入),,,(21nxxxfAXXT得到：),,,(21nxxxfAXXTACYCYTACYCYTT=BYYT由此得：ACCBT，这就是前后二个二次型的矩阵之间关系。为此引入定义2：设A、B为两个n阶矩阵，如果存在一个n阶可逆矩阵C，使得ACCBT则称矩阵A、B是合同的，记作BA~。合同是矩阵之间的一种关系，它具有以下性质：（1）反身性：AA~；（2）对称性：BA~AB~；（由ACCBT得11CBCAT）（3）传递性：BA~，CB~CA~；（4）保秩性：若BA~，则)()(BrAr；（5）保对称性：若BA~，且A为对称矩阵，则矩阵B也是对称的；因此，经过非退化线性变换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。这样把二次型的非退化线性变换通过矩阵表示出来，为以下的讨论提供了有力的工具。§2.化二次型为标准型由于二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型：2222211nnxdxdxd因此二次型的一个基本任务是通过一个非退化的线性替换把二次型化为只含平方项而不含混合项的二次型。一般称只含平方项而不含混合项的二次型为标准二次型。因为标准二次型对应的矩阵是对角矩阵，所以化一般的二次型为标准型相当于对一般的对称矩阵A，寻找一个可逆矩阵C，使得为ACCT对角矩阵。下面介绍三种化二次型为标准型的方法，并证明对实对称矩阵A，一定存在一个可逆矩阵C，使得为ACCT对角矩阵。一、正交变换法定理1：对任一个n元二次型AXXxxxfTn),,,(21，一定存在一个正交变换X=QY，使得AQYQYAXXTTT2222211nnyyy式中n,,,21是实对称矩阵A的n个特征值，Q的n个列向量n,,,21是矩阵A的对应于特征值n,,,21的标准正交特征向量。例1：用正交变换法，化二次型226),(yxyxyxf为标准型，且写出正交变换。解：二次型的矩阵为1331A，所以0)4)(2(AI得4,221，对应的特征向量分别为TT1,1,1,121单位化得：TT21,21,21,2121记21212121Q，则Q为正交矩阵，正交变换X=QY，且4002AQQT所得标准形为：2242yx下面看一下此题的几何背景。设平面上有一条有心曲线：4622yxyx，经过上述线性变换后得到标准形：44222yx，这表明把平面围绕坐标原点按顺时针方向旋转045，在新坐标系下该二次曲线方程为：44222yx，这是一条双曲线。例2：用正交变换法，化二次型22313212),,(xxxxxxf为标准型，且写出正交变换。解：二次型的矩阵为001010100A，所以0)1)(1(2AI得1,1,1321，11对应的特征向量为,1,0,11T132对应的特征向量为TT1,0,1,0,1,032由于32,已正交，所以将321,,单位化得：TTT21,0,21,0,1,0,21,0,21321记2102101021021Q，则Q为正交矩阵，正交变换为X=QY，且100010001AQQT所得标准形为：232221yyy练习：用正交变换法，化二次型：23322231212132128244),,(xxxxxxxxxxxxf为标准型，且写出正交变换。解：二次型矩阵为：242422221A2)2)(7(242422221AI得A的特征值为：2,7321求出属于71的特征向量为T2,2,11，属于232的特征向量为T0,1,22，T1,0,23,利用施密特正交化方法将,23正交化得：T0,1,22，T1,54,523所以,132,相互正交，再将其单位化得：T32,32,311，T0,51,522，T535,534,5323令53503253451325325231Q，则正交变换为X=QY，且200020007AQQT。所得标准形为：232221227yyy例3：已知二次型：233222312121321222),,(xxxaxxxxbxxxxxf可经正交线性替换X=QY化为23223214),,(yyxxxf，求ba,的值和且正交变换矩阵Q。解：由题意可知矩阵111111abbA与矩阵400010000B相似，所以0，1，4是矩阵A的特征值。从而52a，0122bbA，解得1,3ba对特征值0，得矩阵A的对应单位特征向量为T1,0,1211对特征值1，得矩阵A的对应单位特征向量为T1,1,1312对特征值4，得矩阵A的对应单位特征向量为T1,2,1613从而所求的正交矩阵为Q=61312162310613121二、配方法配方法是用中学代数中配平方的方法来达到消去交叉项，最后只剩下平方项，从而化为标准形。下面通过二个具体例子说明。例4：用配方法化二次型233222312121321222),,(xxxxxxxxxxxxf为标准形，并写出所用的非退化线性变换。解：先对1x配方消去所有含1x的交叉项：2332232132124)(),,(xxxxxxxxxf再对3x配方消去所有含3x的交叉项：2223223213212)(2)(),,(xxxxxxxxxf作线性替换：233223211xyxxyxxxy或32332211yyxyxyyx得二次型的标准形为：23222132122),,(yyyxxxf例5：用配方法化二次型323121321622),,(xxxxxxxxxf为标准形，并写出所用的非退化线性变换。解：作非退化线性变换：33212211yxyyxyyx（1）得：323122213218422),,(yyyyyyxxxf由此可用上例方法，先对1y配方，再对2y配方，即233222231321282)(2),,(yyyyyyxxxf232322316)2(2)(2yyyyy作线性变换333223112yzyyzyyz或333223112zyzzyzzy（2）得二次型的标准形为：232221321622),,(zzzxxxf把（2）式代入（1）得线性变换为33321232113zxzzzxzzzx把上述二个例子的方法应用于一般的二次型可得如下结果：定理2：对任一个n元二次型AXXxxxfTn),,,(21，一定存在一个非退化线性变换X=CY，使得ACYCYAXXTTT2222211nnydydyd或：对任一个n阶实对称矩阵A，一定存在可逆阵C，使得nTdddACC21§3.二次型的规范型和惯性定理虽然二次型的标准型不唯一，但这些不同的标准型有其共性。定理1：二次型AXXxxxfTn),,,(21的标准型中，系数不为零的平方项个数等于该二次型矩阵A的秩。证明：设二次型),,,(21nxxxf经过非线性变换X=CY化为标准型，即ACYCYAXXxxxfTTTn),,,(212222211rrydydyd其中),,2,1(,0ridi，所以rACCrArT这定理表明虽然二次型可化为不同的标准型，但这些标准型中不为零的平方项个数均为Ar，与所作的非退化线性变换无关，由此称二次型),,,(21nxxxf矩阵A的秩为二次型),,,(21nxxxf的秩。设),,,(21nxxxf是秩为r的实二次型，则经过适当的非退化的线性替换可化为标准形。在标准型中不为零的r个平方项系数可正可负，再适当排列变量的次序可得到),,,(21nxxxf2222211ppydydyd2211rrppydyd其中ridi,2,10。再作一个非退化的实线性替换：nrriyzriydziiiii,,2,1,,2,1得：),,,(21nxxxf22221pzzz221rpzz称上式为实二次型),,,(21nxxxf的规范型。定理